3) 3( y − x +1) + arctg(y

x)= 0 ,

M 0 = (1, 0) .

Отв. 1)

−

1

dx2

;

2) 0 ;

3)

3

dx2 .

4

8

f (x)

a x0

x'0

b

Геометрический смысл теоремы Ферма следующий: если точка x0 является

точкой экстремума функции и существует

f ′(x0 ) ,

то касательная, проведенная к

графику f (x) в точке (x0 , f (x0 )), параллельна оси X . На рис. 2.1. таких точек две –

x0 и x0′ .

f (x)

непрерывна на отрезке [a, b] ,

Теорема 2.2 (Ролля). Пусть функция

дифференцируема в каждой точке интервала (a, b) и

f (a) = f (b) . Тогда в интервале

(a, b) существует хотя бы одна точка ξ , что

f ′(ξ) = 0 .

Y

f (x)

f (a)= f (b)

что касательная к графику f (x) в точке (ξ, f (ξ)) параллельна оси

X . На рис. 2.2

таких точек три – ξ , ξ 2 , ξ3 .

[a, b] функция

Следствие (обобщенная теорема Ролля). Пусть на отрезке

f (x)

n раз непрерывно дифференцируема и обращается в нуль в n +1-й точке x0 ,

x , x

2

, K, x

n

этого отрезка. Тогда существует число ξ (a, b) , что

f (n) (ξ) = 0 .

1

Теорема 2.3 (Лагранжа). Если функция f (x)

непрерывна на отрезке [a, b] ,

дифференцируема на интервале (a, b) , то на (a, b)

существует точка ξ такая, что

имеет место формула конечных приращений Лагранжа

′

(2.1)

f (b) − f (a) = f (ξ)(b − a) .

Y

B

f (b)

f (x)

f (a)

A

0

a ξ1

ξ2

ξ3

b

X

Рис. 2.3

Геометрический смысл формулы (2.1) состоит в том, что в условиях теоремы

на

графике функции f (x)

найдется точка (ξ, f (ξ)),

a < ξ < b ,

в

которой

касательная к графику параллельна хорде, соединяющей

точки

A = (a,

f (a)) и

B = (b, f (b)) (рис. 2.3).

Часто формулу (2.1) записывают в виде

′

f (b) − f (a) = f (a +θ(b − a)) , 0 <θ <1,

где

θ

– некоторое число,

при котором a +θ(b − a) = ξ .

Если

принять

a = x0 ,

x − x0

= ∆x , то формуле Лагранжа можно придать вид

f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = ∆f (x0 ) = f ′(x0 +θ ∆x) , 0 <θ <1.

(2.2)

Следствие 1. (условие постоянства функции). Если функция

f (x)

непре-

рывна на отрезке [a, b] , дифференцируема на (a, b) , причем

f ′(x) = 0 ,

x (a, b) ,

f (b) − f (a)

f

′

=

(ξ)

.

(2.3)

g(b) − g(a)

′

g (ξ)

рема

Ферма

не имеет

места;

другими словами, нельзя утверждать, что

f ′(1) = f ′(2) = 0 . В самом деле,

f ′(1) = f−′(1) = 6 , f ′(2) = f+′(2) =12 . ▲

2.2. На интервалах

(−1,1)

и (1, 2) найти точки, в которых касательная к гра-

фику функции

f (x) = (x2 −1)(x − 2) горизонтальна.

∆ На концах отрезка [−1,1]

функция f (x) удовлетворяет очевидному равен-

ству

f (−1) = f (1) = 0 , а на концах отрезка [1, 2] – равенству f (1) = f (2) = 0 . Внутри

точки

ξ1 (−1,1)

и ξ2 (1, 2) , в

которых f ′(ξ1 ) = f ′(ξ2 ) = 0 . Находим

′

=

3x

2 −

4x

−

1. Эта производная обращается в нуль в точке

ξ

1

= 2 − 7 (−1,1)

f (x)

3

= 2 + 7

и в точке

ξ2

(1, 2) , и, следовательно, в этих точках касательная к графику

3

f (x) горизонтальна. ▲

3x5 +15x −8 = 0 имеет только один

2.3.

