Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями / Сборник задач по ВМ ч

.4.pdf

Скачиваний:

120

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

1.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Каждая прямая l , проходящая через точку M 0 и лежащая в

r'(t0 )

нормальной плоскости α (рис. 4.4), называется нормалью.

Справедливы

следующие

правила

дифференцирования вектор-функций:

M 0

′

r′

(r1

(t) + r2

(t)) = r1 (t) + r2 (t) ,

(f (t)rr(t))′ = f ′(t)rr(t) + f (t)rr′(t) ,

′

r′

′

Рис. 4.4

(r1 (t), r2

(t))

= (r1 (t), r2 (t))+ (r1

(t), r2 (t)),

′

r′

[r1(t), r2 (t)] = [r1(t), r2 (t)]+[r1(t), r2 (t)],

Если в точке t0

выполнены условия

r′(t0 ) = 0r, r′′(t0 ) = 0 , …, r (n−1) (t0 ) = 0 , r (n) (t0 ) ≠ 0 ,

то уравнение касательной к годографу в коне радиуса-вектора rr(t0 )

имеет вид

rr = (x, y, z) = rr(t0 ) + rr(n) (t0 ) t , t R.

y = y(t) ,

z = z(t)

При этом, если координатные

функции

x = x(t) ,

раз

дифференцируемы, то

rr(k ) = (x(k ) (t), y(k ) (t), z(k ) (t)) , k =1,2,..., n .

Дифференциалом вектор-функции r (t) в точке t0

называется выражение

′

= (dx, dy, dz) ,

(4.11)

= r (t0 )dt = (x

(t0 ),

(t0 ), z (t0 ))dt

= (x (t0 )dt,

y (t0 )dt, z

(t0 )dt)

где dt = ∆t

- приращение аргумента.

определяется

помощью рекуррентного

Дифференциал

n -го

порядка

соотношения

d n rr(t) = d(rr(n−1) (t)dt n−1 ) = r (n) (t)dt n .

t(s0 ) = t0 , а

(4.12)

Если

функция

t = t(s) дифференцируема

при

s = s0 ,

вектор-

функция rr

= rr(t)

дифференцируема в точке t0 ,

то сложная функция ρ(s) = r (t(s))

дифференцируема в точке s0 , причем

r′

′

(s0 ) =

′

ρ (s0 )

= rt

(t0 ) ts

(xt

(t0 ) ts (s0 ),

(t0 ) ts (s0 ), zt (t0 ) ts (s0 )) =

= (xt′(t0 ), yt′(t0 ), zt′(t0 )) ts′(s0 ) .

(4.13)

Теорема Лагранжа. Если вектор-функция r (t) непрерывна на отрезке [a, b] и

дифференцируема на интервале (a, b)

, то существует точка

c (a, b) , такая,

что

≤

r′

(b − a) .

r (b) − r (a)

r (c)

Формула Тейлора. Если вектор-функция r (t) определена в некоторой

окрестности точки t0

и имеет n производных в этой точке, то для нее справедлива

формула Тейлора:

rr(t) = ∑ 1 rr(k ) (t0 )(t −t0 )k + 0r(∆t n ) ,

∆t = t −t0 .

(4.14)

k =0

t (a, b) , если r ′(t) существует на (a,b) и

4.3. Показать,

что (rr(t), rr′(t))= 0 ,

= c = const

для всех t (a, b) .

r (t)

∆

Имеем

r′

= c

. Используя правило

дифференцирования

r (t)

= (r (t), r (t))

скалярного произведения получаем

(rr(t), rr(t))′ = 2(rr(rt), rr′(t)r)′= (c2 )′ = 0 (rr(t), rr′(t))= 0 ,

т. е. в этом случае векторы r (t)

и r

(t) ортогональны.

