вверх; x = 0 и x = ±

3 - точки перегиба. 4. При x < 0 выпукла вверх, а при x > 0 -

вниз;

x = 0 -

точка

перегиба. 5. Кривая везде выпукла вниз. 6. На интервалах

( 3−5)

( 3+5)

2

и

2

выпукла

вниз,

в

интервале

0, e

e

, + ∞

( 3−5)

( 3+5)

2

( 3±5)

2

, e

выпукла вверх;

e

2

точки

перегиба.

7.

В

интервалах

e

k Z, выпукла вниз, в интервалах (e2kπ+π 4 , e2kπ+5π 4 )

(e2kπ−3π 4 , e2kπ+π 4 ),

- вверх;

xk

= ekπ+π 4 , k Z,

- точки перегиба.

8.

В интервалах (−∞, 0)

и

(1, + ∞)

выпукла

вверх, в (0,1) - вниз;

x = 0 - точка перегиба, x =1 - точка излома (угловая точка).

3.39.

Какому

условию должны удовлетворять

коэффициенты

a,

b,

c , чтобы

функция

f (x) = ax4 +bx3 + cx2 + dx + e имела точки перегиба?

Отв.

3b2 −8ac > 0 .

3.40. При каком a функция

f (x) = x4 + ax3 +3x2 2 +1 будет выпуклой вниз на всей

числовой оси?

Отв.

a

≤ 2 .

f (x) = (x +1) (x2 +1)

3.41.

Показать,

что

функция

имеет три

точки

перегиба,

лежащие на одной прямой.

f (x) = x sin x

3.42.

Показать,

что

точки

перегиба

функции

лежат

на

кривой

y2 (4 + x2 )= 4x2 .

3.43.

Найти точки перегиба графика функции y = f (x) , заданной параметрически

уравнениями.

Отв. ( 2e 2 ,

2 ).

1.

x = tet

, y = te−t ,

t

> 0 .

2e−

2.

x =

t 2

,

y =

t 3

,

t > 2 .

Отв.

(9

2

, 27

2

).

t −

1

t

−

1

3.

x =

2t 2 + 2 ,

y =

t3 +3t +1

,

0 < t <1.

Отв.

(5, 21

2

).

t

t 2

(1

).

4.

x =

t 2 − 2t −5

,

y = t 2 − 4t + 5

, t >1.

Отв.

, 1

4

t 2 +10t + 25

t 2 + 4t −5

10

Если

lim

f (x) = 0 ,

то

прямая

x = x0

называется

вертикальной

асимптотой.

x→x0 ±0

lim

f (x) = A ,

Если

то

прямая

y = A

называется

горизонтальной

x→±∞

асимптотой (правой при x → +∞ и левой при x → −∞ ).

Если существуют пределы

k

= lim

f (x)

;

b

= lim ( f (x) − k x)

,

1

x→+∞

x

1

x→+∞

1

то прямая y = k1 x + b1

называется правой наклонной асимптотой.

Если же существуют пределы

k2

= lim

f (x)

;

b2

= lim ( f (x) − k1 x) ,

x

x→−∞

x→−∞

то прямая y = k2 x +b2 называется

левой наклонной асимптотой.

Очевидно,

что

горизонтальная асимптота

является

частным

случаем наклонной

асимптоты

при

1. f (x) =

x2 − 2x

,

2. f (x) =

4x4 +1

.

x −1

x

∆ 1. Так как

lim f (x) = ±∞, то прямая

x =1

является вертикальной асимптотой

x→1m0

функции f (x) .

lim f (x) = ∞.

Горизонтальных асимптот функция не имеет, так как

Ищем наклонные асимптоты y = kx + b . Находим

x→∞

k =

lim

f (x)

=

lim

x2 − 2x

=1;

x

x2

x→±∞

x→±∞

x

2 − 2x

− x

b =

lim ( f (x) − kx) =

=

= −1.

lim

lim

− x

x→±∞

x→±∞

x −1

x→±∞ x −1

lim

4x4 +1

= +∞,

x

x→0

то прямая x = 0 является вертикальной асимптотой функции.

