Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями / Сборник задач по ВМ ч

x − x0

f (x)

при x → x0 называется производной функции

в точке x0

и обозначается одним

из символов

df (x0 )

f

′(x0 ),

,

f ′

.

Итак, по определению

dx

x=x0

f (x)− f (x0 )

f ′(x0 )=

lim

.

(1.1)

x →x0

x − x0

Полагая x − x0 = ∆x ,

из

формулы

(1.1)

получаем

другое

определение

производной функции f (x) в точке x0 :

f ′(x0 )= lim

f (x0 + ∆x)− f (x0 )

= lim

∆f (x0 )

,

(1.2)

∆x

→0

∆x

∆x→0

∆x

т.е. производная функция

f

в точке x0

есть предел отношения ее приращения

∆f (x0 ) в этой точке к соответствующему приращению аргумента.

Если в каждой точке x (a,b) существует

lim

f (x + ∆x)− f (x)

, x (a, b),

∆x

∆x→0

то функция f называется дифференцируемой на интервале (a, b).

f ′(x0

+ 0)=

lim

f (x)− f (x0 )

= f+′ (x0 )

(1.3)

и

x→x0 +0

x − x0

f (x)− f (x0 )

f ′(x0

− 0)=

lim

= f−′ (x0 )

(1.4)

соответственно.

x→x0 −0

x − x0

1.1. Исходя из определения производной, найти производные следующих

функций в точке x0 :

а) f (x)= 3 2 + x , x0 = 0 ; б) f (x)=

ln x

,

x0 =1;

в)

2

sin(6 x)),

x ≠ 0,

f (x)= x + arcsin(x

0

,

x = 0.

U а) Согласно формуле (1.2) имеем

f ′(x0 )= lim

3 2 + ∆x − 3 2 =

lim

3

2

2 + ∆x − 2

2

3

2

=

∆x→0

∆x

∆x→0

(2

+ ∆x)

+

3

(2 + ∆x)

+

2

∆x

=

lim

1

=

1

∆x→0 3 22 + 3 22 + 3 22

33 4 .

б) При x =1

∆f (1)=

ln(1+ ∆x)

ln(1+ ∆x)

−

ln1

=

,

т.е.

∆f (1)=

ln(1+ ∆x)

= ln(1

+ ∆x) , ∆x ≥ 0,

Поэтому

−ln(1+ ∆x), ∆x < 0.

ln(1 + ∆x)

∆f (1)

,

∆x

> 0 ,

∆x

∆x

=

ln(1 + ∆x)

,

∆x < 0,

откуда

−

∆x

∆f (1)

∆f (1)

lim

= +1 = f+′ (1)

и

lim

= −1 = f−′ (1).

∆x

∆x

∆x→0

∆x→0

Поскольку односторонние пределы различны, то не существует производной

f ′(1). Значит, функция

f

(x)=

ln x

в точке x =1 не дифференцируема.

в)

Имеем, согласно формуле (1.1),

f (x)

x + arcsin(x2 sin 6 x)

′

f (x)− f (0)

= lim

= lim

.

f (0)= lim

x −

0

x

x −

0

x2 sin(6

x)

x→0

x→0

x→0

Но

есть б.м.ф. в точке

x = 0

как

произведение б.м.ф. x2 на

ограниченную функцию sin(6 x). Поэтому arcsin(x2 sin(6

x))~ x2 sin(6 x), x → 0 .

3

− x

3 2

sin1 3x),

x ≠ 0,

а)

arctg(x

Отв. 0.

f (x)=

,

x = 0;

0

б)

2

−cos x ,

x ≠ 0,

Отв. 0.

f (x)= ex

0

,

x = 0;

в)

tg x

sin x

, x ≠ 0,

Отв.

f (x)= 2

− 2

0

,

x = 0;

г) f (x)= 3x sin x .

Отв. 0.

Имеет место следующее утверждение (основные правила дифференцирования):

если функции u =u(x), v = v(x)

дифференцируемы в точке x , то и функции

u+v , u v , u v (v(x) ≠ 0)

также дифференцируемы в этой точке, причем:

′

′ ′

а) (u+v)′=u′+v′; б)

(u v)′=u′v+v′u ; в)

u

= u v−v u .

(1.5)

v

v2

Следующие теоремы дают способ вычисления производной сложной и

обратной функций.

y = f (x) имеет

Теорема 1.1 (производная сложной функции). Если функция

производную в точке x0 , а функция

z = g(y)

–

в точке y0 = f (x0 ), то сложная

функция (композиция f и g) z ≡ ϕ(y)= g(f (x))

также имеет производную в точке

x0 , причем

ϕ′(x0 )= g′(y0 ) f ′(x0 ),

(1.6)

или в других обозначениях

dz

=

dz

dy

.

(1.7)

dx

dy

dx

dz

=

dz

dy

dx

(1.8)

dt

dy

dx

dt

.

y = f (x)

Теорема 1.2 (производная обратной

функции). Пусть функция

непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки x0 , и пусть в

этой точке существует производная

df (x0 )

≠ 0 . Тогда обратная функция

f −1 (y) в

dx

точке y0 = f (x0 ) имеет производную, которая находится по формуле

df −1 (y0 )

=

1

.

(1.9)

dy

df (x0 )

17. (sh x)′ = ch x ;

(sh u)′

= ch u u′.

18. (ch x)′ = sh x ;

(ch u)′

= sh u u′.

′

1

′

1

19.

(th x) =

;

(th u)

=

u

′.

ch 2 x

ch 2 u

′

1

′

1

20.

(cth x) = −

, x ≠ 0 ;

(cth u)

= −

u′.

sh 2 x

sh 2 u

1.4. Вычислить производную функции

f (x)= 5

x2

arcctg x +2log32 x − earcsin x .

x4

U Используя основные правила дифференцирования (1.5) и формулу (1.6)

производной сложной функции (1.6), последовательно получаем:

′

5

2 ′

5

2

′

3

′

f

(

x

)arcctg x +

x

(arcctg x)

+ 2 log

x −

(x)=

2

(earcsin x )′ x4

− (x4 )′

earcsin x

2

−3 5

5

x2

2

′

−

=

x

arcctg x −