(См. также 11.21.)

6.80.Пользуясь схемой Горнера, разложите x4 + 2x3 − 3x2 − 4x + 1 по степеням x + 1.

6.81.Разложите P(x + 3) по степеням x, где P(x) = x4 − x3 + 1.

3.Разложение на множители

Метод неопределенных коэффициентов. В задачах о разложении многочленов на множители часто оказывается полезным подход, который называется методом неопределенных коэффициентов. Сначала записывается предполагаемое разложение с неизвестными (неопределенными) коэффициентами. После раскрытия скобок получается выражение, которое должно совпадать с исходным. Равенство коэффициентов при соответствующих одночленах дает систему уравнений, из которой находятся неопределенные коэффициенты, а, тем самым, и разложение на множители.

Соотношения на неопределенные коэффициенты можно также получать, подставляя в предполагаемое равенство конкретные значения переменных.

6.82. Разложите на множители с действительными коэффициентами многочлены:

6.83.Можно ли разлложить на множители с целыми коэффициентами многочлен x4 + x3 + x2 + x + 12?

6.84.Докажите, что многочлен x4 +px2 +q всегда можно разложить

впроизведение двух многочленов второй степени.

6.85.Упростите выражение:

(a + b + c)5 − a5 − b5 − c5 (a + b + c)3 − a3 − b3 − c3 .

корень кратности 1, то он называется простым корнем, если кратность больше 1, то число a называется кратным корнем.

6.95.Докажите, что корень a имеет кратность больше 1 тогда и только тогда, когда P(a) = 0 и P0(a) = 0.

6.96.Для данного многочлена P(x) опишем способ, который позволяет построить многочлен R(x), имеющий те же корни, что и P(x), но все кратности 1.

Положим Q(x) = (P(x), P0(x)) и R(x) = P(x) Q−1(x). Докажите, что

а) все корни многочлена P(x) будут корнями R(x); б) многочлен R(x) не имеет кратных корней.

6.97.Постройте многочлен R(x) из предыдущей задачи, если: а) P(x) = x6 − 6x4 − 4x3 + 9x2 + 12x + 4;

б) P(x) = x5 + x4 − 2x3 − 2x2 + x + 1.

6.98.Докажите, что многочлен

P(x) = 1 + x + x2 + . . . + xn

2! n!

не имеет кратных корней.

6.99. При каких A и B многочлен Axn+1 + Bxn + 1 имеет число x = 1 не менее чем двукратным корнем?

6.100. Докажите, что многочлен x2n − nxn+1 + nxn−1 − 1 при n > 1 имеет трехкратный корень x = 1.

6.101. Докажите, что многочлен P(x) делится на свою производную тогда и только тогда, когда он имеет вид P(x) = an(x − x0)n.

6.102. Докажите, что при n > 0 многочлен nxn+1 − (n + 1)xn + 1 делится на (x − 1)2.

6.103. Докажите, что при n > 0 многочлен

n2xn+2 − (2n2 + 2n − 1)xn+1 + (n + 1)2xn − x − 1

делится на (x − 1)3.

6.104. Докажите, что при n > 0 многочлен

x2n+1 − (2n + 1)xn+1 + (2n + 1)xn − 1

делится на (x − 1)3.

6.105. Докажите, что многочлен

P(x) = a0 + a1x + . . . + anxn

имеет число −1 корнем кратности m тогда и только тогда, когда выполнены условия:

без остатка делится на

Q(x) = (x1 − 1)(x2 − 1) . . . (xm − 1).

(См. также 11.95.)

5. Теорема Виета

Теорема Виета. Пусть x1, x2,. . . , xn — корни многочлена

anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + . . . + a1x + a0

(an 6= 0). Тогда справедливы равенства

x1x2 . . . xn = (−1)na0/an.

Определение. Многочлен, не изменяющийся при любых перестановках своих переменных, называется симметрическим.

Многочлены

σ1(x1, x2, . . . , xn) = x1 + x2 + . . . + xn,

σ2(x1, x2, . . . , xn) = x1x2 + x2x3 + . . . + xn−1xn,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

σn(x1, x2, . . . , xn) = x1x2 . . . xn,

называются элементарными симметрическими.

Теорема. Всякий симметрический многочлен F(x1, . . . , xn) представим в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов: F(x1, . . . , xn) = G(σ1, . . . , σn) и единственным образом (См. [23].)

96 6. Многочлены

При этом коэффициенты G получаются из коэффициентов F только при помощи операций сложения, вычитания и умножения, то есть, если все коэффициенты F были целыми числами, то и коэффициенты G также будут целыми числами.

Задачи о выражении симметрических многочленов через элементарные симметрические могут быть решены при помощи метода неопределенных коэффициентов (см. с. 92). Для нахождения искомого представления многочлена F(x1, . . . , xn) степени m достаточно рассмотреть сумму с неопределенными коэффициентами одночленов вида σa11 . . . σann , суммарная степень (a1 + 2a2 + . . . + nan) каждого из которых равна m.

6.107. Выразите через элементарные симметрические многочлены следующие выражения:

а) (x + y)(y + z)(x + z); г) (x2 + y2)(y2 + z2)(x2 + z2);

6.108. Известно, что a+b+c = 0, a2+b2+c2 = 1. Найдите a4+b4+c4.

6.109. Числа x, y, z удовлетворяют системе

x + y + z = a,

x1 + y1 + 1z = a1 .

Докажите, что хотя бы одно из этих чисел равно a.

6.110. Решите систему:

x + y + z = a,

x2 + y2 + z2 = a2,x3 + y3 + z3 = a3.

6.111. Найдите все значения параметра a, для каждого из которых корни x1, x2, x3 многочлена x3 − 6x2 + ax + a удовлетворяют равенству

(x1 − 3)3 + (x2 − 3)3 + (x3 − 3)3 = 0.

6.112. Постройте кубический многочлен, корни которого равны квадратам корней многочлена x3 + x2 − 2x − 1 = 0.

6.113. Известно, что x1, x2, x3 — корни уравнения x3 − 2x2 + x + 1 = 0.

Составьте кубической уравнение, корнями которого были бы числа y1 = x2x3, y2 = x1x3, y3 = x1x2.

6.114. Выразите свободный член c кубического уравнения

x3 + ax2 + bx + c = 0

через коэффициенты a и b, зная, что корни этого уравнения образуют арифметическую прогрессию.

6.115. Пусть известно, что все корни уравнения

x3 + px2 + qx + r = 0

положительны. Какому дополнительному условию должны удовлетворять его коэффициенты p, q и r для того, чтобы из отрезков, длины которых равны этим корням, можно было составить треугольник?

6.116. а) Известно, что

x + y = u + v, x2 + y2 = u2 + v2.

Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство

xn + yn = un + vn.

б) Известно, что

x + y + z = u + v + t, x2 + y2 + z2 = u2 + v2 + t2, x3 + y3 + z3 = u3 + v3 + t3.

Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство

xn + yn + zn = un + vn + yn.

6.117. Решите системы:

6.118. Числа a, b, c являются тремя из четырех корней многочлена x4 − ax3 − bx + c.