4.4. Написать уравнения касательной и нормальной плоскости к годографу

вектор-функции rr(t) = (t, tg t, −sin 2 t) в точке t0

= π 4 .

r′

∆ Касательный вектор τ

= r

(t) =

− 2 sin t cos t при t0 = π 4 имеет

cos

r′

M 0

вид τ0

−1

. Точка

, −1,

−

. Согласно (4.9),

уравнение

= r (t0 ) = 1,

касательной описываются соотношениями

x −π

y −1

z +

−1

а нормальная плоскость – уравнением (4.10):

(x −π

)+ 1

(y −1)−1(z + 1

)= 0 2x + y − 2z −(4 +π) 2 = 0 . ▲

Кривой или параметрически заданной кривой называется множество Γ

пространстве R3 , заданные как непрерывный образ отрезка [a, b], т.е.

t → M (t) R 3 , t [a, b],

где M (t) - непрерывное отображение. В этом случае пишут

Γ = {M (t); a ≤ t ≤ b}.

Если в пространстве R 3

фиксирована декартова система координат XYZ , то

задание отображения M (t)

равносильно заданию трех функций

x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) , a ≤ t ≤ b ,

называемых координатными функциями отображения M (t) , т.е.

M (t) = (x(t), y(t), и z(t)),

a ≤ t ≤ b .

(4.15)

Таким образом, кривую Γ можно задать одним из трех видов:

а) Γ = {M (t); a ≤ t ≤ b};

б) Γ = {(x(t), y(t), z(t)), a ≤ t ≤ b};

(4.16)

в) Γ = {rr(t); a ≤ t ≤ b}.

Непрерывность отображения M (t) означает непрерывность всех его

координатных функций. Отображение M (t)

называется параметризацией кривой,

- параметром.

что точка M (t2 ) кривой

следует за точкой

M (t1 ) , или

Будем говорить,

точка M (t1 ) предшествует точке M (t2 ) , если a ≤ t1 ≤ t2 ≤ b . Если на кривой задан порядок точек, то такая кривая называется ориентированной. Точка M (a) называется начальной, а точка M (b) - конечной точкой ориентированной кривой.

Углом между ориентированными кривыми, пересекающимися в некоторой точке, называется угол между их касательными в этой точке.

Если равенство rr(t1 ) = rr(t2 ) выполняется при t1 = a , t2 = b , т.е. M (a) = M (b) ,

то

кривую

называют

замкнутой. Замкнутую кривую, не имеющую

точек

самопересечения, отличных от точек M (a)

и M (b) , называют простым контуром.

Точка M (a) называется начальной, а точка M (b) - конечной точкой кривой.

Кривая Γ

называется дифференцируемой кривой, если в (4.16, в) вектор-функция

r′

) ≠ 0 , точку M

= M (t

r′

) = 0 -

r (t

) называют неособой точкой кривой, если же r (t

r ′(t)

на [a, b] ,

то кривая Γ

особой. Если

непрерывна

называется непрерывно

дифференцируемой.

Γ лежит в

Если

кривая

некоторой

плоскости, то эту кривую называют

плоской. Если это есть плоскость XY , то уравнение кривой Γ имеет вид

Γ = {x = x(t), y = y(t), z = 0; a ≤ t ≤ b}.

Обычно в этом случае опускают уравнение z = 0 и записывают уравнение кривой в виде

Γ = {x = x(t), y = y(t); a ≤ t ≤ b}.

(4.17)

4.5. Пусть вектор-функция r (t) не обращается в нуль в некоторой окрестности

U точки t0 , и пусть ϕ = ϕ(t)

- наименьший неотрицательный угол,

выраженный в

радианах,

между

векторами

= r (t

)

r = r (t) ,

0 ≤ ϕ ≤ π .

Тогда

∆ϕ

∆ϕ =ϕ(t) −ϕ(t0 ) =ϕ(t) ,

поскольку ϕ(t0 ) = 0 .

Положим ∆t = t −t0 . Предел

lim

∆t→0

∆t

называется угловой скоростью вращения вектор-функции

r (t) в

точке

обозначается

через

ω = ω(t0 ; rr) .

Доказать,

что если rr0

= rr(t

) ≠ 0 ,

и существует

r′

= r (t

) , то существует и угловая скорость вращения ω = ω(t0 ; r ) , причем

[rr

, rr′]

ω =

(4.18)

Для случая

rr(t)

= const

получить отсюда формулу

ω =

[rr0′]

(4.19)

Каков ее механический смысл?