Горизонтальных асимптот функция не имеет, ибо

lim f (x) = +∞ , очевидно.

Ищем наклонные асимптоты y = kx + b . Имеем

x→∞

k1 = lim

f

(x)

=

lim

4x

4 +1

= −2 .

x

− x2

x→−∞

x→−∞

Тогда

lim ( f (x) + 2x) =

lim

− 4x4

+1 +

2x2

(почему?)

x

= 0 ,

x→−∞

x→−∞

→ −∞ . Отметим, что

Значит,

y = −2x - наклонная асимптота при x

f (x) > −2x , т. е.

при x → −∞ точки графика функции

f (x)

приближаются к асимптоте y = −2x

сверху.

Повторив эти же рассуждения при x → +∞ ,

получим:

y = 2x

-

наклонная

асимптота

графика

при

x → +∞ ,

причем

f (x) > 2x ,

т.

е.

точки

графика

при

x → +∞ приближаются к асимптоте сверху.

Исследуем теперь нашу функцию на монотонность. Так как

f (x) =

4x4 +1 = 4x2

+ 1

≥ 2 4x2 1 = 2

x

x2

x2

(известное неравенство Коши), причем

знак равенства

имеет

место

лишь

при

4x4 =1 x2 ,

т.

е.

при

x = ±1

2 ,

значение

функции

f (1

2) = 2 является

наименьшим на

(0, + ∞) .

На интервале

(0,1

2)

f (x)

строго убывает,

т. к.

если

0 < x1 < x2 <1 2 , то

x2

− x2

4x2 x2

−1

f 2 (x

2

) − f 2

(x ) = 4(x2 − x2 ) −

2

1

= (x2 − x2 )

1 2

< 0

.

1

2

1

x

2 x

2

2

1

x2 x

2

1

2

1

2

x

(−∞, −3)

-3

(−3, − 2)

-2

(−2, 0)

0

(0, + ∞)

′

+

+ ∞

+

0

─

∞

+

f (x)

max

f (x)

N

0

N

min

N

3 3

0

4. Находим

f ′′(x) = −

2

. Точками возможного перегиба являются x4 = 0 и

x5 = −3 .

3 x4 (x +3)5

(−∞, −3) ,

Они разбивают

область определения функции

на

интервалы

(−3, 0)

и

(0, + ∞) .

Исследуем

знак

f ′′(x)

на

этих промежутках. Результаты

исследования заносим в таблицу.

x

(−∞, −3)

-3

(−3, 0)

0

(0, + ∞)

f

′′

+

∞

-

∞

─

(x)

f (x)

Выпукла

Перегиб

Выпукла

Перегиба

Выпукла

вниз

0

вверх

нет

вверх

находим

5. Вертикальных асимптот нет. Для наклонной

асимптоты y = kx + b

коэффициенты:

k = lim

f (x) = lim

3 (x +3)x3

=1 ;

b = lim (3

(x +3)x2 − x) =1.

x→∞

x

x→∞

x

x→∞

Итак, y = x +1 - наклонная асимптота.

6. Точки (−3, 0)

и (0, 0)

являются точками пересечения графика функции с осями

координат: (−3, 0) - с осью X , (0, 0)

- с осями X и Y .

7. По этим данным строим график искомой функции (рис. 3.6):

1.

y = −

1

(x +1)2

(x −3)2 .

2.

y =

33 6(x −1)2 .

3. y = 3 2(x +1)2 (x − 2) .

16

2(x2 + 6x +9)

y =

−

8 − x2

y =

x3 − 27x +54

6. y = ln

x + 6

−1.

4.

.

5.

.

x2

x3

x

− 4

7.

y = 3 (x +1)2 − 3 (x + 2)2 .

8.

y =

(sin x + cos x)

2 . 9. y =16x3 +12x2 −5 .

y = 33 (x + 4)2 − 2x −8 .

y =

10x +10

y =

9 −10x2

10.

11.

.

12.

