4.103. Докажите, что сумма пяти последовательных целых чисел не может быть полным квадратом.

4.104. Гармонические числа. Докажите, что числа

1 1 1

Hn = 1 + 2 + 3 + . . . + n

при n > 1 не будут целыми.

4.105. Решите в натуральных числах уравнение

1! + 2! + . . . + n! = m2.

4.106. Решите в целых числах уравнение

2x − 1 = 5y.

4.107. Докажите что если (m, n) = 1, то сравнение a ≡ b (mod mn) равносильно одновременному выполнению сравнений a ≡ b (mod m)

и a ≡ b (mod n).

4. Теоремы Ферма и Эйлера

4.108. Найдите такое n, чтобы число 10n − 1 делилось на а) 7; б) 13; в) 91; г) 819.

Малая теорема Ферма. Пусть p — простое число и p - a. Тогда

ap−1 ≡ 1 (mod p).

4.110. Докажите теорему Ферма, разлагая (1 + 1 + . . . + 1)p посредством полиномиальной теоремы.

4.111. Пусть p — простое число, p 6= 2, 5. Докажите, что существует число вида 111 . . . 11, кратное p.

Придумайте два решения этой задачи: одно, использующее теорему Эйлера, и второе — принцип Дирихле.

4.112. Для каких n число n2001 − n4 делится на 11?

4.113. Докажите, что для любого натурального числа найдется кратное ему число, десятичная запись которого состоит только из 0 и 1.

4.114. Дано простое p и целое a, не делящееся на p. Пусть k — наименьшее натуральное число, такое что ak ≡ 1 (mod p). Докажите, что p − 1 делится на k.

4.115. С помощью индукции докажите следующее утверждение, эквивалентное малой теореме Ферма: если p — простое число, то для любого натурального a справедливо сравнение

ap ≡ a (mod p).

4.116. Известно, что

a12 + b12 + c12 + d12 + e12 + f12 . 13.

Докажите, что abcdef . 136.

4.117. Геометрическое доказательство малой теоремы Ферма. Пусть p > 2 — простое число. Сколько существует способов раскрасить вершины правильного p-угольника в a цветов? (Раскраски, которые можно совместить поворотом, считаются одинаковыми.) Получите формулу и выведите из нее малую теорему Ферма.

4.118. Найдите остатки от деления на 103 чисел а) 5102; б) 3104.

4.119. Докажите, что число 30239 + 23930 — составное.

4.120. Будет ли простым число 2571092 + 1092?

4.121. Докажите, что если p — простое число, p 6= 2, 5, то длина периода разложения 1/p в десятичную дробь делит p − 1. Приведите пример, когда длина периода совпадает с p − 1.

4.122. Пусть p — простое число. Докажите, что любой простой делитель числа 2p − 1 имеет вид 2kp + 1.

4.123. Пусть n — натуральное число, не кратное 17. Докажите, что либо n8 + 1, либо n8 − 1 делится на 17.

4.124. Докажите, что при любом простом p

4.125. Пусть для простого числа p > 2 и целого a, не делящегося на p, выполнено сравнение x2 ≡ a (mod p). Докажите, что

a(p−1)/2 ≡ 1 (mod p).

4.126. Докажите, что если x2 + 1 делится на нечетное простое p, то p = 4k + 1.

4.127. При помощи задачи 4.126 докажите, что существует бесконечно много простых чисел вида p = 4k + 1. (См. также 3.7.)

4.128. Докажите, что для простого числа p вида p = 4k + 1 числа x = ±(2k)! являются решениями сравнения x2 + 1 ≡ 0 (mod p).

4.129. Пользуясь результатом задачи 3.127 найдите остатки, которые при простом p дают числа Фибоначчи Fp и Fp+1 при делении на p.

4.130. Пусть p — простое число и p > 3. Докажите, что если разре-

шимо сравнение

x2 + x + 1 ≡ 0 (mod p),

то p ≡ 1 (mod 6). Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида 6n + 1. (См. также 3.7.)

4.131. Пусть p — простое число и p > 5. Докажите, что если разрешимо сравнение

x4 + x3 + x2 + x + 1 ≡ 0 (mod p),

то p ≡ 1 (mod 5). Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида 5n + 1.

Определение. Функция Эйлера ϕ(n) определяется как количество чисел от 1 до n, взаимно простых с n.

4.132. Найдите

a) ϕ(17); б) ϕ(p); в) ϕ(p2); г) ϕ(pα).

4.133. Чему равна сумма

ϕ(1) + ϕ(p) + ϕ(p2) + . . . + ϕ(pα),

где α — некоторое натуральное число? (См. также 4.149.)