Доказать,

что

уравнение

действительный корень.

f (x) = 3x5 +15x −8 нечетна, то у нее существует по

∆

Так как функция

на отрезке

[x , x

2

]

функция f (x) = 3x5 +15x −8

удовлетворяет всем требованиям

1

теоремы Ролля: она непрерывна, на концах отрезка обращается в нуль и в каждой

точке

дифференцируема.

Тогда

существует

ξ (x , x

2

) ,

что

f ′(ξ) = 0 . Но

′

15(x

4

1

=

+1) > 0 .

Полученное противоречие доказывает,

что данное уравнение

f (x)

имеет лишь один действительный корень.

▲

2.4. Доказать, что уравнение

x4 − 4x −1 = 0

имеет в точности два различных

корня.

f (x) = x4 − 4x −1

R , ее

∆

Функция

непрерывна

на

производная

′

=

4x

3

− 4 = = 4(x −1)(x

2

+ x +1) обращается в нуль лишь в точке x =1. Если бы

f (x)

функция f

обращалась в нуль, например, в трех точках, то,

согласно обобщенной

Кроме того

f (−1) = 4 ,

f (0) = −1

и

f (3) = 68 . Значит, искомые корни находятся на

отрезках [−1, 0] и [0, 3] .

▲

5x3 + x2 ,

2.5. Для функции

f (x) =

x [−1,1]. Найти все точки ξ такие,

что

имеет место формула Лагранжа.

′

Но

∆

Согласно

формуле

(2.1)

имеем

f (ξ) = [f (1) − f (−1)] 2 .

′

5ξ

2

+ 2ξ ,

f (1) =

5 +1,

f (−1) =1 −

5 .

Тогда

f (x) = 3

3 5ξ 2 + 2ξ = 5 ξ1 =1 5 , ξ2 = − 5 3 . ▲

(1 + x2 )

2.6.

Удовлетворяет

ли функция

f (x) = e x

и

g(x) = x2

условиям

теоремы Коши на отрезке [−3, 3] ?

∆ Функции

f

и

g

непрерывны

на [−3, 3] ,

дифференцируемы

в

(3, 3) ;

g′(x) = 2x

(1 + x2 )2

обращается в нуль при x = 0 (−3, 3) . Значит,

условие g′(x) ≠ 0 ,

x (−3, 3)

нарушено. Следовательно, теорема Коши для функций e x и x2

(1 + x2 )

на [−3, 3] не имеет места.

▲

2.7. Пользуясь признаком постоянства функции, доказать, что

arcsin x + arccos x = π 2 .

′

=1 1 − x

2

−1 1 − x

2

= 0 .

f (x)

f (x) = const , т. е.

Согласно следствию 1 из теоремы Лагранжа, заключаем, что

arcsin x + arccos x = C ,

x (−1,1) .

Для определения

постоянной C

в этом

равенстве положим, например, x = 0 .

Получим π 2 = C arcsin x + arccos x = π 2 ,

x (−1,1) .

В точках x = ±1 это

равенство, очевидно, выполняется также.

▲

2.8.* Для x2

> x1 доказать неравенство:

arctgx2 − arctgx1 < x2 − x1 .

(2.4)

∆ К функции f (x) = arctgx на отрезке [x1 , x2 ]

применим формулу Лагранжа:

arctgx2 − arctgx1 =

1

(x2 − x1 ) ,

1 +ξ 2

где x1 < ξ < x2 . Так как

0 <

1

<1 и x

2

− x > 0 ,

1 +ξ 2

1

положив в нем x1 = 0 , x2

= x , получим

▲

arctgx < x , x > 0 .

2.9. Удовлетворяет ли функция f (x) = ln sin x

на отрезке [π 6 , 5π 6] условиям

теоремы Ферма?

Отв. Да.

