4.48.Докажите, что среди любых десяти последовательных натуральных чисел найдется число, взаимно простое с остальными.

4.49.На 99 карточках пишутся числа 1, 2, . . . , 99. Затем карточки тасуются и раскладываются чистыми сторонами вверх. На чистых сторонах карточек снова пишутся числа 1, 2, . . . , 99. Для каждой карточки числа, стоящие на ней, складываются и 99 полученных сумм перемножаются. Докажите, что в результате получится четное число.

3.Сравнения

Определение. Пусть m > 1. Два числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если их разность делится на m. Записывается это в виде a ≡ b (mod m).

4.50. Что означают записи:

а) a ≡ b (mod 0); б) a ≡ b (mod 1)?

4.51. Свойства сравнений. Докажите, что если a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), то

а) a + c ≡ b + d (mod m); б) ac ≡ bd (mod m).

Определение. Классом вычетов по данному модулю m называется множество всех целых чисел сравнимых с некоторым данным целым числом a по модулю m. Такой класс обозначается a¯.

4.52.Докажите, что класс a¯ состоит из всех чисел вида mt + a, где t — произвольное целое число.

¯¯

4.53.Докажите, что два класса a и b совпадают тогда и только тогда, когда a ≡ b (mod m).

Определение. Полной системой вычетов по некоторому модулю называется система чисел, взятых по одному из каждого класса по этому модулю.

4.54.Докажите, что любые m чисел x1, . . . , xm попарно несравнимых по модулю m, представляют собой полную систему вычетов по модулю m.

4.55.Пусть числа x1, x2, . . . , xm образуют полную систему вычетов по модулю m. Для каких a и b числа yj = axj + b (j = 1, . . . , m) также образуют полную систему вычетов по модулю m?

4.56.Из свойств сравнений следует, что с классами вычетов можно делать все операции, которые допустимы для целых чисел: складывать, вычитать, умножать, возводить в степень. Отличие будет лишь в том, что построенная арифметика действует на конечном множестве классов

вычетов. Например, для m = 6 получаются такие таблицы сложения и умножения:

Постройте аналогичные таблицы сложения и умножения для модулей m = 7, 8, . . . , 13.

4.57.Когда сравнения a ≡ b (mod m) и ac ≡ bc (mod m) равно-

сильны?

4.58.Равносильны ли сравнения a ≡b (mod m) и ac ≡bc (mod mc)?

4.59.Имеется 100 камней. Два игрока берут по очереди от 1 до 5 камней. Проигрывает тот, кто берет последний камень. Определите выигрышную стратегию первого игрока. (См. также 5.81.)

4.60.Разочарованный вкладчик фонда «Нефтьалмазинвест» разорвал акцию на 8 кусков. Не удовлетворившись этим, он разорвал один из кусков еще на 8, и т. д. Могло ли у него получиться 2002 куска?

4.61.Иван-царевич имеет два волшебных меча, один из которых может отрубить Змею Горынычу 21 голову, а второй — 4 головы, но тогда у Змея Горыныча вырастает 1999 голов. Может ли Иван отрубить Змею Горынычу все головы, если в самом начале у него было 100 голов? (Примечание: если, например, у Змея Горыныча осталось лишь 3 головы, то рубить их ни тем, ни другим мечом нельзя.)

4.62.В магазине было 6 ящиков яблок, массы которых соответственно 15, 16, 18, 19, 20 и 31 килограммов. Две фирмы приобрели 5 ящиков, причем одна из них взяла по массе яблок в два раза больше, чем другая. Какой ящик остался в магазине?

4.63.Составьте список всевозможных остатков, которые дают числа n2 при делении на 3, 4, 5, . . . , 9.

4.64.Докажите, что если все коэффициенты уравнения

ax2 + bx + c = 0

— целые нечетные числа, то ни один из корней этого уравнения не может быть рациональным.

4.65.Докажите, что квадрат целого числа не может оканчиваться четырьмя одинаковыми цифрами, отличными от 0. Какими тремя цифрами может оканчиваться целое число, квадрат которого оканчивается тремя одинаковыми цифрами, отличными от 0?

4.66.Докажите, что если две последние цифры целого числа нечетны, то это число не может быть квадратом целого числа.

4.67.Найдите остатки от деления числа 22001 на 3, 5, 7, . . . , 17.

4.68.Шестизначное число делится на 7. Его первую цифру стерли, а затем записали ее позади последней цифры. Докажите, что новое число также делится на 7.

4.69.Найдите все p такие, что числа p, p + 10, p + 14 — простые.

4.70.Известно, что числа p и 8p2 + 1 — простые. Найдите p.

4.71.Известно, что числа p и p2 +2 — простые. Докажите, что число p3 + 2 также является простым.

