Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями / Сборник задач по ВМ ч

χ = 0 во всех точках,

dβ

r

кручение

то в силу формулы (4.32) имеем

= 0

, т. е.

ds

бинормаль

β кривой Γ

β(s) = β0 . Тогда для

является вектором

любой

точки

кривой Γ будем иметь

r

drr(s)

r

d

r

r

r

(τ , β0 )

=

, β0

=

(r (s), β0 )= 0 .

ds

ds

Отсюда следует, что (τr(s), βr0 )= const ,

0 ≤ s ≤ S .

Это означает, что концы всех

радиус-векторов r (s) лежат в плоскости

(rr, β0 )= c ,

r = (x, y, z) -

радиус-вектор

точек плоскости, на которой лежит кривая Γ .

▲

4.12. Построить годографы вектор-функций:

а) x = sin t, y = cost,

z = t 2 , t R ;

б) x =1, y = t, z = t 2 , t R ;

в) x = t, y = t 2 , z = t 3 , t R ;

г) x = a(t −sin t), y = a(1 − cos t),

z = 0, 0 ≤ t ≤ 2π ;

д) x = t 2 − 2t +3, y = t 2 − 2t +1, z = 0, t R ;

е) x = a sin 2 t, y = b cost,

z = t, 0 ≤ t ≤ 2π .

4.13. Доказать, что годограф вектор-функции

rr(t) = (sin 2ϕ, 1 − cos 2ϕ, 2 cosϕ)

t

ln

Отв. (−1, − 1 ,1).

rr(t) =

sin t

,

π

, 1 .

π −t

π

t −π

r (t) и написать уравнение

4.16. Найти производную вектор-функции

касательной и нормальной плоскости в произвольной точке ее годографа:

rr(t) = (t, t 2 ,

t 3 ),

t0

=1 ;

Отв.

rr′(t0 ) = (1,

2, 3) ,

x −1

=

y −1

=

z −1

,

1

2

3

x + 2 y + 3z − 6 =

0 ;

r r r

′

r′

r r

r r′

r

r r

r′

4.17. Доказать, что(r1 , r2 , r3 )

= (r1 ,

r2 ,

r3 )+ (r1 , r2

, r3 )+ (r1 , r2 ,

r3 )

.

4.18. Найти производные функций:

Отв. 2(rr, rr′);

а)

rr2 (t) ;

б)

rr2 (t) ;

Отв.

(rr, rr′)

rr2

;

в)

[[rr(t), rr′(t)], rr′′(t)];

Отв.

[[rr, rr′′], rr′′]

+[[rr, rr′], rr′′′];

г) (rr(t), rr′(t), rr′′(t));

Отв. (r , r ′, rr′′′).

4.19. Доказать, что если rr = arcosω t +b sin ω t,

где ω R , a и br - постоянные

векторы, то

б) rr′′+ω2 rr = 0 .

а) [rr, rr′]= ω[ar, b] ;

4.20. Доказать, что уравнения

π

π ,

x = cos t,

y = sin t

, −

≤ t ≤

и

2

2

y = t −1, 0 ≤ t ≤ 2 ,

x = t(2 −t) ,

являются параметризациями одной и той же кривой.

4.21.* Доказать, что уравнения

x = a cos t,

y = b sin t,

−π ≤ t ≤ π ,

и

1 −t 2

x = a

, y = b

2t

, − ∞ ≤ t ≤ +∞,

1 + t 2

1 + t 2

x = eat cost,

y = eat sin t, z = eat

лежит на конусе x2 + y2 = z 2 .

4.23. Показать, что кривая

t 2

t 3

t

x =

, y =

, z =

1 + t 2 + t 4

1 +t 2 +t 4

1 + t 2 + t 4

лежит на некоторой сфере.

4.24. Найти проекцию кривой

x = et cost,

y = et sin t, z = t,

−∞ < t < ∞ ,

на плоскость XY .

Отв.

ρ = eϕ (t =ϕ) .

4.25. Найти уравнения касательной к кривой:

x −1

y −1

z + 2

x = et , y = e−t , z = t 2 − 2,

при t = 0 .

Отв.

=

=

а)

.

1

−1

0

б)

x = et cost, y = et sin t, z = et , при t = 0 .

Отв.

x = y +1 = z .

4.26. Составить уравнение касательной к кривой:

x = a(t −sin t), y = a(1 − cos t), z = 4a sin

t

, приt =

π .

2

2

Какой угол α образует эта касательная с осью Z ?

Отв.

x + a(4 −π)

= y = z

− a ;

2

2

x −t

4

y −t 3

z −t 2

Отв.

Если

t0 ≠ 0

,

то

0

=

0

=

0

,

4t03

3t02

2t0

4t03 (x −t04 )+ 3t02 (y −t03 )+ 2t0 (z −t02 )= 0 .

4.28. В каких точках касательная кривой

x = 3t −t3 , y = 3t 2 , z = 3t +t3

параллельна плоскости 3x + y + z + 2 = 0 ?

Отв.

(−2, 3, - 4); (−2, 12, 14) .

4.29. Найти нормальную плоскость кривой:

x = y, y = x2 + y2 ,

перпендикулярную прямой x = y = z .

Отв.

8x +8 y +8z −5 = 0 .

4.30. Найти касательную к кривой

в точке M = (1, 3, 4) .

x2 + y2

=10,

y2 + z 2

= 25

x + 3y =10, 3y + 4z = 25.