∆ При ∆ϕ → 0 справедливо ∆ϕ ~ sin ∆ϕ . Учитывая, что ∆ϕ → 0 при t → 0 и

то, что

rr(t0 + ∆t)

[rr(t0 ), rr(t0 + ∆t)]

rr(t0 )

sin ∆ϕ

получаем

[rr(t

0 ), rr(t0

+ ∆t)]

[rr(t0 ), r(t0 + ∆t)]

ω =

lim

∆ϕ

lim

sin ∆ϕ

lim

∆t

→0

∆t

∆t→0

∆t

∆t→0

∆t

(t0 )

(t0 + ∆t)

∆t

r0 , r0

+ r0

∆t

о(∆t

)

[rr , rr′]

lim

∆t

r0 2

∆t→0

о(∆t 2 )

, lim

= 0 .

так как

, r ]

= 0

∆t→0

∆t

Согласно примеру 4.3,

если

rr(t)

= c ,

то (rr0 , rr0′)= 0 =| rr0 | | rr0′| cosϕ ,

где ϕ -

угол

между векторами

′.

≠ 0r

rr′

0r ,

ϕ = π

Поскольку

, то либо

либо

и, следовательно, sin ϕ =1. В обоих

случаях [rr0 , rr0′] = [rr0 ] [rr0′]sin ϕ = [rr0 ] [rr0′]

Отсюда и из (4.18) получаем равенство (4.19). ▲

r′

Если

r = r(t) -

годограф

(путь)

движения

точки,

то

скорость

r (t) =V

движения. В силу (4.19) получим формулу

, V = ω r ,

ω = r = V

связывающую значение угловой скорости ω и линейной V при движении точки по

поверхности шара rr

= r = const .

4.6.

Представить

пересечение

сферы

x2 + y2 + z 2

= R2

цилиндра

x2 + y2

= Rx в виде параметрически заданной кривой.

∆ На плоскости XY образующая цилиндра, параллельного оси Z , имеет вид

+ y

= Rx x −

+ y

─

окружность радиусом

с центром в точке

, 0

(рис. 4.8).

Значит, 0 ≤ x ≤ R . Положим

x = 1

1 R cos 2t ,

1 R sin 2t , − π ≤ t ≤

π .

R +

y =

Из уравнения поверхности сферы имеем

Рис. 4.8

Z 2

= R2 − (x2 + y2 )= R2 − Rx = R2 − 1

R2 −

R2 cos 2t = 1 R2 (1 −cos 2t) = 2R2 sin 2 t ,

т.е.

Z = ± 2 R sin t

том,

что

имеются

две кривые

– одна

на

верхней

Знак “ ±

”

свидетельствует о

поверхности сферы, вторая – на нижней.

Итак, параметрические уравнения кривой имеют вид

x = 1

R + 1

R cos 2t ,

y =

1 R sin 2t , z = ±

2R sin t ,

− π

≤ t ≤ π

, (рис. 4.9).

Кривая Γ называется кривой Вавиани. ▲

4.7. При каких a кривая

x = eat cos t ,

x = eat

sin t ,

z = eat , − ∞ < t < ∞ ,

под углом

пересекает все образующие конуса x2 + y2 = z 2

Рис. 4.9

4 ?

∆ Касательный вектор к искомой кривой имеет вид

r′

(a cost −sin t), e

(a sin t

+ cost), ae

r = r (t) = (e

Вектор a = a(t) , направленный по образующей конуса x2 + y2

= z 2 , имеет вид

Поскольку

ar′ = (x, y,

x2 + y 2 )= (eat cos t, eat sin t, eat ).

r′

+1 ,

2 ,

то

| r (t) |= e

| a(t) |= e

cos(rr′(t),ˆar(t))= (rrr′(t), arr(t)) =

22 .

′

2a +1

r (t) a(t)

3π

Если угол

между векторами

r ′(t)

a(t) равен

или

то из последнего

равенства получаем

a 2

2a2 +1 =

2 a = ±

▲

Как известно, длина дуги Γ = {rr(t); a ≤ t ≤ b} вычисляется по формуле

′

dt ,

(4.20)

S = ∫

r (t) dt

= ∫

(x (t))

+ ( y (t))

+ (z (t))

a дифференциал длины дуги – формулой

r′

dS =

dt .