2.10. Удовлетворяет ли условиям теоремы Ролля: а) функция f (x) =1 − 3 x2 на

[−1,1] ; б) функция f (x) = ln sin x

на [π 6 , 5π 6]; в) функция f (x) =1− | x | на [−1,1] ?

Если нет, то почему?

(0,1)

Отв. а) нет; б) да; в) нет.

2.11. На интервале

найти такую точку

ξ , что касательная к графику

и (1,1) .

Отв. ξ = 3 3 .

2.12.* Доказать, что корни производной многочлена x(x −1)(x − 2)(x −3)(x − 4)

действительные, простые и лежат на интервалах (0,1) ,

(1, 2) , (2, 3) , (3, 4) .

2.13. Проверить, что функции f (x) = x2 − 2x +3

и g(x) = x3 −7x2 + +20x −5

x2

x3

xn

f (x) =1 + x +

+

+L+

, n N ,

2

3

n

не имеет кратных корней.

x3 + ax2 + bx + c = 0

2.15.* Доказать, что уравнение

а)

arctgx + arctgx =π / 2, x R ;

б) arctgx + arctg

1

π / 2,

x > 0,

=

x < 0;

x

−π / 2,

в) arctgx + arctg

1 − x

π / 4,

x > −1,

=

x1 + x

x < 0;

1 − x2

− 3π / 4,

г)

arccos

= 2arctgx, x ≥ 0 ;

1

+ x2

π − 2argtgx,

x ≥1;

2x

д) arcsin

2arctgx, −1 ≤ x ≤1;

=

1

+ x2

≤ −1.

−π − 2arctgx, x

2.19. Показать, что квадратные корни из двух последовательных чисел,

больших N2, отличаются между собой менее, чем на 1/2N.

2.20. Пользуясь теоремой Лагранжа, доказать неравенства:

а)

x

< ln(1 + x) < x, x > 0;

б)

l x >1+ x, x R ; в) l x > ex, x >1.

1 + x

lim

f '(x)

= A .

Тогда существует

x→x0

g'(x)

f (x)

f '(x)

lim

= lim

= A .

(2.5)

g(x)

g'(x)

Если

функции

f (x)

x→x0

x→x0

в

точке

и

g(x)

дифференцируемы

x0 , f (x0 ) = g(x0 ) = 0, g'(x0 ) ≠ 0, то

f (x)

f '(a)

lim

=

.

(2.6)

g(x)

x→x0

g'(a)

Теорема остается в силе при x → ±∞, а также в случае одностороннего

lim

eax −e

−2ax

.

ln(1+ x)

x→x0

∆ Нетрудно видеть, что функции f (x) = eax − e−2ax

и

g(x) = ln(1 + x) -

бесконечно малые при x → 0 . Далее,

f '(x)

и g'(x)

существуют во всякой

окрестности точки x = 0 , не содержащей точки x = −1, причем

g'(x) =

1

≠ 0, x > −1.

1

+ x

Наконец, существует предел отношения производных

f '(x)

al ax + 2al −2ax

lim

= lim

1/(1 + x)

= 3a .

x→0 g'(x)

x→0

Поэтому применимо правило Лопиталя:

lim

al ax + 2al −2ax

= lim

al ax + 2al −2ax

= 3a. ▲

ln(1+ x)

1(1+ x)

x→0

x→0

2.22. Найти lim ln x .

x→+∞

x

∆. Раскрывая неопределенность вида ∞/ ∞ по правилу Лопиталя, получаем

lim

ln x = lim

1/ x

= lim

2

= 0.

▲

x→+∞

x

x→∞

1/ 2 x

x→+∞

x

Замечание. Для применения правила Лопиталя наличие предела в правой

части равенства (5) существенно. Например, L = lim

x2 cos(1/ x)

= lim x cos

1

= 0 .

x

x

x→0

x→0

Однако формальное изменение правила Лопиталя дает

L = lim

2x cos(1/ x) + sin(1/ x) = lim sin

1 .

x→∞

1

x→0

x

loga x

1

loga e

1

∆ а) lim

= lim

x

= loga e lim

= 0 ;

xk

kxk −1

x→+∞

x→+∞

x→+∞ kxk

б) lim

xk

= lim

kxk−1

=... = lim

k'