4.72.Найдите конечную арифметическую прогрессию с разностью 6 максимальной длины, состоящую из простых чисел.

4.73.Найдите последнюю цифру числа 7777 .

4.74. Может ли число n2 + 1 быть целым при натуральных n?

3

4.75. Пусть a и b — целые числа. Докажите, что

а) если a2 + b2 . 3, то a2 + b2 . 9; б) если a2 + b2 . 21, то a2 + b2 . 441.

4.76.Целые числа a, b, c и d таковы, что a4 + b4 + c4 + d4 . 5. Докажите, что abcd . 625.

4.77.Целые числа a, b и c таковы, что a3 + b3 + c3 . 7. Докажите, что abc . 343.

4.78.Найдите остаток от деления на 17 числа 21999 + 1.

4.79.Встретится ли каждое простое число в качестве сомножителя некоторого числа Евклида en? (См. также 3.25.)

4.80.Пусть в прямоугольном треугольнике длины сторон выражаются целыми числами. Докажите, что длина одного из катетов кратна 3,

идлина одной из трех сторон делится на 5.

4.81.Пусть m — произведение первых n простых чисел (n > 1). Докажите, что ни одно из чисел

а) m + 1; б) m − 1

не является полным квадратом.

4.82.При каких целых n число an = 5n2 + 10n + 8 делится на 3?

Апри каких на 4?

4.83.При каких целых n выражение n2 − 6n − 2 делится на а) 8; б) 9; в) 11; г) 121?

4.84.При каких целых n выражение n2 − n − 4 делится на а) 17; б) 289?

4.85. Найдите все такие целые числа x, что x ≡ 3 (mod 7), x2 ≡

≡44 (mod 72), x3 ≡ 111 (mod 73).

4.86.Докажите, что 22225555 + 55552222 . 7.

4.87.Докажите справедливость следующих сравнений: а) 1 + 2 + 3 + . . . + 12 ≡ 1 + 2 + 22 + . . . + 211 (mod 13);

б) 12 + 22 + 32 + . . . + 122 ≡ 1 + 4 + 42 + . . . + 411 (mod 13).

Будут ли справедливы аналогичные сравнения для б´ольших показателей?

4.88. Докажите, что число 1k + 2k + . . . + 12k делится на 13 для k = 1, 2, . . . , 11.

4.89.Докажите, что если 6n + 11m делится на 31, то n + 7m также делится на 31.

4.90.Известно, что ax4 + bx3 + cx2 + dx+ e, где a, b, c, d, e — данные целые числа, при всех целых x делится на 7. Докажите, что все числа a, b, c, d, e делится на 7.

4.91.Докажите, что если многочлен с целыми коэффициентами

P(x) = anxn + . . . + a1x + a0

принимает при x = 0 и x = 1 нечетные значения, то уравнение P(x) = 0 не имеет целых корней.

4.92.Докажите, что pp+2 + (p + 2)p ≡ 0 (mod 2p + 2), где p > 2 — простое число.

4.93.Решите сравнения:

Чтобы решить сравнение ax ≡ b (mod m), попробуйте сначала решить в целых числах уравнение ax + my = b.

4.94.Найдите все пары чисел вида 1xy2 и x12y, таких, что оба числа делятся на 7.

4.95.В каких случаях разрешимо сравнение ax ≡ b (mod m)? Опишите все решения этого сравнения в целых числах.

4.96.Для каких чисел a решением сравнения ax ≡ 1 (mod p) будет само число a?

4.98. Обращение теоремы Вильсона. Докажите, что если n > 1 и

(n − 1)! ≡ −1 (mod n),

то n — простое число.

4.980. Геометррическое доказательство теоремы Вильсона.

Пусть p > 2 — простое число. Сколькими способами можно провести через вершины правильного p-угольника замкнутую ориентированную, p-звенную ломанную? (Ломанные, которые можно совместить поворотом, считаются одинаковыми.) Найдите формулу и выведите из неё теорему Вильсона.

4.99. Теорема Лейбница. Докажите, что p — простое тогда и только тогда, когда

(p − 2)! ≡ 1 (mod p).

4.100. Теорема Клемента. Докажите, что числа p и p+2 являются простыми числами-близнецами тогда и только тогда, когда

4((p − 1)! + 1) + p ≡ 0 (mod p2 + p).

4.101. Известно, что числа a1, . . . , an равны ±1 и

a1a2 + a2a3 + . . . + an−1an + ana1 = 0.

Докажите, что n . 4.

Пусть F(x1, . . . , xn) — многочлен с целыми коэффициентами от переменных x1, . . . , xn. Очевидно, что каждое решение уравнения

Поэтому, если хотя бы при одном m сравнение (4.2) неразрешимо, то уравнение (4.1) не имеет решений в целых числах.

4.102. Докажите, что следующие уравнения не имеют решений в