Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями / Сборник задач по ВМ ч

.4.pdf

Скачиваний:

120

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

1.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Отв. а)

f (x) = x +

2x5

+ o(x5 );

б) 3,0171;

в) −

9. f (x) =

5 − 4x, [−1,1].

Отв.

f (1) =1−наименьшее значение,

f (−1) = 3 −наибольшее.

10. а)

(x) =

;

б)

f (x) =

− x2 )2

+ x

11. а)

= (2t)i

+(t −7)

j ;

б) r =

+(tg t) j + 2t k , t =π .

cos t

Отв. а) прямая x − 2 y −14 = 0 . б)

x +1

z − 2π

− y + 2z − 4π = 0 .

−1

Вариант 3

1. f (x) =

2x + ln 1+ x4arctg

, x ≠ 0;

Отв.

2 .

x = 0.

2. а) f (x) = ln tg 2x .

б) f (x) = (x +1)sin x .

в) y = x2 +arctg (xy) .

x =sin2 t,

г) 2

y = cos t.

Отв. sin1 x .

Отв. sin x −(x +1) cos x ln(x +1) (x +1)sin x . (x +1) sin2 x

Отв. 2x + 2x3 y2 + y . 1+ x2 y2 − x

Отв. −1.

3. а) Найти расстояние от начала координат

до нормали

линии

y = e2x + x2 ,

проведенной в точке x = 0 .

Отв.

2 5 .

б) Зависимость пути от времени задана

уравнением

S(t) = t ln(t +1).

Найти

скорость движения в конце 2-ой секунды.

Отв. 1,76 м/сек.

4. y = cos x при x =151o .

Отв. −0,875 .

(−1)

5. а)

y =

Отв. n!

n+1

x(1− x)

(1− x)

б)

= 2 px,

′′

Отв.

−

yxx −?

=1+e

в)

Отв. 2e−3at

−e−2at .

−at

′′

y = at +e

yxx −?

Для

функций

f (x) = x2 + 2

F (x) = x3 −1

проверить выполнение

условий

теоремы Коши на отрезке [1, 2] и найти ξ .

Отв.14 .

7. а)

lim

;

б)

lim(1+ x2 )x .

Отв. а) ∞; б) 1.

x→∞ x5

x→0

8. а)

f (x) =

x, x =1, до члена с (x −1)2 .

lim sin x −ln(1+ x) .

б)

arcsin 20o; ξ = 0,001; в)

Отв. а) 1+ 1 (x −1) −

x→0

ex −1− x

(x −1)2

+ o(x −1)2 ; б) 0,304 ;

в) 1.

f (x) =

x2 −2x +1

[0, 4].

Отв. f (0) = −

1 −наименьшее значение,

x −2

f (4) = 4,5 −наибольшее.

10. а)

f (x) =

x2 − 2x −7

;

б) f (x) = x3e−4 x .

x + 2

11. а)

rr = (t2 +t + 2)ir+ (t2 +t +1)rj

;

б) rr =

ir + sin t

rj + atkr,

t0 = π .

cos t

Отв. а) часть прямой x − y −1 =1 для x > 0 ,

y > 0 ;

б)

x −1

y −1

z −1

8x +8y + 4az −(4 2 +8 + a2π )= 0 .

ln(1+ 2x2

+ x3 )

Вариант 4

≠ 0;

Отв.

2 .

f (x) =

x = 0.

а)

f (x) =

1 ln(1+ x) − 1 ln(1+ x2 ) −

Отв.

2(1+ x)

(1+ x)2 (1+ x2 )

б)

f (x) = x

x .

Отв.

x x 1−ln x .

в)

x2 + y2 = carctg y .

Отв.

y′x = cy + x

x2 + y2 .

cx − y

x2 + y2

= e

−t

г)

Отв. −2e3t .

= e

3. а) Под каким углом кривая y = ln x пересекает ось OX ?

Отв.

π .

б) В какой точке параболы

абсцисса?

4.y = arcsin x при x = 0,45 .

5.а) y = x4ex .

2	2	′′
б) x	− xy + y =15,
		yxx −?

y2 =18x ордината возрастает вдвое скорее, чем

;

Отв.

0,499 .

n−1

(n −1)

n−2

Отв. e

+ n

+K+ n! .

Отв.

(x −2 y)3

	x = t2 + 2t,
	в)			′′
	y = ln(t +1),			′′
	y = ln(t +1),			yxx −?
	6. Для функций		f (x) = sin x
Коши на отрезке			π	и найти
Коши на отрезке		0,		и найти
lim ln(sin mx) ;			2
lim ln(sin mx) ;		б)	lim xsin x .
x→0	ln sin x		x→0

Отв. − 2(t +1 1)4 .