(4.21)

r (t)

Кривая, имеющая конечную длину

дуги

, называется спрямляемой. Гладкая

дуга является спрямляемой.

Γ , которая соответствует изменению

Пусть s = s(t)

- длина той части кривой

параметра от a до t . Тогда из (4.21) имеем

r′

r (t)

(4.22)

Пусть кривая Γ

rr′(t)

> 0 . Тогда из

является гладкой, без особых точек, т. е.

s = s(t) имеем t = t(s)

где

s -

переменная длина дуги,

0 ≤

s ≤

S . Уравнение

кривой Γ можно записать в виде

где S - длина дуги Γ .

r = r (t(s)) = ρ(s) , 0 ≤ s ≤ S

(4.23)

ее дуги s , то s

Если

параметром кривой

является

переменная

длина

называется натуральным параметром, а уравнение (4.23) кривой – натуральным уравнением.

4.8. Найти длину дуги s = s(t) винтовой линии
x = a cos t ,	y = a sin t , z = bt , 0 ≤ t ≤ T ,	(4.24)
a > 0 , b > 0 , и записать ее натуральное уравнение.
∆ Касательный вектор кrкривой′	(4.24) равен
r (t) = (−a sin t, a cos t, b) .

Тогда

r′

(−a sin t)

+ (a cost)

= a

r (t)

По формуле (4.22) получаем

ds =

a2 +b2 s = s(t) = t a2

+ b2 + c ,

где c = 0 , поскольку s(0) = 0 . Следовательно, t =

a2 + b2

Подставив значение t в соотношение (4.24), получим искомое натуральное представление винтовой линии в виде

x = a cos

y = a sin

z =

0 ≤ s ≤ S ,

+b2

где длина дуги S = T a2 + b2 . ▲

Если параметром непрерывно дифференцируемой кривой Γ является r

переменная длина дуги s , то ddsr =1 , т. е. вектор

τ =

=1,

(4.25)

является единичным касательным вектором к кривой Γ , иначе говоря,

∂x

∂y

∂z

∂x

= cosα,

∂y

= cos β,

∂z

= cosγ . (4.26)

= (cosα, cos β, cosγ) =

∂s

где cosα, cos β, cos γ - направляющие косинусы касательной к кривой Γ .

Пусть

Γ = {rr(s);

0 ≤ s ≤ S} -

(4.27)

дважды непрерывно дифференцируемая кривая и τr =

- единичный касательный

τ в данной точке кривой

вектор. Угловая скорость вращения касательного вектора

называется кривизной кривой в этой точке и обозначается k = k(s) , т. е.

k = k(s) = ω(s;τr) =

dτr(s)

(4.28)

Обратная величина к кривизне называется радиусом R кривизны кривой в

данной точке, т. е.

= 1 .

R = R(s) =

(4.29)

k(s)

dτr

Если k ≠ 0 , то единичный

вектор

направлении

вектора

называется

главным нормальным вектором и обозначается ν , т. е.

dτ

= k νr.

(4.30)

Γ параллельно

вектору ν ,

Прямая, проходящая

через

точку

кривой

называется главной нормалью.

Вектор

β = [rr,νr]

(4.31)

называется бинормальным вектором. Прямая, проходящая через точку кривой
параллельно вектору βr, называется бинормалью.
Если кривая (4.27) трижды непрерывно дифференцируема, то производная							dβ
							ds
бинормального вектора βr	коллинеарна с вектором ν , т. е.
			dβ	= −χ νr	,	(4.32)
где коэффициент χ = χ(s)			ds	= −χ νr	,	(4.32)
где коэффициент χ = χ(s)		называется кручением кривой в данной ее точке.
dνr
Для производной ds		справедлива формула
			dν	r	r
				= −kτ + χβ .		(4.33)
			ds	= −kτ + χβ .		(4.33)
			ds
Формулы (4.30), (4.32), (4.33) называются формулами Френе.
Тетраэдр с вершиной в точке M кривой					Γ ,	ребра которого имеют длину,

