Отв. 1) 1. 2) -1/2.

3) 1. 4) (-1)m-n 2n +1 .

5) 1/а. 6) 0.

7) (α − β) / 2 8) 0. 9). 0 10) 2. 11) 0. 12) +∞.

13) l −1 / 2 . 14) 1. 15) 1.

f (x) = f (xo ) + f '(xo )(x − xo ) +

f "(xo )

(x − xo )2 +

f '"(xo )

(x − xo )3 +...

2!

3!

(2.8)

f (n) (xo )

+

(x − xo ) + o((x − xo )n ).

n!

Кратко эта формула записывается в виде:

n

f (k ) (x

o

)

(x − x0 )k + o((x − x0 )n ),

f (x) = ∑

(2.9)

k!

где 0!=1.

k =0

o((x − x0 )n

Напомним, что

запись

o((x − xo )n ) означает, что

lim

= 0, т.е.

(x − x0 )n

функция o((x − x0 )n )

x → x0 является функцией

x→x0

при

более

высокого порядка

малости, чем (x − x0 )n при x → xo .

Многочлен

f (k ) (x

n

0

)

− x0 )k

Pn (x) = ∑

(x

(2.10)

k!

k =0

f (x)

x0 , а функция

называется многочленом Тейлора функции

в точке

Rn (x) = f (x) − Pn (x)

(2.11)

- остаточным членом n -го порядка формулы Тейлора.

Если x0 = 0 , то формула (2.8) (или (2.9)) принимает вид

n

f (k ) (0)

xk

+ o(xn ),

f (x) = ∑

x → 0,

k!

k =0

и называется формулой Маклорена.

Локальная формула Тейлора показывает, что, заменив f (x)

в окрестности

И, наконец,

α(α −1) x2

α(α −1)K(α − n +1) xn

+ o(x2n+1 ),

(1 + x)α =1 +αx +

+K+

(2.21)

или

2!

n!

n

(1 + x)α = ∑Cαk xk + o(xn ),

где

k =0

C k = α(α −1)K(α − k +1) ,

C 0 =1,

k N

.

α

α

k!

В частности,

1

n

= (1 + x)−1 = ∑(−1)k xk + o(xn ),

(2.22)

1 + x

k =0

+ o(xn ).

1

n

= (1 − x)−1 = ∑xk

(2.23)

1 − x

k=0

Если функция

f (x)

в некоторой окрестности точки

x0

имеет производные до

(n +1) -го порядка

включительно,

то для любой

точки

x

из

этой окрестности

найдется точка ξ , лежащая между x и x0 , такая, что

n

f (k ) (x

0

)

f (n+1)

(ξ)

f (x) = ∑

(x − x0 )k +

(x − x0 )n+1

.

(2.24)

k!

(n

+1)!

k =0

Формула (2.24) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме

Rn (x) =

f (n+1) (ξ)

(x − x0 )n+1

(2.25)

Лагранжа.

(n +1)!

записывается в виде ξ = x0 +θ(x − x0 ) , где 0 <θ <1, или, если x0 = 0 ,

Часто ξ

а) f (x) =

1

; б) f (x) = ln(5 − 4x) .

1 − x

∆ а) Так как

1

= (1 + (−1 x))−1 2

,

1 − x

n

1

=1 + ∑(−1)k C−k1 2 xk + o(xn ),

1 − x

k =1

1

−

1

−

1

−

2

2

1 K −

2

− (k −1)

k (2k −1)!!

k

C−1 2

=

= (−1)

.

k!

2k k!

Напомним, что (2k −1)!!=1 3 5 L (2k −1) .

Следовательно,

+ o(xn ).

1

n

(2k −1)!! xk

=1

+ ∑

1 − x

k =1

2k k!

4

б) Так как

ln(5 − 4x) = ln 5 + ln 1

−

x

, то из формулы (2.20) получаем

5

n

1

4

k

xk + o(xn ).

ln(5 − 4x) = ln 5 − ∑

▲

5

k =1 k

а)

f (x) = e x ln(1 + x),

n = 4 ;

б) f (x) =

x2 + 5

.

x2 + x −12

∆ а) Используя разложения (2.14) и (2.19), получаем

x

2

x

3

+ o(x

n

x

2

x

3

x

4

+ o(x

n

+

+

−

=

f (x) = 1 + x +

2!

3!

) x −

2

3

4

)

1

1

1

1

= x +

−

+

1 x2 +

−

+

x3

+

2

3

2

2

1

1

1

1

1

1

+

−

+

−

+

x4 + o(x4 )

== x +

x2 +

x3

+ o(x4 ).

4

3

4

6

2

3

б) Разделив числитель на знаменатель, представим

f (x)

в виде

f (x) =1 +

17 − x

3

2

3

2

=1 −

+

=1 −

−

.

(x + 4)(x −3)

x + 4

x −3

+

x

−

x

4 1

3 1

3

4

Используя теперь разложения (2.22) и (2.23), отсюда получаем

3

n

x

k

2

n

x

k

+ o(xn ),

f (x) =1 −

∑ (−1)k

−

∑

4k

3k

или

4 k =0

3 k =0

5

n

3(-1)k +1

2

k

+ o(x

n

). ▲

f (x) = −

12

+ ∑

4

k +1

−

k +1

x

k =1

3

Разложение функции f (x) по формуле Тейлора в окрестности точки x0

≠ 0

заменой x − x0 = t обычно сводится к разложению функции g(t) = f (x0 + t)

по

формуле Маклорена.

2x − x2

t

+ 3 = (1 −t)(3 + t) = 3(1 −t) 1

+

.

3

Отсюда вытекает, что

t

f (x) = g(t) = ln 3 + ln(1 −t) + ln 1

+

.

3

n

t k

n

t k

g(t) = ln 3 − ∑

+ ∑

(−1)k −1

+ o(tn ) ,

k 3k

и, значит,

k =1 k

k=1

n

(−1)k −1

(x − 2)k

+ o((x − 2)

n

). ▲

k

f (x) = ln 3 + ∑

3

−1

k

k =1

L = lim

1 −

1 + x2 cos x

.

tg 4 x

x→0

∆ Сохраняя в знаменателе и числителе члены до 4 -го порядка относительно x ,

получаем

1 − (1 + x2 )1 2 cos x

L = lim

=

x

4

x→0

1 2 (−1 2)

x4 + o(x4 ) 1

+ o(x4 )

1 −

1

+ 1 x2

+

−

x2

+

x4

2

2

2

24

= lim

=

x4

x→0