Глава 5

Числа, дроби, системы счисления

1. Рациональные и иррациональные числа

Определение. Число α называется рациональным, если оно представимо в виде α = m/n, где m — некоторое целое, а n — натуральное числа. Все остальные действительные числа называются иррациональными. Множество всех рациональных чисел обозначается через Q. Два числа называются несоизмеримыми, если их отношение иррационально.

Определение. Десятичная дробь

α = 0,a1a2 . . . akb1b2 . . . bnb1b2 . . . bnb1b2 . . . bn . . . ,

где b1b2 . . . bn — наименьший по длине отрезок цифр, повторяющийся начиная с некоторого места, называется периодической десятичной дробью. При том набор цифр b1b2 . . . bn называется периодом, набор a1a2 . . . ak — предпериодом, n — длиной периода и дробь записывается в виде

α= 0,a1a2 . . . ak(b1b2 . . . bn).

5.1.Представьте следующие рациональные числа в виде десятичных

дробей:

5.2. Найдите цифры a и b такие, для которых

√

0,aaaaa . . . = 0,bbbbb . . .

5.3. Найдите период дроби

491 = 0,0204081632 . . .

Как можно объяснить тот факт, что после запятой появляются степени числа 2?

5.4. Число Фейнмана. Объясните поведение следующей десятичной дроби и найдите ее период:

2431 = 0,004115226337448 . . .

5.5. Представьте следующие числа в виде обычных и в виде десятичных дробей:

а) 0,(12) + 0,(122); б) 0,(3) · 0,(4); в) 0,(9) − 0,(85).

5.6.Докажите, что число рационально тогда и только тогда, когда оно представляется конечной или периодической десятичной дробью.

5.7.Для каких натуральных n число n1 представляется конечной десятичной дробью?

5.8.Пусть число α задается десятичной дробью

а) α = 0,101001000100001000001 . . . ; б) α = 0,123456789101112131415 . . .

Будет ли это число рациональным?

5.9.Докажите, что в любой бесконечной десятичной дроби можно так переставить цифры, что полученная дробь станет рациональным числом.

5.10.Коля Васин задумал написать программу, которая дала бы

возможность компьютеру печатать одну за другой цифры десятичной

√

записи числа 2. Докажите, что даже если бы машина не ломалась, то Колина затея все равно бы не удалась, и рано или поздно компьютер напечатал бы неверную цифру.

представляется конечными десятичными дробями.

√

5.12. Докажите, что среди чисел [2k 2] (k = 0, 1, . . . ) бесконечно много составных.

5.13. Докажите иррациональность следующих чисел:

не имеют решений в натуральных числах.

5.15.Докажите, что уравнение x3 + x2y + y3 = 0 не имеет рациональных решений кроме (0; 0).

5.16.Может ли

а) сумма двух рациональных чисел быть иррациональной? б) сумма двух иррациональных чисел быть рациональной?

72 5. Числа, дроби, системы счисления

в) иррациональное число в иррациональной степени быть рацио-

нальным?

√

5.17. Один из корней уравнения x2+ax+b = 0 равен 1+ 3. Найдите a и b, если известно, что они рациональны.

5.18.Пусть a, b, c — различные простые числа. Докажите, что числа

√√ √

a, b, c не могут быть членами одной арифметической прогрессии.

5.19. Упростите выражение:

r

q p √

2 3 + 5 − 13 + 48.

5.20. Докажите равенство

иррационально.

5.26. При каких натуральных a и b число loga b будет рациональным?

5.27.Докажите, что sin x и cos x рациональны тогда и только тогда, когда число tg(x/2) рационально.

5.28.Дана квадратная сетка на плоскости и треугольник с вершинами в узлах сетки. Докажите, что тангенс любого угла в треугольнике — число рациональное.

5.29.Можно ли нарисовать правильный треугольник с вершинами

вузлах квадратной сетки?

5.30.Дан лист клетчатой бумаги. Докажите, что при n 6= 4 не

существует правильного n-угольника с вершинами в узлах решетки.

√ √

5.31.Докажите, что на окружности с центром в точке ( 2; 3) лежит не более одной точки целочисленной решетки.

5.32.Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:

√ √

5.33. При каких натуральных n число ( 2 + 1)n − ( 2 − 1)n будет

nрадикалов

5.35.Иррациональность числа e. Число e определяется равен-

ством e = lim (1 + 1/n)n. Докажите, что

n→∞

а) e = lim (2 + 1/2! + 1/3! + . . . + 1/n!);

n→∞

б) e = 2 + 1/2! + 1/3! + . . . + 1/n! + rn, где 0 < rn 6 1/(n!n);

в) e — иррациональное число. (См. также 11.73, 7.51).

5.36*. Число e и комбинаторика. Дано N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждые две из этих точек соединены отрезком, и каждый отрезок окрашен в один из k цветов.