Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями / Сборник задач по ВМ ч

ЛИТЕРАТУРА

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

.4.pdf

Скачиваний:

120

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

1.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1111

Отв. а)

f (x) =1 +

1 x −

1 x2

+ o(x2 );

б)

0,049 ;

в)

1 .

[0, 5].

9. f (x) = xe

Отв.

−

= −

−наименьшее значение,

f (0) = 0 −наибольшее.

10. а) f (x) = (x −1)2 (x + 2);

б)

f (x) = (2 + x2 )e−x2 .

11. а) rr = (sht)ir +(2cht) rj ;

б) rr = (sin t )ir + (cos2 t)rj +(cos t)kr, t0

π .

x −1

Отв. а) гипербола

− x2 =1.

б)

z = 0 .

−1

Вариант 11

1−

2x3 sin

−1 + x,

x ≠

Отв.

f (x) =

x = 0.

а)

f (x) =

x −arctg

x .

Отв.

2(1 + x)

б)

f (x) = xx

Отв.

+ ln x + ln2 x .

в)

x +

y =

a .

Отв.

y′x = −

y .

= a cos

г)

Отв.

−

= b sin

3. а) Под какими углами пересекаются кривые y = x2 и x = y2 ?

Отв. π .

б) Зависимость пути от времени задана уравнением

S = t ln(t +1)

. Найти

скорость движения в конце 2-ой секунды. ( t

задано в секундах,

S −в метрах).

Отв. 1,76 м/сек.

y = cos x при x = 59o .

Отв. 0,52 .

5. а)

y = sin3 x .

Отв.

πn

−

πn

sin x +

sin 3x +

б)

x + xy + y2 = 5, y′′xx −?

Отв.

y − xy′+1

(x + 2 y)2

t4 (2t2 −6)

в)

x = t ,

Отв.

(1 +t2 )3

y =

y′′

−?

1+t

Выполнимы

ли

условия

теоремы Ролля на отрезке

−

f (x) = ctgx ?

Отв. Нет.

π2

а)

lim

;

б)

lim x x .

Отв. а)

π x

x→0

ctg

x→+∞

x = 0 , до члена с x3 .

а)

f (x) = tgx,

б) sin 20

;

ξ =

0,001; в) lim

e3x −e−2 x

2arctgx −sin x

x→0

для функции

; б) 1.

Отв. а)	f (x) = x +			x3	+ o(x3 );	б) 0,342 ;			в) 1.

			3					1		1
	3x		[− 2, 0].
9. f (x) = xe		,				Отв. f	−		= −		−наименьшее значение,
										3e
								3

f (0) = 0 −наибольшее.

10.

а)

f (x) =

;

б)

f (x) = e8x −x2 −14 .

x2 +3

11.

а) rr = (acht)ir

+(bsht) j ;

б)

rr = t i +t2 j +t3k , t =1.

Отв.

а) гипербола

−

=1.

б)

x −1

y −1

z −1

x + 2 y +3z −3

= 0 .

Вариант 12

	arcsin x2 cos			1	+ 2 x,	x ≠ 0;
	arcsin x2 cos				+ 2 x,	x ≠ 0;

1. f (x) =				8x 3
					,	x = 0.
	0				,	x = 0.
2. а)	f (x) = x	a2 − x2 + a2			arcsin x		(a > 0).
	2	1 x		2		a
б)		1 x
	f (x) = 1 +		.
	f (x) = 1 +		.
		x
в)	a cos2 (x + y)= b .
г)	x = 2t −1,
г)
	y = t3.

3. а) Под какими углами пересекаются кривые

		Отв.			2 .
					3
		Отв.				a2 − x2 .
		1	x				1		1
Отв. 1	+	x		ln 1		+	x	−		.
Отв. 1	+			ln 1		+		−		.
									1 + x

Отв. y′x = −1. Отв. 32 t2 .

y = sin x и y = cos x ?

Отв. arctg 34 .

100

б) Точка движется по гиперболе y = 10x так, что ее абсцисса растет равномерно со

скоростью 1 м/c. C какой скоростью изменяется ее ордината в положении (5 ; 2)?

Отв. −0,4 м/сек.

4.y = lg x при x =12 .

5.а) y = cos2 x .

б)	x	2	+ y		2	=16,		′′
б)	x		+ y			=16,		yxx −?
	x =				2t,
в)						1
в)						1		′′
	y =						,	′′
	y =				1 −t2		,	yxx −?
					1 −t2
6. Пусть				f (x) = x(x −1)(x −2)(x - 5). Показать, что

действительных корня.

		Отв. 1,04 .
Отв.			πn
Отв.	2n−1 cos 2x +		.
			2
Отв.	−	16 .
		y3
Отв.		3(t2 +1)
Отв.		(1−t2 )3 .

уравнение f ′(x) = 0 имеет три

7. а)

lim

1−cos x

;

sin x

Отв. а) 0 ; б) 1.

sin x

б) lim

x→0

x→0 x

8. а)

f (x) = xex ,

= 0 , до члена с x5 .