Отв.

4.31. Доказать, что касательные к кривой

x = a(sin t + cost),

y = a(sin t −cost), z = be−t

пересекают плоскость XY по окружности x2 + y2

= 4a2 .

4.32.* Написать уравнения касательной и нормальной плоскости к кривой:

x = t, y = t 2 , z = t 3 , t0 =1 .

Какая кривая получится в пересечении касательных с плоскостью XY ?

Отв.

x −1

=

y −

1

=

z

−1

,

x + 2 y + 3z

− 6 = 0 ; парабола

y =

3

x

2

.

1

2

3

4

4.33. Доказать, что кривая

x = et cost,

y = et

sin t, z = et

пересекает образующие конуса x2 + y2

= z 2 под одним и тем же углом.

4.34. Найти производную длины дуги по параметру для следующих кривых:

а) цепной линии y = ach

x

, − a ≤ x ≤ a ;

Отв.

ch

x

.

a

a

б) эллипса x = a cos t, y = b sin t,

0 ≤ t ≤ 2π ;

Отв.

a2 sin 2 t + b2 cos2 t .

в) гиперболы x = acht,

y = bsht,

t R ;

Отв.

a2sh 2t + b2 ch 2t .

г) астроиды x = a cos3 t,

y = a sin3 t,

0 ≤ t ≤ 2π ;

Отв.

3 a | sin 2t | .

2

д) винтовой линии x = a cos t,

y = a sin t,

z = bt,

t R .

Отв.

a2 + b2 .

4.35. Найти производную длины дуги для кривых, заданных в полярных

координатах:

а) архимедовой спирали ρ = aϕ ;

Отв.

a 1 +ϕ2 .

б) гиперболической спирали ρ =

a

;

Отв.

a

1 +ϕ2 .

ϕ2

ϕ

в) логарифмической спирали ρ = aebϕ , ϕ R .

Отв.

aebϕ

1 + b2 .

4.36. Найти кривизну и радиус кривизны для кривых:

а) параболы y = ax2 ;

Отв.

k =

1

=

2 | a |

.

R

(1 + 4a2 x2 )32

б) кубической параболы y = x3 ;

Отв.

k =

1

=

6 | x |

.

R

(1 + 9x4 )32

в) синусоиды y = sin x ;

Отв.

k =

1

=

| sin x |

.

x

R

(1 + cos2 x)32

г) цепной линии y = ach

;

Отв.

k =

1

=

1

.

R

2

x

a

cos

x

a

x

д) y = a ln cos

.

Отв.

k =

1

=

1

cos

.

a

R

a

a

4.37. Найти кривизну и центр кривизны в произвольной точке (

x, y)

кривых:

а) гиперболы

x2

−

y 2

=1 ;

Отв.

k =

a4b4

=

ab

;

a2

b2

(b4 x2 + a4 y 2 )3

2

(ξ 2 x2 − a2 )3

2

c

ξ =

1

c2 x3 , η = −

1

c2 y3 ,

c2 = a2

+ b2

, ε =

−

эксцентриситет.

b4

a4

a

3a2

б) полукубической параболы 3ay2

= 2x

3 ;

Отв.

k

;

(x(2a +3x)3 )12

ε = −

x(a +3x)

, η =

2 y(a + 2x) .

1

a

x

в) астроиды x 23 + y 23

= a 23 .

Отв. k =

;

3

3 a | xy |

ξ =

3

3a

2

3

− 2x

2

3

2

,

η =

2ay(x + a)

.

x

(x + 2a)(a − x)

x(x + 2a)

а) эллипса x = a cos t,

y = b sin t, | t |≤ 2π ;

Отв.

ab

.

(a2 sin 2 t + b2 cos2 t)32

б) гиперболы x = acht,

y = bsht, t R ;

Отв.

ab

.

(a2sh 2t + b2ch 2t)32

в) циклоиды x = a(t −sin t), y = a(1 − cos t),

t R .

Отв.

1

.

4a

sin

t

4.39. Найти эволюту кривых:

2

1 (9t 2

+ 2)t 2 , η = 1

(4t 2

+1)t .

а) x = t 2 , y = t 3 ;

Отв. ξ = −

2

3

б) циклоиды x = a(t −sin t),

y = a(1 − cos t) ;

Отв. ξ = π a + a(t −sin t), η = −2a + a(1 − cos t) .

в) гиперболы x = acht, y = bsht ;

Отв. ξ =

a2 + b2

ch3t, η = −

a2 + b2

sh 3t .

a

b

4.41.* Найти параболу, соединяющую начало координат

O = (0, 0) с точкой

M = (1, 0) так,

чтобы дуга параболы

OM образовала вместе с нижней половиной

окружности

x2 + y2 =1 кривую

с

непрерывной касательной

и непрерывной

кривизной.

Отв.

y =

2(x −1 + 1 − x ).

4.42. Написать уравнения нормальной, соприкасающейся и спрямляющей

плоскостей к винтовой линии

x = a cost,

y = a sin t,

z = bt, t = t0 = 0 .

∆ Находим

x0

= x(0) = a, y0

= y(0) = 0, z0 = z(0) = 0 ,

r′

r′

r0

= r (t0 )

= (−a sin t, a cos t, b)

t=0 = (0, a, b) ,

r′′

r′′

r0

= r (t0 )

= (−a cos t, - a sin t, 0)

t=0 = (−a, 0, 0) .