
- •Предисловие
- •Обозначения
- •Метод математической индукции
- •Аксиома индукции
- •Тождества, неравенства и делимость
- •Индукция в геометрии и комбинаторике
- •Комбинаторика
- •Сложить или умножить?
- •Принцип Дирихле
- •Размещения, перестановки и сочетания
- •Формула включений и исключений
- •Числа Каталана
- •Простые числа
- •Алгоритм Евклида
- •Мультипликативные функции
- •О том, как размножаются кролики
- •Цепные дроби
- •Арифметика остатков
- •Четность
- •Делимость
- •Сравнения
- •Теоремы Ферма и Эйлера
- •Признаки делимости
- •Китайская теорема об остатках
- •Числа, дроби, системы счисления
- •Рациональные и иррациональные числа
- •Десятичные дроби
- •Двоичная и троичная системы счисления
- •Многочлены
- •Квадратный трехчлен
- •Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу
- •Разложение на множители
- •Многочлены с кратными корнями
- •Теорема Виета
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •Комплексные числа
- •Комплексная плоскость
- •Преобразования комплексной плоскости
- •Алгебра + геометрия
- •Геометрия помогает алгебре
- •Комплексные числа и геометрия
- •Тригонометрия
- •Уравнения и системы
- •Уравнения третьей степени
- •Тригонометрические замены
- •Итерации
- •Системы линейных уравнений
- •Неравенства
- •Различные неравенства
- •Суммы и минимумы
- •Выпуклость
- •Симметрические неравенства
- •Последовательности и ряды
- •Конечные разности
- •Рекуррентные последовательности
- •Производящие функции
- •Многочлены Гаусса
- •Шутки и ошибки
- •Ответы, указания, решения
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •Глава 9
- •Глава 10
- •Глава 11
- •Глава 12
- •Литература
- •Программа курса
- •Путеводитель
- •Формулы и числа
- •Предметный указатель

58 |
4. Арифметика остатков |
4.103. Докажите, что сумма пяти последовательных целых чисел не может быть полным квадратом.
4.104. Гармонические числа. Докажите, что числа
1 1 1
Hn = 1 + 2 + 3 + . . . + n
при n > 1 не будут целыми.
4.105. Решите в натуральных числах уравнение
1! + 2! + . . . + n! = m2.
4.106. Решите в целых числах уравнение
2x − 1 = 5y.
4.107. Докажите что если (m, n) = 1, то сравнение a ≡ b (mod mn) равносильно одновременному выполнению сравнений a ≡ b (mod m)
и a ≡ b (mod n).
4. Теоремы Ферма и Эйлера
4.108. Найдите такое n, чтобы число 10n − 1 делилось на а) 7; б) 13; в) 91; г) 819.
4.109. Докажите, что |
. 17. |
||||||||||
а) 111 . . . 1 |
. 13; |
б) 111 . . . 1 |
|||||||||
| |
|
{z |
|
} |
|
| |
|
{z |
|
} |
|
12 |
|
|
|
16 |
|
|
|
Малая теорема Ферма. Пусть p — простое число и p - a. Тогда
ap−1 ≡ 1 (mod p).
4.110. Докажите теорему Ферма, разлагая (1 + 1 + . . . + 1)p посредством полиномиальной теоремы.
4.111. Пусть p — простое число, p 6= 2, 5. Докажите, что существует число вида 111 . . . 11, кратное p.
Придумайте два решения этой задачи: одно, использующее теорему Эйлера, и второе — принцип Дирихле.
4.112. Для каких n число n2001 − n4 делится на 11?
4.113. Докажите, что для любого натурального числа найдется кратное ему число, десятичная запись которого состоит только из 0 и 1.
4.114. Дано простое p и целое a, не делящееся на p. Пусть k — наименьшее натуральное число, такое что ak ≡ 1 (mod p). Докажите, что p − 1 делится на k.
4. Теоремы Ферма и Эйлера |
59 |
4.115. С помощью индукции докажите следующее утверждение, эквивалентное малой теореме Ферма: если p — простое число, то для любого натурального a справедливо сравнение
ap ≡ a (mod p).
4.116. Известно, что
a12 + b12 + c12 + d12 + e12 + f12 . 13.