−

б)

ξ = 0,01

; в)

lim

cos x −e

x→0

+ o(x5 );

Отв. а)

f (x) = x + x2 +

б) 1,65 ;

в) −

9. f (x) =

[−3, − 2].

Отв.

f (−3)= −4,5 −наименьшее значение,

3 − x2

f (−2) = 8 −наибольшее.

10. а) f (x) = x3 −3x2 ;

б)

f (x) = xe−x .

11. а) rr = (3cost)ir + (4sint) rj ;

б) rr = (2 cos t)ir + (2sin t)rj + 4tkr, t = π .

Отв. а) эллипс

=1.

б)

y − 2

z − 2π

x − 2z + 4π = 0 .

− 2

tg x2

1 ,

Вариант 13

+ x2 sin

≠ 0;

1. f (x) =

Отв. 0 .

x = 0.

101

2. а)	f (x) = ln	x + a		a	x			Отв.	a2 +b2
2. а)	f (x) = ln	x2 +b2		+ b arctg b .				Отв.	(x + a)(x2 +b2 ).
б)	f (x) = (cos x)sin x .				Отв.	(cos x)sin x (cos x ln cos x −sin xtgx).
в)	ey = x + y .				Отв.	y′x =	1	.
в)	ey = x + y .				Отв.	y′x =		.
		1					ey −1
		1		,
	x = arccos	1+t2		,
г)		1+t2			Отв. 1.
г)		1			Отв. 1.
	y = arcsin	1		, t > 0.
	y = arcsin		2	, t > 0.
		1+t	2
		1+t

3. а) В каких точках кривой y = 2 + x − x2 касательная к ней параллельна биссектрисе

первого координатного угла?

Отв. (0; 2).

б) C какой скоростью изменяется площадь поверхности шара, если его

радиус меняется со скоростью V ?

Отв. 8π rV .

4. y = arctgx при x =1,04 .

Отв. 0,805 .

5. а)

y = sin2 x .

2x +

πn

Отв. −2n−1 cos

y2 +3ln y = x3, y′′ −?

3xy

3x3

б)

Отв.

−

2 y

x = sin 2t,

в)

Отв.

−

, y′′xx −?

cos3

y =

sin

6. Функция

f (x) = 5 (x − 2)4 на концах отрезка [0, 4] принимает одинаковые значение

f (0) = f (4) = 5 16 . Справедлива ли для этой функции теорема Ролля на [0, 4]?

Отв. Нет.

chx −1

πx

а) lim

πx tg 2

Отв. а) 1; б)

; б) lim tg

1−cos x

x→0

x→1

8. а) f (x) =1+3x +5x2 − 2x3 , x = −1.

б) 4 19; ξ = 0,001;

в)

lim

2tgx −sin x .

x→0

e4 x −e2 x

Отв. а) f (x) = 5 −13(x +1)+11(x +1)

−2(x +1) ;

б) 2,087 ;

в) 2 .

f (x) = 2x ,

[−1, 5].

Отв. f (−1)=

−наименьшее значение,

f (5) = 32 −наибольшее.

102

S1 = t3 −5t2 −

Отв.

10. а)

(x) =

;

б)

f (x) = xarctgx .

+ x2

rr = et i +e−t j +t2k , t = 0 .

11. а)

= (acost)ir +(bsint) rj ;

б)

Отв. а) эллипс

=1.

б)

x −1

y −1

x − y = 0 .

−1

Вариант 14

2(1−cos 2x)+sin x2arctg

1. f (x) = 0

2	x ≠ 0;
,	x ≠ 0;	Отв. 0 .
x		Отв. 0 .
,	x = 0.

2. а) f (x) = arctg x2 −1 +	ln x	Отв.	x ln x
	x2 −1 .		(x2 −1)3 .

x = 3t +1, г) y = t 2 .

3. а) Найти угловой коэффициент касательной к x3 +

б)Две точки движутся по прямой по законам какой момент времени их скорости равны?

4. y = ex при x = 0,1.

5. а)	y =	1 .
	1	− 2x
б)	x2 − xy + y2 =17, y′′xx −?

Отв. 54 −36x + 4(x2 + 2)x3 . 3x(1− x)9 − x2

Отв. y′x = 3(x2 −2yy22)+ 2xy .

Отв. 23t .

y2 − xy −7 = 0 в точке(1; 2).

Отв. k = −13 .

17t −4 , S2 = t 3 −3t . В

Отв. t = 2 .

1,1.

1 3 K (2n −1)

(1− 2x)n+12 .

(x −2 y)3 .

x = cos t +t sin t,

в)

y = sin t −t cos t, y′xx′ −?

6. Пусть f (x) = x(x +1)(x + 2)(x +3). Показать, что уравнение действительных корня.

t cos2 t .

f ′(x) = 0 имеет три

7. а)

ln x

Отв. а) 0 ; б)

lim

;

б) lim

−

x→0 ctgx

x→3 x −3

− x −6

8. а)

f (x) = x3 − 4x2 +5, x = 3.

