Глава 6

Многочлены

1. Квадратный трехчлен

Теорема Виета для квадратного уравнения. Пусть x1, x2 —

корни уравнения x2 + px + q = 0. Тогда справедливы равенства

x1 + x2 = −p, x1x2 = q.

6.1. Пусть x1, x2 — корни уравнения x2 + px + q = 0. Выразите через p и q следующие величины

6.2. Для многочленов f(x) = x2 + ax + b и g(y) = y2 + py + q с корнями x1, x2 и y1, y2 соответственно, выразите через a, b, p, q их результант, который определяется равенством

R(f, g) = (x1 − y1)(x1 − y2)(x2 − y1)(x2 − y2).

Вычисление результанта позволяет проверить многочлены f(x)

иg(y) на наличие у них общих корней.

6.3.Уравнение x2 + px + q = 0 имеет корни x1 и x2. Напишите уравнение, корнями которого будут числа y1, y2 равные:

6.4. Пусть x1, x2 — корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 и Sn = xn1 + xn2 (n > 0). Докажите формулу

aSm + bSm−1 + cSm−2 = 0 (m > 2).

6.5. При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения

x2 + 2ax + 2a2 + 4a + 3 = 0

является наибольшей? Чему равна эта сумма?

6.6. Какими должны быть p и q, чтобы выполнялось равенство

Ax4 + Bx2 + C = A(x2 + px + q)(x2 − px + q)?

6.20. Докажите, что корни уравнения

а) (x − a)(x − b) + (x − b)(x − c) + (x − a)(x − c) = 0;

б) c(x − a)(x − b) + a(x − b)(x − c) + b(x − a)(x − c) = 0

— всегда вещественные.

Определение. Каждому квадратному трехчлену x2 + px + q будем ставить в соответствие на координатной плоскости Opq точку с координатами (p; q). Эту плоскость назовем фазовой. Прямые вида a2 + ap + q = 0 будем называть корневыми, а параболу p2 − 4q = 0 —

дискриминантной.

6.21.Каким точкам фазовой плоскости соответствуют квадратные трехчлены, не имеющие корней?

6.22.Для каждого действительного a построим на плоскости Opq корневую прямую a2 +ap+q = 0. Докажите, что полученное множество прямых совпадает с множеством всех касательных к дискриминантной параболе p2 − 4q = 0. (См. также 9.20.)

6.23.Обозначим корни уравнения x2 + px + q = 0 через x1, x2. Нарисуйте на фазовой плоскости Opq множества точек M(p; q), которые задаются условиями:

а) x1 = 0, x2 = 1; в) x1 = x2;

б) x1 6 0, x2 > 2; г) −1 6 x1 6 0, 1 6 x2 6 2.

6.24.Найдите все значения параметра a, для каждого из которых уравнение 4x2 − 2x + a = 0 имеет два корня, причем x1 < 1, x2 > 1.

6.25.Найдите все такие q, что при любом p уравнение x2 +px+q = 0 имеет два действительных корня.

6.26.Фазовая плоскость Opq разбивается параболой p2 − 4q = 0 и прямыми p + q + 1 = 0, −2p + q + 4 = 0 на несколько областей. Для точек каждой области укажите, сколько корней имеет соответствующий им многочлен x2 + px + q = 0 на интервале (−2; 1).

6.27.На фазовой плоскости через точку (p; q) проведены касательные к дискриминантной параболе p2 − 4q = 0. Найдите координаты точек касания.

6.28.При каких значениях параметра a один из корней уравнения

(a2 + a + 1)x2 + (2a − 3)x + (a − 5) = 0

больше 1, а другой — меньше 1?

6.29. Известно, что модули корней уравнений x2 + ax + b = 0 и x2 + cx + d = 0 меньше 1. Докажите, что модули корней уравнения

x2 + a + cx + b + d = 0 2 2

86 6. Многочлены

также меньше 1.

6.30. В квадратном уравнении x2 + px + q = 0 коэффициенты p и q независимо пробегают все значения от −1 до 1. Найдите множество значений, которые могут при этом принимать действительные корни

6.33. При каких значениях параметра a уравнение (a − 1)x2 −

−2(a + 1)x + 2(a + 1) = 0 имеет только одно неотрицательное решение?

6.34.При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения x2 − (m + 1)x + m − 1 = 0 является наименьшей?

6.35.Найдите все значения параметра r, при которых уравнение (r− 4)x2 − 2(r− 3)x+ r = 0 имеет два корня, причем каждый из которых больше −1.

6.36.Найдите все значения x, удовлетворяющие неравенству

(2 − a)x3 + (1 − 2a)x2 − 6x + 5 + 4a − a2 < 0

хотя бы при одном значении a [−1; 2].

2.Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу

6.37. Деление многочленов с остатком. Пусть P(x) и Q(x) —

многочлены, причем Q(x) не равен нулю тождественно. Докажите, что существуют многочлены T(x) и R(x) такие, что

P(x) = Q(x)T(x) + R(x),

и deg R(x) < deg Q(x); и покажите, что при этом T(x) и R(x) определяются однозначно.