и F (x) = cos x проверить выполнение условий теоремы

ξ .	Отв.	π .	7.	а)
		4

Отв. а) 1; б) 1.

8. а)

f (x) = e2 x −x 2 ,

= 0 , до члена с x3 .

ln(1+ x)

б) arctg 0,2;

ξ = 0,001;

в) lim

x→0 ex −cos x

Отв. а)

f (x) =1 + 2x + x2 + − 2 x3

+ o(x3 );

б) 0,197 ;

в) 1.

[−1,1].

f (1)=1−наименьшее значение,

9. f (x) =

5 −4x,

Отв.

f (−1) = 3 −наибольшее.

10. а)

(x) =

x −2

;

б)

f (x) = x3e−x .

x2 −4x −

11. а)

= (2ch t)ir +(7sh t) rj ;

б)

rr = t i +t2 j + 2 t3k , t =1.

Отв. а) гипербола

−

=1.

б)

x −1

y −1

z −2

x + 2 y + 6z −13 = 0 .

cos x −cos 3x

Вариант 5

x ≠ 0;

1. f (x) =

Отв. 4 .

x = 0.

2. а)

f (x) = e

Отв.

(sin x −cos x)

1 + ctg

2 x

2 sin

б)		f (x) = x					3	x2
б)		f (x) = x					3		.
							x2		+1
в)	ln y +				x	= c .
в)	ln y +				y	= c .
					y
				1
	x =					,
	x =		t	+1		,
г)			t	+1
г)					t		2
					t		2
		y =					.
		y =					.
			t +1
			t +1

3. а) Найти угол, под которым пересекаются прямая

2 y =8 − x2 .

Отв.	3x2 +5				x2
Отв.	3(x2 +1)			3	x2 +1 .
				3
Отв.	y′x =		y		.
Отв.	y′x =		x − y		.
			x − y
Отв.	−2t	.
Отв.		.
	t +1

x + y − 4 = 0 и парабола

Отв. arctg 13 .

б) Одна сторона прямоугольника увеличивается со скоростью V1 = 2 , а другая со

скоростью V2 = 3.

С какой скоростью увеличивается его площадь в момент, когда

одна сторона 20 , а другая 50 ?

Отв. 160 .

y = tgx при x = 43o .

Отв.

0,930 .

πn

а)

y = e

cos x .

Отв.

cos x

б)

+ y

= 4,

′′

Отв.

yxx −?

		t	cos t,
в)	x = e
		t	′′

	y = e		sin t, yxx −?

Выполняется ли теорема Ролля для функции f (x)

lim ln x

а)

;

б)

lim

−

x→0

x→1 ctgx 2 cos x

а)

f (x) = sin2 x, x

= 0 , до члена с x6 .

б)

;

= 0,01;

в) lim

ex −cos x − x

ln(1+ x) − x

x→0

Отв. а)

f (x) =

2x2 +

23 x4

25 x6

+ o(x6 ); б) 0,78;

− 2et

Отв. (cos t +sin t)3 .

=1−3 x2 на [−1,1]?

Отв. Нет.

Отв. а) 0 ; б) −1.

в) − 2 .

9. f (x) = x +	1		,	[0,01,100].		Отв. f (1)= 2 −наименьшее значение,
		x				f (0,01) = f (100) =100,01 −наибольшее.
						f (0,01) = f (100) =100,01 −наибольшее.
10. а) f (x) =				x	;	б) f (x) = 3 1− x2 .
10. а) f (x) =	(1			− x2 )2	;	б) f (x) = 3 1− x2 .
	(1			− x2 )2

3 r

4 cos t

11.

а) r

−

sin t

j ;

б) r = (t cos t)i +(t sin t)j + 2t k

, t =π .

sin t

Отв. а) гипербола

−

=1.

б)

x +π

z − 2π

x +π y − 2z +3π = 0 .

−1

−π

Вариант 6


			2			2			1
1.	arctg x			cos							,		x ≠ 0;
	arctg x			cos							,		x ≠ 0;
	f (x) =							5x
				0							,		x = 0.
				0							,		x = 0.
2.	а) f (x) =	1			+		1			ln			x4	.
2.	а) f (x) =				+		4			ln		+ x4		.
		4(1+ x4 )					4				1	+ x4

б) f (x) = (arctgx)x .

в) x3 + x2 y + y2 = 0 .