равную единице, и направлены по векторам τr,νrиβ , называется сопровождающим

трехгранником Френе. r

Если кривая Γ = {r (t); a ≤ t ≤ b} трижды непрерывно дифференцируема, то

rr =

rr′

r′

′

′′

′

νr =

[[rr,

], rr

]

r r1

]

[[rr′, rr′′], rr′],

]

[[r , r

], r

[[r , r ]

, r

′

′′

′

′′

βr =

]

[rr

′, rr′′],

[r , r

′

′′

, r

]

k =

′

′′

rr′

)

′

′′

′′′

χ =

(r , r , r

]

[r , r

′

′′

или в координатном виде:

(4.34)

(4.35)

(4.36)

(4.37)

(4.38)

′

′′

′

′′

′

′′

′

′′

′ ′′

k =

( y z

− z y )

+ (z x

− x z )

+ (x y

− y x )

(4.39)

′

′ 2

( (x )

+ ( y )

(z )

)

x′

y′

z′

x′′

y′′

z′′

χ =

x′′′

y′′′

z′′′

(4.40)

′

′′

′ ′′

′

′′

′

′′ 2

′

′′

′

′′

( y z

− z y )

+ (z x

− x z )

+ (x y

− y x )

Точки, в которых кривизна k = 0 , называются точками распрямления кривой, а точки, в которых кручение χ = 0 , - точками уплощения.

Плоскость, проходящая через данную точку кривой Γ

параллельно

касательной и главной нормали (перпендикулярно бинормали), называется

соприкасающейся плоскостью. Плоскость, параллельная главной нормали и

бинормали

(перпендикулярная касательной), называется нормальной плоскостью.

Плоскость, параллельная касательной и

нормаль

бинормали

(перпендикулярная

главной

нормали),

называется

спрямляющей

плоскостью (рис. 4.10).

я Главная

Соприкасающаяся

Уравнение

соприкасающейся

плоскости

плоскость

точке, в которой кривизна k ≠ 0 , имеет вид

ьна

′

′′

(r − r0 ,

ос

r0 ) = 0 ,

рмас

или

координатной

Но пл

Касательная

форме:

ль

x − x

y − y

z − z

рма

Спрямляющая

′

плоскость

x (t)

y (t)

z (t) = 0

(4.41)

′′

Рис. 4.10

x (t)

y (t)

z (t)

M 0

Бинормаль

точке

описывается

соотношениями

x − x0

y − y0

z − z0

y0′ z0′′ − z0′ y0′′

z0′ x0′′ − x0′ z0′′ =

x0′ y0′′ − y0′ x0′′ .

(4.42)

Векторное уравнение нормальной плоскости:

(rr − rr0 , rr0′) = 0 ;

в координатной форме:

(x − x(t0 ))x′(t0 ) + ( y − y(t0 )) y′(t0 ) + (z − z(t0 ))z′(t0 ) = 0 .

Векторное уравнение спрямляющей плоскости имеет вид

r′

r′′

′

(4.43)

− r0 , [[r0 ,

r0 ],

r0 ])= 0 .

Точка O′, лежащая на главной нормали к

кривой на расстоянии равном радиусу R кривизны

направлении

вектора

главной

нормали

ν ,

называется центром

кривизны

rкривой в данной

точке (рис. 4.11). Радиус-вектор ρ = ρ(x) кривизны

определяется соотношением

r(t)

ρ = ρrr(t) =r rr(t) − R(t) ν (t) .

Годограф вектор функции

ρ = ρ(x)

или,

другими

словами, кривая Γ1 , соединяющая множество

ρ(t)

центров кривизны Γ ,

называется эволютой кривой

Γ .

Если кривая Γ1 является эволютой кривой Γ ,

Рис. 4.11

то сама кривая Γ при этом называется эвольвентой

кривой Γ1 .