4.134. Основным свойством функции Эйлера ϕ(n) является ее мультипликативность. Для взаимно простых a и b рассмотрим таблицу

В каких столбцах этой таблицы находятся числа взаимно простые с числом b? Сколько в каждом из этих столбцов чисел взаимно простых с a? Докажите мультипликативность функции Эйлера, ответив на эти вопросы.

Определение. Приведенной системой вычетов по некоторому модулю m называется система чисел, взятых по одному из каждого класса,

взаимно простого с модулем. (Говорят, что класс a¯ взаимно прост с модулем m, если само число a взаимно просто с m.)

4.135. Сколько классов составляют приведенную систему вычетов по модулю m?

4.136. Пусть числа x1, x2, . . . , xr образуют приведенную систему вычетов по модулю m. Для каких a и b числа yj = axj + b (j = 1, . . . , r) также образуют приведенную систему вычетов по модулю m?

4.137. Пусть (m, n) = 1, а числа x и y пробегают приведенные системы вычетов по модулям m и n соответственно. Докажите, что число A = xn+ym пробегает при этом приведенную систему вычетов по модулю mn. Выведите отсюда мультипликативность функции Эйлера.

4.138. Пусть n = pα1 1 . . . pαs s . Докажите равенство

ϕ(n) = n(1 − 1/p1) . . . (1 − 1/ps)

а) пользуясь мультипликативностью функции Эйлера; б) пользуясь формулой включений и исключений (см. 2.99).

4.140. По какому модулю числа 1 и 5 составляют приведенную систему вычетов?

4.141. Решите уравнения

а) ϕ(x) = x/2; б) ϕ(x) = x/3; в) ϕ(x) = x/4.

4.142. Для каких n возможны равенства:

a) ϕ(n) = n − 1; б) ϕ(2n) = 2ϕ(n); в) ϕ(nk) = nk−1ϕ(n)?

4.143. Решите уравнения

а) ϕ(5x) = 100; б) ϕ(7x) = 294; в) ϕ(3x · 5y) = 600.

4.144. Известно, что (m, n) > 1. Что больше ϕ(m · n) или ϕ(m) × × ϕ(n)? (См. также 3.93.)

4.145. Решите уравнение a = 2τ(a).

4.146. Докажите, что если n > 2, то число всех правильных несократимых дробей со знаменателем n — четно.

4.147. Найдите сумму всех правильных несократимых дробей со знаменателем n.

4.148. Выпишем в ряд все правильные дроби со знаменателем n и сделаем возможные сокращения. Например, для n = 12 получится следующий ряд чисел:

01, 121 , 16, 14, 13, 125 , 12, 127 , 23, 34, 56, 1112.

Сколько получится дробей со знаменателем d, если d — некоторый делитель числа n?

4.149. Тождество Гаусса. Докажите равенство

X

ϕ(d) = n,

d|n

P

d|n

(См. также 4.133.)

4.150. Вписанные ломаные. Окружность разделена n точками на n равных частей. Сколько можно составить различных замкнутых ломаных из n р а в н ы х звеньев с вершинами в этих точках?

4.151. Докажите равенства:

а) ϕ(m) ϕ(n) = ϕ((m, n)) ϕ([m, n]);

б) ϕ(mn) ϕ((m, n)) = ϕ(m) ϕ(n) (m, n).

Следующая теорема является обобщением малой теоремы Ферма. Теорема Эйлера. Пусть m > 1 и (a, m) = 1. Тогда имеет место

сравнение

aϕ(m) ≡ 1 (mod m).

(См. также 4.197.)

4.152. Существует ли степень тройки, заканчивающаяся на 0001?

4.153. Докажите теорему Эйлера с помощью малой теоремы Ферма а) в случае, когда m = pn;

б) в общем случае.

4.154. Докажите, что 751 − 1 делится на 103.

4.155. Пусть p > 2 — простое число. Докажите, что

7p − 5p − 2 . 6p.

4.156. При помощи теоремы Эйлера найдите число x, удовлетворяющее сравнению ax + b ≡ 0 (mod m), где (a, m) = 1.

4.157. Докажите, что при любом целом a: a) a5 − a . 30; в) a11 − a . 66;

б) a17 − a . 510; г) a73 − a . 2 · 3 · 5 · 7 · 13 · 19 · 37 · 73.

4.158. Докажите, что для любого нечетного числа m существует такое натуральное число n, что 2n − 1 . m.

4.159. Докажите, что при любом нечетном n число 2n! − 1 делится на n.