Отв.			4 .
Отв.				x			.
Отв.							.
				x4 −1
	x					x
Отв. (arctgx)									+ ln(arctgx) .
Отв. (arctgx)					2				+ ln(arctgx) .
		(1	+ x		2	)arctgx
		(1	+ x			)arctgx
		Отв.				y′x = −		x(3x + 2 y)		.
		Отв.				y′x = −				.
									x2 + 2 y

x = t ,

г)

y = 3 t .

3. а) Доказать,

Отв. 3 26 t .

что касательные, проведенные к гиперболе y = xx −−42 в точке ее

пересечения с осями координат, параллельны между собой.
б) Точка движется по прямой	y = 2x + 7 так, что абсцисса убывает с постоянной
скоростью V = −2 . Какова скорость изменения ординаты?				Отв. − 4 .
4. y = arctgx при x = 0,98 .				Отв. 0,775.
5. а) y = cos3 x .	Отв.	3		πn	+	3n		πn
5. а) y = cos3 x .	Отв.	4	cos x +		+	4	cos 3x +	.
		4		2		4		2

б) x	2	+ y	2	=144,	′′	Отв. −	144	.

					yxx −?		y3

x = 2t −t2		,
в)	2		′′
		,
y = 3t −t			yxx −?

Отв. 3 . 4(1−t)

6. Функция f (x) = 3 (x − 2)2 на концах отрезка [0, 4]							принимает равные значения
f (0) = f (4) = 3 4 . Справедлива ли для этой функции теорема Ролля на отрезке [0, 4]?
				1			Отв. Нет.
	1− x			1			Отв. а) ∞; б) 1 .
7. а) lim	1− x		;	б) lim x	1−x	.
7. а) lim	πx		;	б) lim x	1−x	.
x→0	πx			x→1			e
	1- sin	2

8. а) f (x) = x3 − 2x2 + +3x +5, x = 2 .

б) sin1o;

ξ = 0,001;

в) lim cos 2x −cos x .

x→0

cos x −1

Отв. а)

f (x) =11+ 7(x − 2)+ 4(x − 2)2 −(x − 2)3 ; б) 0,017 ;

в) 3 .

f (x) = x3 −3x2 −9x +11, [0, 5].

Отв. f (3)= −16 −наименьшее значение,

f (5) =16 −наибольшее.

10. а) f (x) = x2 +

2 ;

б) f (x) = 3 1− x3 .

11. а) rr = (2 +t) ir

б) rr = (2 sin t) i + (cos t) j + 4t k , t =π .

+ (3 −2t) rj ;

Отв. а) прямая 2x + y −7 = 0 .

б)

y +1

z − 4π

, x − 2z +8π = 0 .

− 2

Вариант 7

cos

x ≠ 0;

Отв. 0 .

f (x) =

x = 0.

2. а) f (x) =			2	1			ln x 3 − 2 .
						6 x		3 + 2
б) f (x) = x(x −1) .
							x − 2
в)	arctg	y	=		1 ln(x2			+ y2 ).
		x
						2
						3	t,
г)	x = a cos
					3
							t.
	y = b sin

Отв. 2 1 − x2 .

x2 − 4x + 2

Отв. 2 x(x −1)(x − 2)3 .

Отв. y′x = xx +− yy .

Отв. − ba tgt .

3. а) Найти значение независимой переменной, при котором касательная к кривой

y = ln x параллельна прямой y = x −1.					Отв. x =1.
б) С какой скоростью изменяется объем шара, если его радиус изменяется со
скоростью V ?				Отв. 4π r2V .
4. y = 1		при x = 29o.	Отв.	0,437 .
	x						πn
5. а)	y = sin 4 x + cos4 x .		Отв.
				4n−1 cos 4x +			.
					y		2
б)	y = x + ln y, y′′xx −?		Отв.			.
					(1− y)3

x = arccost,

Отв. −

2 .

в)

′′

y = ln(1 −t)

1 −t

yxx −?

6. Для отрезка параболы

y = x2 , заключенного между A(1;1)

и B(3; 9)

найти точку,

касательная к которой параллельна хорде AB .

Отв. (2; 4) .

7. а)

б)

lim(ctgx)ln x .

Отв. а) 1 ;

б) 1 .

lim cos2 x − 2tgx ;

x→π

1+ cos 4x

x→0

8. а) f (x) =1 +5x +3x2 + 4x3 , x =1.

б)

lg11;

ξ = 0,001;

в)

lim

x cos x −sin x

x→0

− 1 .

Отв. а)

f (x) =13 + 23(x −1) +15(x −1)2 + 4(x −1)3 ;

б) 1,041;

в)

9. f (x)

[−2, 0].