Определение. Если многочлен P(x) поделен на Q(x) с остатком

P(x) = Q(x)T(x) + R(x),

то T(x) называется неполным частным, а R(x) — остатком. Если многочлен R(x) тождественно равен нулю, то в этом случае T(x) — полное частное, и Q(x) называется делителем P(x) (Q(x) | P(x)).

6.38.Теорема Безу. Докажите, что остаток от деления многочлена P(x) на x − c равен P(c).

6.39.Докажите, что многочлен степени n имеет не более чем n

корней.

6.40.Можно ли из какой-то точки плоскости провести к графику многочлена n-й степени больше, чем n касательных?

6.41.Пусть x1, x2, . . . , xn — корни уравнения anxn+. . .+a1x+a0 = 0. Какие корни будут у уравнений

а) a0xn + . . . + an−1x + an = 0; б) anx2n + . . . + a1x2 + a0 = 0?

6.42. Пусть многочлен

P(x) = xn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0

имеет корни x1, x2, . . . , xn, то есть

P(x) = (x − x1)(x − x2) . . . (x − xn).

Рассмотрим многочлен Q(x) = P(x) P(−x). Докажите, что

а) многочлен Q(x) имеет степень 2n и содержит только четные степени переменной x√;

б) функция Q( x) является многочленом с корнями x21, x22, . . . , x2n. (См. также 9.83.)

6.43.Разделите многочлены с остатком: а) x4 − 4x3 + 6x2 − 3x + 1 на x2 − x + 1; б) 2x3 + 2x2 + x + 6 на x2 + 2x + 1;

в) x4 + 1 на x5 + 1.

6.44.Найдите остаток от деления многочлена P(x) = x5 − 17x + 1 на

x + 2.

6.45.При каком значении a многочлен P(x) = x1000 +ax2 +9 делится

на x + 1?

6.46.Найдите остаток от деления многочлена

P(x) = x81 + x27 + x9 + x3 + x

на a) x − 1; б) x2 − 1.

6.47.Докажите, что многочлен P(x) = (x + 1)6 − x6 − 2x − 1 делится на x(x + 1)(2x + 1).

6.48.Многочлен P(x) дает остаток 2 при делении на x−1, и остаток 1 при делении на x−2. Какой остаток дает P(x) при делении на многочлен

(x − 1)(x − 2)?

88 6. Многочлены

6.49. Найдите необходимое и достаточное условие для того, чтобы выражение

x3 + y3 + z3 + k xyz

делилось на x + y + z.

6.50. При каких n многочлен 1 + x2 + x4 + . . . + x2n−2 делится на

1 + x + x2 + . . . + xn−1?

Определение. Пусть m(x) — не равный тождественно нулю многочлен. Два многочлена a(x) и b(x) называются сравнимыми по модулю m(x), если их разность делится на m(x). Как и для чисел, соотношение сравнимости для двух многочленов записывается в виде

a(x) ≡ b(x) (mod m(x)).

6.51. Китайская теорема об остатках для многочленов.

Пусть m1(x), . . . , mn(x) попарно взаимно простые многочлены, то есть (mi(x), mj(x)) = 1 при i 6= j, a1(x), . . . , an(x) — произвольные многочлены. Докажите, что тогда существует ровно один многочлен p(x) такой, что

(mod m1(x)),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p(x) ≡ an(x) (mod mn(x))

и deg p(x) < deg m1(x) + . . . + deg mn(x). (См. также 6.131 и 6.140.)

6.52.Пусть P(x) = (2x2 − 2x + 1)17(3x2 − 3x + 1)17. Найдите a) сумму коэффициентов этого многочлена;

б) суммы коэффициентов при четных и нечетных степенях x.

6.53.При каких a и b многочлен P(x) = (a+ b)x5 + abx2 + 1 делится на x2 − 3x + 2?

6.54.Кубическое и квадратное уравнения с рациональными коэффициентами имеют общее решение. Докажите, что у кубического уравнения есть рациональный корень.

6.55.Найдите остаток R(x) от деления многочлена xn + x + 2 на

x2 − 1.

6.56.Один из корней уравнения x3 −6x2 +ax−6 = 0 равен 3. Решите уравнение.

6.57.При каких значениях параметра a многочлен P(x) = xn+axn−2 (n > 2) делится на x − 2?

6.58.При каких действительных p и q двучлен x4 + 1 делится на x2 + px + q?

6.59. При каких a многочлен

P(x) = a3x5 + (1 − a)x4 + (1 + a3)x2 + (1 − 3a)x − a3

делится на x − 1?

6.60.Найдите все многочлены, которые удовлетворяют тождеству x P(x − 1) = (x − 26) P(x).

6.61.Дано уравнение xn − an−1xn−1 − . . .− a1x− a0 = 0, где an−1, . . .

. . . , a1, a0 > 0. Докажите, что это уравнение не может иметь двух

положительных корней.