.

x2

+ 2x +

2

x3 − 4

4x2 −1

13.

y =

;

14.

y =

2 ln

x −1

+1.

15.

y = 3

x(x −1)2 .

x2

x

(−2, 3 2 2)

(3, 3 3 8)

0

0

1

[−2,5]

(5,6)

M = 6

−1

m = −2

0

0

y

x

=

(−2,2)

(1,−2)

−2

−

=

2

x

y

x =

x =

Если в пространстве R3 фиксирована декартова система координат XYZ , то задание

функции

r′ = r′(t) ,

t T , равносильно заданию трех скалярных функций

x = x(t) ,

y = y(t) ,

z = z(t) ,

которые

называются координатными

функциями для r (t) , т.е.

Z

rr

= rr(t) = (x(t), y(t), z(t)) , t T .

(4.1)

Если ir, rj , kr

- координатные орты, то

z(t)

rr = rr(t) = x(t)i + y(t) j + zr(t)k .

совпадает

(4.2)

0

Y

Если начало всех

векторов

r (t)

с началом

совпадающей с концом радиус-вектора

r (t) , если считать, что параметр

t есть

время.

t T

имеем

z(t) = 0 , то

вектор-функция

rr(t) называется

Если

при

всех

двумерной или плоской (расположенной в плоскости XY ). В этом случае

Вектор ar = (a1 , a2 , a3 )

rr

= rr(t) = (x(t), y(t)) = x(t)i

+ y(t) j ,

t T .

(4.3)

называют пределом функции r (t)

в точке t0

и пишут

lim rr(t) − ar = lim

(x(t) − a1 )2 + ( y(t) − a2 )2 + (z(t) − a3 )2

= 0 .

(4.4)

t→0

t→t0

Выполнение условия (4.4) равносильно выполнению равенств

lim x(t) = a1 ,

lim y(t) = a2 ,

lim z(t) = a3 .

(4.5)

t→t0

t→t0

t→t0

Свойства пределов вектор-функций:

1°.

lim rr(t) = ar

lim rr(t) = ar ,

t→t0

r

t→t0

2°.

Если

r

lim f (t) = A ,

где

f (t)

- скалярная

функция, то

lim r (t) = a ,

r

t→t0

t→t0

r

lim ( f (t) r (t)) =

A a ,

t→t0

lim rr1 (t) = ar1 ,

lim rr2 (t) = ar2 , то

3°. Если

t→t0

t→t0

lim (rr1 (t) + rr2 (t)) = lim rr1 (t) + lim rr2 (t) = ar1 + ar2 ,

t→t0

t→t0

t→t0

r

r

r

r

r

r

lim (r1 (t), r2

(t)) = lim r1

(t), lim r2

(t)

= (a1

, a2 ),

t→t0

t→t0

t→t0

lim [rr (t), rr

(t)]

=

lim rr (t), lim rr

(t) = [ar , ar

]

.

1

2

1

t→t0

2

1

2

t→t0

t→t0

Z

4.1.

Построить

годограф

Г вектор-

функции

x = cos t ,

y = sin t ,

z =1, t R.

1

∆ Имеем

Γ

x2 + y2

=1

-

цилиндр

радиусом

1

в

r

1 −t

sin 2t

ln(1

−t)

lim r

(t) = lim

, lim

, lim

−

= (1, 2, 3).

▲

t→0

1 +t

t→0 t

t→0

t

t→0

lim rr(t) = rr(t0 ) = (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ))

(4.6)

t→0

Прямая

M 0 M , проходящая через

конец M 0 = M (t0 )

вектора

rr0 = rr(t0 )

в

направлении

вектора

∆r

(в направлении

движения

по годографу)

(рис.

4.3)

называется секущей годографа, а ее предельное положение при

∆t → 0

-

касательной к годографу в точке M 0 .

Производной r′(t0 ) вектор-функции r′(t) в

точке t0 называется предел

r(t0 )

∆r

r

r

+ ∆t) − r(t0 )

lim

∆r

= lim

r (t0