Отв.

f (−1)= −1 −наименьшее значение,

+ x2

f (0) = 0 −наибольшее.

10. а)

f (x) =

x2 − 2x + 2

;

б) f (x) =

x −1

3 (x − 2)2

11. а)

e2t

−e

−2t r

e2t

−e−2t

= 2 .

j ;

б) r = t i +t3

j + 2t k , t

Отв. а) гипербола

− x2 =1.

б)

x − 2

y −8

z − 4

x +12 y + 2z −104 = 0 .

Вариант 8

sin

−1+ 2x,

x ≠ 0;

f (x) = 3

Отв.

2 .

x = 0.

а)

f (x) = 3

1 + x3

Отв.

2x2

1+ x3

1 − x3

1− x6

1− x3

x −

б)

f (x) = x

Отв.

ln x .

в)

=1.

Отв.

y′x

= −

b2 x

a2 y

г) x = a(t −sin t),

Отв.

sin t

1−cos t

y = a(1−cos t).

3. а) На параболе y = x2 взяты две точки с абсциссами x1 =1, x2 = 3. Через эти точки

проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей? Отв. x = 2 .

б) Точка движется по прямой y = 2x +3 так, что абсцисса возрастает с постоянной

скоростью V = 3 . Какова скорость изменения ординаты?

4.	y = 3x при x = 0,2 .
5.	а) y = sin ax sin bx .		Отв.	(a −b)n		πn
5.	а) y = sin ax sin bx .		Отв.	2	cos (a −b)x +	−
				2		2
	б)	x2 +5xy + y2 − 2x −6 = 0 , y′′xx −?				Отв.
	в)	x = t + cos t,				Отв.
	в)		′′			Отв.
		y = 2 −sin t,	′′
		y = 2 −sin t,	yxx −?

Отв. 6 .
	Отв. 1,22 .
(a +b)n			(a +b)x +			πn
2	cos		(a +b)x +			2	.
2						2
16 y −16xy		′	− 4 y	′	−10 .
16 y −16xy			− 4 y		−10 .
(5x + 2 y)2

−	1	.
	(1 −sin t)2

6. Проверить выполнение условий теоремы Лагранжа и найти соответствующую

промежуточную точку ξ для функции f (x) = x4 3 на [−1,1].

Отв. 0 .

7. а)

lim

tgx

;

б)

lim(ctgx)sin x .

Отв. а) 5 ;

б)1.

tg5x

x→π

x→0

= 0 до члена с x7 .

8. а)

f (x) = arctgx, x

sin x − x

б)

ξ = 0,0001;

в) lim

x→0 ex −1− x −

Отв. а) f (x) = x −

−

+ o(x7 ) ;

б) 2,2361;

в) −1.

9. f (x) = x3 x −1,

[1, 2].

Отв. f (1) = 0 −наименьшее значение,

f (2) = 2 −наибольшее.

10. а)

f (x) =

x4 +

;

б)

f (x) =

ln x

11. а) rr = (2sin2 t)ir + (cos2 t)rj ;

б) rr = e2t i +e2t j +3tk , t = 0.

Отв. а) Отрезок прямой

+ y =1, заключенный между координатными

осями.

x −1

y −1

б)

2x + 2 y +3z − 4 = 0 .

Вариант 9

sin

x ≠ 0;

arctgx5

Отв. 0 .

1. f (x) =

x = 0.

2. а)	f (x) = sin(cos2 x) cos(sin2 x).
б) f (x) =			(x − 2)9
б) f (x) =			(x −1)5 (x −3)11 .
в)	y −0,3sin y = x .
	x =	t2 +1,
г)
г)		t −1 .
	y =	t −1 .
			t2 +1

Отв. − 2sin 2x cos(cos 2x).

Отв.		(x − 2)8 (x2 −7x +1)			.
	(x −1)(x −3) (x −1)5 (x −3)11
Отв.	y′x =		10	.
		10	−3cos y

Отв.	t +1		.
	t(t2 +1)

а)

В какой точке

кривой y2 = 2x3

касательная

перпендикулярна

к прямой

4x −3y + 2 = 0 ?

Отв.

;

−

б)

Тело, брошенное вверх, движется по закону S = −4,905t2 +981t +950 ( S −в м,

t −в сек.). В какой момент времени t

его скорость будет равной 0 ?

Отв. 100 с.

y = 3 x при x = 9 .

Отв.

2,083.

а)

y = cos ax cos bx .

Отв.