6.62. Правило знаков Декарта. Докажите, что количество положительных корней многочлена

f(x) = anxn + . . . + a1x + a0

не превосходит числа перемен знака в последовательности an, . . .

.. . , a1, a0.

6.63.Как правило знаков Декарта применить к оценке числа отрицательных корней многочлена

f(x) = anxn + . . . + a1x + a0?

6.64. Докажите, что многочлен

a3(b2 − c2) + b3(c2 − a2) + c3(a2 − b2)

делится на (b − c)(c − a)(a − b).

Определение. Наибольшим общим делителем двух или нескольких многочленов называется многочлен максимальной степени, на который делится каждый из данных.

Как и для чисел, наибольший общий делитель многочленов P1(x), . . .

.. . , Pk(x) обозначается (P1(x), . . . , Pk(x)).

6.65.Докажите, что из равенства P(x) = Q(x) T(x) + R(x) следует соотношение (P(x), Q(x)) = (Q(x), R(x)).

6.66.Алгоритм Евклида для многочленов. Пусть P(x) и Q(x) —

многочлены, причем Q(x) не равен нулю тождественно и Q(x) - P(x). Докажите, что при некотором s > 1 существуют многочлены A0(x),

90 6. Многочлены

A1(x), . . . , As(x) и R1(x), . . . , Rs(x) такие, что

deg Q(x) > deg R1(x) > deg R2(x) > . . . > deg Rs(x) > 0,

Rs−1(x) = Rs(x) · As(x),

и(P(x), Q(x)) = Rs(x). (Сравните с задачей 3.36.)

6.67.Пусть (P(x), Q(x)) = D(x). Докажите, что существуют многочлены U(x) и V(x) такие, что deg U(x) <deg Q(x), deg V(x) <deg P(x), иs−2 s−1 s−1 s

P(x) U(x) + Q(x) V(x) = D(x).

(Сравните с задачей 3.37.)

6.68.Найдите наибольший общий делитель многочленов P(x), Q(x)

ипредставьте его в виде P(x) U(x) + Q(x) V(x):

а) P(x) = x4 + x3 − 3x2 − 4x − 1, Q(x) = x3 + x2 − x − 1;

б) P(x) = 3x4 − 5x3 + 4x2 − 2x + 1, Q(x) = 3x3 − 2x2 + x − 1.

6.69.Найдите (xn − 1, xm − 1).

6.70.Последовательность a0, a1, a2, . . . задана условиями

a0 = 0, an+1 = P(an) (n > 0),

где P(x) — многочлен с целыми коэффициентами, P(x) > 0 при x > 0. Докажите, что для любых натуральных m и k (am, ak) = a(m,k).

6.71.Решите систему

x6 − x5 + x4 − x3 + 5x2 = 5, x6 − 2x5 + 3x4 − 4x3 + 2x = 0.

6.72.При каком положительном значении p уравнения 3x2−4px+9 =

=0 и x2 − 2px + 5 = 0 имеют общий корень?

6.73.Найдите многочлены P(x) и Q(x) такие, что

(x + 1) P(x) + (x4 + 1) Q(x) = 1.

6.74. При помощи метода неопределенных коэффициентов (смотрите раздел 3, с. 92) найдите такие линейные функции P(x) и Q(x), чтобы выполнялось равенство

P(x)(x2 − 3x + 2) + Q(x)(x2 + x + 1) = 21.

6.75. Найдите такие линейные функции P(x) и Q(x), чтобы выполнялось равенство

P(x)(2x3 − 7x2 + 7x − 2) + Q(x)(2x3 + x2 + x − 1) = 2x − 1.

двух положительных дробей со знаменателями n и n + 1?

6.77. Схема Горнера. Значение многочлена

Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 (an 6= 0)

в точке x = c можно вычислить, используя ровно n умножений. Для этого нужно представить многочлен Pn(x) в виде

Pn(x) = (. . . (anx + an−1)x + . . . + a1)x + a0.

(См. также 5.63.)

Пусть bn, bn−1, . . . , b0 — это значения выражений, которые получаются в процессе вычисления Pn(c), то есть

bn = an, bk = c · bk+1 + ak (k = n − 1, . . . , 0).

Докажите, что при делении многочлена Pn(x) на (x − c) с остатком, у многочлена в частном коэффициенты будут совпадать с числами bn−1, . . . , b1, а остатком будет число b0. Таким образом, будет справедливо равенство:

Pn(x) = (x − c)(bnxn−1 + . . . + b2x + b1) + b0.

6.78. Формулы сокращенного умножения. Докажите следующие равенства:

an+1 − bn+1 = (a − b)(an + an−1b + . . . + bn);

a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n − a2n−1b + a2n−2b2 − . . . + b2n).

6.780. Докажите, что при n > 2

nn−1 − 1 . (n − 1)2

6.79. Формула Тейлора для многочлена. Докажите, что любой многочлен Pn(x) можно единственным образом разложить по степеням

(x − c):

Xn

Pn(x) = ck · (x − c)k,

k=0