Уравнение эволюты кривой Γ имеет вид

s′

r ′′− s

′′r ′

= r (t)

′ 3

(4.44)

(s )

где, если rr = rr(t) = (x(t), y(t), z(t)) , то

′

′′

′ ′′

2 + ( y′)2 + (z′)2 , s′′ =

x x

+ y y

+ z z

2 .

s′ = r

′ = (x′)

′

Если кривая Γ лежит в плоскости XY , то

(x )

( y )

+ (z )

′

′′

′

k =

x y

− x y

(4.45)

(

′

(x )

( y )

)

а центр кривизны (ξ,η) определяется соотношениями

′

ξ = x − y′

(x )

+ ( y )

′ ′′

′′ ′

x y

− x y

′

η = x + y′

(x )

( y )

(4.46)

′

′′

′

x y

− x y

(t) = (x, y) = (x(t), y(t)) .

Для случая, когда кривая Γ

является

графиком функции

y = f (x), a ≤ x ≤ b ,

кривизна k и координаты ξ и η ее центра определяются формулами:

k =

y′′

(4.47)

′ 2

)

( 1 + ( y )

′

1 +

ξ = x −

( y )

(4.48)

y′′

1 +

′

η = y +

( y )

y′′

4.9. Найти сопровождающий трехгранник Френе винтовой линии (4.24), ее

кривизну и кручение.

x, y, z

∆ В примере 4.8 показано, что координаты

натурального уравнения

винтовой линии определяются соотношениями

x = a cos

y = a sin

z =

s ≥ 0 .

a2 +b2

+b2

Поэтому

r dx dy dz

τ =

− a sin

a cos

b .

Отсюда

a2 + b2

a2 +b2

dτr

, - a sin

+ b

2 − a cos

a2 + b2

0 .

Тогда по формуле (4.28)

dτr

k =

a2 + b2

По формуле (4.30) находим

νr

− cos

, −sin

= 1 dτ

, 0

k ds

+ b

а по формуле (4.31) вычислим

− a sin

a cos

b =

β = [τ

,ν

a2 + b2

a2 +b2

− cos

−sin

a2 + b2

, −b sin

+ b

b sin

+ b

, a .

Дифференцируя это равенство, получаем

dβ =

, b sin

νr.

b cos

, 0 = −

+ b

Отсюда и из формулы (4.32) следует, что кручение χ =

. ▲

a2 + b2

4.10. Найти радиус кривизны и эволюту эллипса

=1,

a ≥ b > 0 .

∆ Параметрические уравнения эллипса имеют вид

Тогда

x = cos t ,

y = b sin t ,

0 ≤ t ≤ 2π .

= (x

′

)= (−a sin t, b cos t) ,

dτ

r′′

r′

= (−a cos t,

−b sin t) =

′′

= r

(t) =τ

(x , y )

По формуле (4.37) находим

(a2 sin

2 t + b2 cos2 t)

a2 sin 2 t + b

2 cos

2 t

R =

ab sin 2 t + ab cos2 t

Отсюда по формулам (4.46) находим координаты (ξ,η) точек эволюты:

ξ = a cos t −b cos t a2 sin 2 t + b2 cos2 t = a2 −b2

cos3 t ,

η = b sin t − a sin t a2 sin 2 t + b2 cos2 t = b2 − a2

sin3 t ,

т. е. эволютой эллипса является астроида.

▲

4.11. Показать, что если кручение χ = 0 , то кривая плоская.

∆ Если у кривой Γ = {rr = rr

(s);

0 ≤ s ≤ S}, где

- переменная длина дуги, ее

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями

#
11.05.20153.35 Mб183Сборник задач по ВМ ч.1.pdf
#
11.05.20151.73 Mб131Сборник задач по ВМ ч.10.pdf
#
11.05.20153.42 Mб115Сборник задач по ВМ ч.2.pdf
#
11.05.20152.99 Mб239Сборник задач по ВМ ч.3.pdf
#
11.05.20151.26 Mб120Сборник задач по ВМ ч.4.pdf
#
11.05.2015672.61 Кб178Сборник задач по ВМ ч.5.pdf
#
11.05.20151.41 Mб105Сборник задач по ВМ ч.6.pdf
#
11.05.20151.29 Mб140Сборник задач по ВМ ч.7.pdf
#
11.05.20151.03 Mб102Сборник задач по ВМ ч.8.pdf
#
11.05.20151.88 Mб107Сборник задач по ВМ ч.9.pdf