(a −b)n

(a −b)x +

πn

(a +b)n

+b)x +

πn

cos

cos (a

б) x2 − xy + y2 =1, y′′xx −?

Отв.

(x −

2 y)3

x = sin t,
в)	′′

y = ln cos t, yxx −?

6. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции на [1, 2].

7. а) lim tgx − x ;	б) lim xx .
x→0 x-sin x	x→0
8. а) f (x) = x4 −5x3 + x2 −3x + 4, x = 4 ;
	0	x −sin x
б) cos 9o;	ξ = 0,001; в) lim		.

	x→0 ln(1+ x3 )

−1+sin2 t

Отв. cos4 t .

f(x) = (x −1)(x −2)(x −3)

Отв. а) 2 ; б) 1.

					2	3	4	1
Отв. а)	f (x) = −56 +				21(x − 4)+37(x − 4)	+11(x − 4)	+(x − 4) ; б) 0,987 ; в)	6 .
9. f (x) = x2 − x3,			[−1,1].		Отв. f (−1) = f (0) = 0 −наименьшее значение,
					f (1) = 2 −наибольшее.
10. а) f (x) =		4x		;	б) f (x) =	x + 4 − x .
10. а) f (x) =		4 + x2		;	б) f (x) =	x + 4 − x .
		4 + x2

11. а) rr =		2	ir	+	2t rj ;	б) rr = (et cos t )i
	1 +t2				1 +t2			x −1
Отв. а) полуокружность y =						4 − x2 .	б)	x −1	=
Отв. а) полуокружность y =						4 − x2 .	б)		=
							2
						Вариант 10
		x 2 sin 5x
1. f (x) =				−1, x ≠ 0;
1. f (x) =	e			−1, x ≠ 0;
				,	x = 0.
	0			,	x = 0.

2.а) f (x) = x ln(x + 1+ x2 )− 1+ x2 .

б) f (x) = xx2 .

в) tgy = xy .
		2t
x =				,
x =		1+t	2	,
		1+t
г)		1−t2
	y =	1−t2		.
	y =	1+t	2	.
			2

+(et sin t)j +et kr, t = 0 .

1y = z 1−1 , x + y + z − 2 = 0 .

Отв. 1.
Отв. ln(x +			x2 +1).
Отв.	xx2 +1(1+ 2 ln x).
Отв.	y′x =		y cos2 y		.
			− x cos2
	1			y
Отв.	−2	.

	1−t2

а)

Найти

точки,

которых

касательные

кривой

y = 3x4 + 4x3 −12x2 + 20 параллельны оси абсцисс.

Отв. (0; 20); (1;15); (− 2; −12).

б) Тело, брошенное вверх, движется по закону S = −4,905t2 +981t +950 ( S −в

м,

t −в сек.). На какую высоту поднимется тело,

когда его скорость станет равной

0 ?

Отв.

H = 50000 м.

y = 5 x при x = 33 .

Отв.

2,012 .

а)

y = sin ax cos bx .

Отв.

(a −b)n

πn

(a +b)n

πn

sin (a −b)x

sin (a +b)x +

′′

б)

+ y

= 25,

−?

Отв.

−

3 .

yxx

в)

x = a cos t,

Отв.

−

′′

y = a sin t,

−?

a sin

yxx

Выполнимы ли условия теоремы Ролля на отрезке [0, π] для функции y = tgx ?

Отв. Нет.

а)

lim

x cos x −sin x

; б)

sin x

Отв.

а) −

;

б) 1.

lim

x→0

x→0 x

а)

f (x) =

3 1+ x, x

= 4 , до члена с x2 .

б)

ln1,05;

ξ = 0,001; в) lim

ex sin x − x(1 + x)

x→0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями

#
11.05.20153.35 Mб183Сборник задач по ВМ ч.1.pdf
#
11.05.20151.73 Mб131Сборник задач по ВМ ч.10.pdf
#
11.05.20153.42 Mб115Сборник задач по ВМ ч.2.pdf
#
11.05.20152.99 Mб239Сборник задач по ВМ ч.3.pdf
#
11.05.20151.26 Mб120Сборник задач по ВМ ч.4.pdf
#
11.05.2015672.61 Кб178Сборник задач по ВМ ч.5.pdf
#
11.05.20151.41 Mб105Сборник задач по ВМ ч.6.pdf
#
11.05.20151.29 Mб140Сборник задач по ВМ ч.7.pdf
#
11.05.20151.03 Mб102Сборник задач по ВМ ч.8.pdf
#
11.05.20151.88 Mб107Сборник задач по ВМ ч.9.pdf