Докажите, что abcdef . 136.
4.117. Геометрическое доказательство малой теоремы Ферма. Пусть p > 2 — простое число. Сколько существует способов раскрасить вершины правильного p-угольника в a цветов? (Раскраски, которые можно совместить поворотом, считаются одинаковыми.) Получите формулу и выведите из нее малую теорему Ферма.
4.118. Найдите остатки от деления на 103 чисел а) 5102; б) 3104.
4.119. Докажите, что число 30239 + 23930 — составное.
4.120. Будет ли простым число 2571092 + 1092?
4.121. Докажите, что если p — простое число, p 6= 2, 5, то длина периода разложения 1/p в десятичную дробь делит p − 1. Приведите пример, когда длина периода совпадает с p − 1.
4.122. Пусть p — простое число. Докажите, что любой простой делитель числа 2p − 1 имеет вид 2kp + 1.
4.123. Пусть n — натуральное число, не кратное 17. Докажите, что либо n8 + 1, либо n8 − 1 делится на 17.
4.124. Докажите, что при любом простом p
1 1. . . |
2 . |
. . 2 |
3 . |
. . 3 . . . |
9 . |
. . 9 |
−123 . . . 9 . |
p. |
|||||||||||||
| |
|
{z |
|
} |
| |
|
{z |
|
} |
| |
|
{z |
|
} |
| |
|
{z |
|
} |
|
|
|
|
p |
|
|
p |
|
|
p |
|
|
p |
|
|
4.125. Пусть для простого числа p > 2 и целого a, не делящегося на p, выполнено сравнение x2 ≡ a (mod p). Докажите, что
a(p−1)/2 ≡ 1 (mod p).
4.126. Докажите, что если x2 + 1 делится на нечетное простое p, то p = 4k + 1.
4.127. При помощи задачи 4.126 докажите, что существует бесконечно много простых чисел вида p = 4k + 1. (См. также 3.7.)
60 |
4. Арифметика остатков |
4.128. Докажите, что для простого числа p вида p = 4k + 1 числа x = ±(2k)! являются решениями сравнения x2 + 1 ≡ 0 (mod p).
4.129. Пользуясь результатом задачи 3.127 найдите остатки, которые при простом p дают числа Фибоначчи Fp и Fp+1 при делении на p.
4.130. Пусть p — простое число и p > 3. Докажите, что если разре-
шимо сравнение
x2 + x + 1 ≡ 0 (mod p),
то p ≡ 1 (mod 6). Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида 6n + 1. (См. также 3.7.)
4.131. Пусть p — простое число и p > 5. Докажите, что если разрешимо сравнение
x4 + x3 + x2 + x + 1 ≡ 0 (mod p),
то p ≡ 1 (mod 5). Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида 5n + 1.
Определение. Функция Эйлера ϕ(n) определяется как количество чисел от 1 до n, взаимно простых с n.
4.132. Найдите
a) ϕ(17); б) ϕ(p); в) ϕ(p2); г) ϕ(pα).
4.133. Чему равна сумма
ϕ(1) + ϕ(p) + ϕ(p2) + . . . + ϕ(pα),
где α — некоторое натуральное число? (См. также 4.149.)
4.134. Основным свойством функции Эйлера ϕ(n) является ее мультипликативность. Для взаимно простых a и b рассмотрим таблицу
1, |
2, |
3, |
. . . , |
b |
b + 1, |
b + 2, |
b + 3, |
. . . , |
2b |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . , . . . |
|
(a − 1)b + 1, |
(a − 1)b + 2, |
(a − 1)b + 3, |
. . . , |
ab. |
В каких столбцах этой таблицы находятся числа взаимно простые с числом b? Сколько в каждом из этих столбцов чисел взаимно простых с a? Докажите мультипликативность функции Эйлера, ответив на эти вопросы.
Определение. Приведенной системой вычетов по некоторому модулю m называется система чисел, взятых по одному из каждого класса,

4. Теоремы Ферма и Эйлера |
61 |
взаимно простого с модулем. (Говорят, что класс a¯ взаимно прост с модулем m, если само число a взаимно просто с m.)