= 0 .

x→+∞ a x

x→+∞ a x ln a

x→+∞ a x lnk a

Следовательно, степенная функция xk ,

k > 0 , растет быстрее

логарифмической функции loga x,

a >1, а показательная функция a x , a >1,

L = lim sin x − x cos x

= lim cos x − cos x + xsin x

=

1 lim sin x

=

1

1 =

1

. ▲

x→0

x3

x→0

3x2

3 x→0

x

3

3

а)

L = lim [ln(1 + sin 2 x) ctg ln2 (1 + x)];

б) L = lim(

1

− ctg 2 x).

x2

∆

x→0

а) Имеет место неопределенность вида 0. ∞:

L = lim

ln(1 + sin 2 x)

.

tg ln2

(1 + x)

x→0

Но

ln(1 + sin2 x) sin 2 x x2 при x → 0 . Далее,

ln2 (1 + x) x2 , x → 0 , atg 2 x2 .

В

результате, L = lim

x2

=1. (В

этом

примере удалось обойтись без

x→0 x2

L = lim

sin2 x − x2 cos x

(sin x + x cos x)(sin x − x cos x)

=

x2 sin2 x

= lim

x2 sin2

x

x→0

x→0

.

= lim sin x + x cos x

lim sin x − x cos x

x→0

x

x→0

x3

Так как L = lim sin x + x cos x = lim sin x

+ lim cos x =1 +1 = 2, а

x→0

x

x→0

x

x→0

lim

sin x − x cos x

вычислен в примере 2.24 и равен 1/3, то искомый предел L = 2 / 3 .

x→0

x3

▲

Для вычисления пределов функций вида q(x) = ( f (x))g ( x) , являющихся

неопределенностями типа 00, ∞0 , 1∞, надо функцию q(x) представить в виде

а) L = lim

−0

tgxctgx б) L = lim (x + x2

+1)1/ ln x

x→π / 2

x→+∞

∆ а) Имеем

tgxctgx = ectgx ln tgx = e

ln tgx

.

tgx

1

1

lim

ln tgx

=

lim

tgx

cjs2 x

= 0 .

tgx

1

x→π / 2−0

x→π / 2−0

1

lim

ln(x + x2 +1

=

lim

x2+1

=1.

ln x

1/ x

x→+∞

x→+∞

Лопиталя, и найти эти пределы.

1) lim

x2 sin(1/ x)

;

2)

lim

x + cos x

; 3)

lim

tgx

.

Отв. 1) 0;

2) 1

3)

sin x

x→0

x→∞ x − cos x

x→π / 2 sec x

1.

f "(a), найти

2.28*. Предполагая, что существует

lim

f (a + h) + f (a − h) − 2 f (a)

.

Отв. f "(a) .

h→0

h2

2.29. Найти пределы функций:

lim ln(1 + x) − x ;

1)

lim sin ax − sin bx ,

a ≠ b ;

2)

x→0 sin ax − sin bx

x→0

tg 2 x

3) lim

xx −

1

;

4)

lim

cos(2m +1)x

,

m, n N

;

ln x

cos(2n +1)x

x→1

x→π

/ 2

(a + x) x

− a x

a > 0 ;

tgx

− x

5)

lim

x2

,

6)

lim

;

x→0

β ) − β(1 − xα )

x→0 arcsin x − ln(1 + x)

7)* lim

α(1 − x

,

α

β ≠ 0

8)

lim

ln sin x

;

(1 − xα )(1 − xβ )

ctgx

x→1

x→+∞

9)

lim

3 x ln x

;

10)

lim (π −arctg

x)

x ;

3 2x +

3

x→+∞

ln x

x→+∞

11) lim

1

−

1

12)* lim (x7 / 8 − x6 / 7 ln2 x) ;

x

;

x→+∞ sin x

x→+∞

1/ x2

;

14)

lim

(π − 2x)

cos x

;

13) lim(cos x)

x→0

x→π

/ 2−0