103

б) 5 33; ξ = 0,001;	в)
Отв. а) f (x) = −4 +3(x −3)+5(
9. f (x) = 3x , [−1, 5].

10. а)	f	(x) =		(x2	−	5)3	;
10. а)	f	(x) =		125			;
				125
	r			a	r		at	r
11. а)	r	=	1+t2		i	+	1+t2	j ;

lim	ex −1−sin x	.
lim	cos x −1	.
x→0	cos x −1
x −3)2 −(x −3)3 ;			б) 2,012 ;	в) −1.
	Отв. f (−1)=		1 −наименьшее значение,
			3
			f (5) = 243 −наибольшее.
б)	f (x) = 4 .
	4 − x2

б) rr = et i +e−t j +t2k , t =1.

Отв. а) полуокружность y = a2 − x2 .

б)

x −e

y −e−1

z −1

e3x −e2 y −2e2 z −e4 −2e2 +1 = 0 .

−e−1

Вариант 15

≠ 0;

sin x

+ arctg x

sin

Отв. 1.

f (x) =

x = 0.

2. а) f (x) = arctg	x	.
	1− x2
1+

б) f (x) = x 11+− xx .

в) arctg(x + y)= x .

		cos	3	t	,
	x =
г)		cos 2t
		sin3 t
					.
	y =	cos 2t

Отв. 2 1− x2 .

Отв. 1−(x − x2). x 1− x2

Отв. y′x = (x + y)2 .

Отв. − tg3t .

3. а) В каких точках	кривой y = 2 + x − x2 касательная к ней параллельна				оси
абсцисс?			1	;	9
		Отв.	2		4	.

б) Точка движется по дуге окружности (в I квадранте)		x2 + y2 =100 так, что
ордината возрастает с	постоянной скоростью V = 2 . Найти	скорость изменения
абсциссы в момент, когда ордината равна 6 .		Отв. −1,5 .
4. y = sin x при x = 29o .		Отв. 0,485 .

104

5. а)

y =

Отв. (−

1)n n!

−

2 −3x + 2

(x −1)n+1

(x − 2)n+2

2x2 y

2 2

б)

+ 2 ln y = x

′′

Отв.

(1+ y

)

+ 2x

(1− y

) .

yxx −?

(1+ y2 )3

в)

= cos t +sin t,

Отв.

−(4sin 2t + 2 cos 2t).

′′

y = sin 2t,

−?

yxx

(cos t −sin t)

6. Выполнимы

ли

условия

теоремы

Ролля

на

отрезке

[0, 2π]

для

функции

f (x) =

Отв. Нет.

cos x

−

− x − 2

7. а)

lim

;

−

Отв. а)

0 ; б)

−7x + 6

б) lim

x→1

x→1 2(1−

3(1−

8. а)

f (x) = chx,

= 0 до члена с x4 .

ξ = 0,001

в) lim

ex −e3x

б)

tg18 ;

;

x→0 sin 3x − tg2x

Отв. а)

f (x) =1+

+ o(x4 );

б) 0,324 ;

в) − 2 .

9. f (x) = 4x2 −8x −5,

[0, 2].

Отв.

f (1)= −9 −наименьшее значение,

f (0) = f (2) = −5 −наибольшее.

10. а)

f (x) =

;

б)

f (x) = x2 ln(x + 2).

x3 −1

+ (t2 −2t +1)j ;

б) rr = (et cost)i

+ (et

sin t )rj +et kr, t = 0 .

11. а)

rr = (t2 −2t +3)i

Отв. а) часть прямой x − y − 2 = 0 , где x ≥ 2 .

б)

x −1

y −1

z −1

x + z − 2 = 0 .

105

б) f (x) =

(3 + x)2 .

1.Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математика / Основы аналитической геометрии и линейной алгебры. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной /.– Мн.: Выш. шк., 1992. – 384с.

2.Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость: Учебное пособие для вузов /Под ред. Л.Д. Кудрявцева. –

М.: Наука, 1984. – 592 с.

3.Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. / Функции одной переменной /. – М.: Наука, 1973. – 400с.

106

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1111

Соседние файлы в папке Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями

#
11.05.20153.35 Mб183Сборник задач по ВМ ч.1.pdf
#
11.05.20151.73 Mб131Сборник задач по ВМ ч.10.pdf
#
11.05.20153.42 Mб115Сборник задач по ВМ ч.2.pdf
#
11.05.20152.99 Mб239Сборник задач по ВМ ч.3.pdf
#
11.05.20151.26 Mб120Сборник задач по ВМ ч.4.pdf
#
11.05.2015672.61 Кб178Сборник задач по ВМ ч.5.pdf
#
11.05.20151.41 Mб105Сборник задач по ВМ ч.6.pdf
#
11.05.20151.29 Mб140Сборник задач по ВМ ч.7.pdf
#
11.05.20151.03 Mб102Сборник задач по ВМ ч.8.pdf
#
11.05.20151.88 Mб107Сборник задач по ВМ ч.9.pdf