4.135. Сколько классов составляют приведенную систему вычетов по модулю m?
4.136. Пусть числа x1, x2, . . . , xr образуют приведенную систему вычетов по модулю m. Для каких a и b числа yj = axj + b (j = 1, . . . , r) также образуют приведенную систему вычетов по модулю m?
4.137. Пусть (m, n) = 1, а числа x и y пробегают приведенные системы вычетов по модулям m и n соответственно. Докажите, что число A = xn+ym пробегает при этом приведенную систему вычетов по модулю mn. Выведите отсюда мультипликативность функции Эйлера.
4.138. Пусть n = pα1 1 . . . pαs s . Докажите равенство
ϕ(n) = n(1 − 1/p1) . . . (1 − 1/ps)
а) пользуясь мультипликативностью функции Эйлера; б) пользуясь формулой включений и исключений (см. 2.99).
4.139. Решите уравнения |
|
а) ϕ(x) = 2; б) ϕ(x) = 8; |
в) ϕ(x) = 12; г) ϕ(x) = 14. |
4.140. По какому модулю числа 1 и 5 составляют приведенную систему вычетов?
4.141. Решите уравнения
а) ϕ(x) = x/2; б) ϕ(x) = x/3; в) ϕ(x) = x/4.
4.142. Для каких n возможны равенства:
a) ϕ(n) = n − 1; б) ϕ(2n) = 2ϕ(n); в) ϕ(nk) = nk−1ϕ(n)?
4.143. Решите уравнения
а) ϕ(5x) = 100; б) ϕ(7x) = 294; в) ϕ(3x · 5y) = 600.
4.144. Известно, что (m, n) > 1. Что больше ϕ(m · n) или ϕ(m) × × ϕ(n)? (См. также 3.93.)
4.145. Решите уравнение a = 2τ(a).
4.146. Докажите, что если n > 2, то число всех правильных несократимых дробей со знаменателем n — четно.
4.147. Найдите сумму всех правильных несократимых дробей со знаменателем n.
4.148. Выпишем в ряд все правильные дроби со знаменателем n и сделаем возможные сокращения. Например, для n = 12 получится следующий ряд чисел:
01, 121 , 16, 14, 13, 125 , 12, 127 , 23, 34, 56, 1112.
62 |
4. Арифметика остатков |
Сколько получится дробей со знаменателем d, если d — некоторый делитель числа n?
4.149. Тождество Гаусса. Докажите равенство
X
ϕ(d) = n,
d|n
P
где знак |
означает, что суммирование идет по всем делителям числа n |
d|n
(См. также 4.133.)
4.150. Вписанные ломаные. Окружность разделена n точками на n равных частей. Сколько можно составить различных замкнутых ломаных из n р а в н ы х звеньев с вершинами в этих точках?
4.151. Докажите равенства:
а) ϕ(m) ϕ(n) = ϕ((m, n)) ϕ([m, n]);
б) ϕ(mn) ϕ((m, n)) = ϕ(m) ϕ(n) (m, n).
Следующая теорема является обобщением малой теоремы Ферма. Теорема Эйлера. Пусть m > 1 и (a, m) = 1. Тогда имеет место
сравнение
aϕ(m) ≡ 1 (mod m).
(См. также 4.197.)
4.152. Существует ли степень тройки, заканчивающаяся на 0001?
4.153. Докажите теорему Эйлера с помощью малой теоремы Ферма а) в случае, когда m = pn;
б) в общем случае.
4.154. Докажите, что 751 − 1 делится на 103.
4.155. Пусть p > 2 — простое число. Докажите, что
7p − 5p − 2 . 6p.
4.156. При помощи теоремы Эйлера найдите число x, удовлетворяющее сравнению ax + b ≡ 0 (mod m), где (a, m) = 1.
4.157. Докажите, что при любом целом a: a) a5 − a . 30; в) a11 − a . 66;
б) a17 − a . 510; г) a73 − a . 2 · 3 · 5 · 7 · 13 · 19 · 37 · 73.
4.158. Докажите, что для любого нечетного числа m существует такое натуральное число n, что 2n − 1 . m.
4.159. Докажите, что при любом нечетном n число 2n! − 1 делится на n.