Сборник задач по ВМ в 10-ти частях с решениями / Сборник задач по ВМ ч

Следовательно, равенство (1) может быть, согласно (1.22), записано в виде

∆f (x0 )= f (x0 + ∆x)− f (x0 )= f ′(x0 )dx +α(∆x) ∆x .

(1.23)

Из (4) вытекает приближенная формула

f (x0 + ∆x)≈ f (x0 )+ df

(x0 ), (1.24)

Y

если ∆x достаточно мало.

Если в точке

M 0 (x0 , f (x0 ))

к графику

f(x)

функции

f (x) провести касательную BD и

придать точке

x0 приращение ∆x , получив

при этом точку x0

+ ∆x , то, как следует из

f(x0)

M0

α

рис.1.4, в треугольнике

M 0 AB длина катета

AB , очевидно, равна

AB

= ∆x tgα = f ′(x0 ) ∆x = df (x0 ).

0

D

α

E

Но

AB

есть приращение ординаты

x0

X

касательной, проведенной к графику

f (x) в

её точке x0 , при смещении этой точки в

Рис.1.4

точку x0 + ∆x . В этом и состоит

геометрический смысл дифференциала df (x0 ) функции

f (x).

Из рис.1.4. также вытекает, что

EC

= f (x0

+ ∆x). Тогда в силу формулы (1.20),

получаем, что

BC

=α(∆x) ∆x .

x = x(t )–

Если

y =

f (x)–

дифференцируемая

в

точке

x

функция,

а

дифференцируемая

в

точке

t

функция,

то

дифференциал сложной

функции

y = f (x)=

x

df (t0 )= f

′(x0 ) dx , где,

f

так

не

может

быть

найден

по формуле

x0 = x(t0 ),

t

а

dx = x′(t0 )dt . В

этом

и состоит

свойство инвариантности формы

дифференциала.

Пусть

u = u(x), v = v(x)–

дифференцируемые

функции. Тогда

справедливы

следующие формулы исчисления дифференциала:

1o.d (αu + βv)

=αdu + βdv,α, β − const;

2o.d (uv)= udv + vdu;

3.o d

u

=

vdu −udv

, v ≠ 0.

v

v2

U

В

формуле

(1.24) получим

f (x) =

x, x0 = 4, ∆x = −0.02 , тогда

df (4) = (

x )'x=4

∆x =

1

(− 0.02), и, значит,

3.98 ≈ 4 +

1

(− 0.02)≈1.995

. S

2

4

2

4

1.84. Найти дифференциал функции

y =

arcsin x

+ ln

1 − x

1 − x2

1 + x .

arcsin x

+ d

1 − x

=

1 − x2 d (arcsin x)− arcsin xd (

1 − x2 )

+

dy = d

2

ln

2

1 − x

1 − x

1 + x

'

1 − x2

dx

+ arcsin x

x

dx

1

− x

1 − x2

1 − x2

1

+ x

1 1

+ x

dx

=

−

+ ln

2

1

1 − x

1 − x 2 1 − x

+ x

x arcsin x

+

2

1

1 − x

2

dx

dx

x arcsin xdx

−

=

(1 + x2 )=

(1 − x2 )3

. S

1 − x2

1 − x2

Но S = 4πr 2

dS = 8πrdr .

Тогда относительная

погрешность

вычисления

поверхности сферы будет равна

δS

=

∆S

=

8πrdr

= 2 ∆r

= 2 δr = 2 1 = 2% . S

4πr 2

1.86. Пусть u

S

r

и v – дифференцируемые функции, дифференциалы которых du

и dv известны. Найти dy , если

y

4

u

2

+ v

2

.

= arctg

+ ln

v

(u

)

1 d (u 2

2 )

4

1

d ln(u

2

2

)=

d

v

+ v

vdu −udv

dy = d arctg

+

+ v

+

=

+

2

2

2

2

2

v

2

u

2 u

+ v

u

+ v

1

+

v2

S

U

+

udu + vdv

=

(v + u)du + (u −v)dv

,u 2

+ v2 > 0

u 2 + v2

u

+ v2

1.87.

Найти

A

и

α(∆x) в формуле (1.20)

если y = x10 , x0 = 0 .

Отв.

A = 0,α(∆x)= ∆x9 .

x

y = cos x не эквивалентен

1.88. При

каких

дифференциал функции

при

∆x → 0 её приращению.

Отв. x = kπ,

f Z .

1.89. Найти дифференциалы:

1)

x + ∆x + 2 x +1

d x + 2 x +

x

Отв.

dx ;

2

x(x + ∆x)

2)

2 x

3

(3ln x −

Отв. 9

x ln xdx ;

d

2)

x

x

x

x

3)

d

5sh7

+ 7sh5

sh

4

ch

3

dx ;

Отв.

35

35

35

35

1 +

sin x

Отв.

2dx

;

4)

d ln

1 −

sin x

+ 2arctg sin x

cos x

x

5)

d (x x 2 )

Отв. x x2 (1 + 2 ln x)dx .

4) 3sin yx

2

−3x(y −π ), (1;π ).

Отв. − 2π

ln 3

dx ;

3 + ln 3

5) x = (t −1)2 (t − 2), y = (t −1)2 (t −3), (4;0).

Отв.

12 dx ;

6) x = e

t

2

t

e ; 9

Отв.

1

8 dx .

t

, y = (t −1)

e

, − 2

4

e .

1.92. Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции

y = y(x) в точке x :

Отв. 5.00177

1) y = 3 x, x =125.1324 .

;

2)

y = sin x, x = 359

o

Отв. − 0.017 ;

.

3)

y = arcsin x, x = 0.51

.

Отв. 0.512

;

положив

в

ней

u = f '(x),

v =1 + x2 .

Получим

(1 + x2 )f (n) + 2(n −1)xf (n−1)(x)+ (n −1)(n − 2)f (n−2)(x)= 0 ,

откуда при

x = 0 найдем

рекуррентное соотношение

(n)(0)= −(n −1)(n − 2)f (2)(0).

f

При четном

n = 2k ,

так как

f (2)(0)= 0 , получаем

f (2k )(0)= 0 .

При

нечетном

n = 2k +1, поскольку

f '(0)=1, находим

f (2k +1)(0)= −(2k )(2k −1)f (2k −1)(0)= (−1)k (2k )! f '(0)= (−1)k (2k )!▲

1.100. Найти вторую производную функции, обратной к функции

y = x + x5 ,

x R .

x'y =

1

=

1

.

1 +5x4

Отсюда

yx'

'

'

x

''

1

1

x

'

20x3

=

=

= −

.▲

yy

+ 5x

y

(1 + 5x4 )3

1 + 5x4

y

1

4 x

1.101. Найти y''(x) для функций:

1) y = x(1 + 3 1 − x2 );

2) y = ln(x + 1 + x2 );

1 − x2

1 + x2 );

3)

y = arctg(x +

4)

y = arcsin

x2 −1

;

x2 +1

5)

4

x4

+1

− ln

4 x4 +1 + x

.

y = 2arctg

x

4 x4 +1 − x

− x(1 + x2 )−2 ; 4)

− 4xsignx (1 + x2 )−2 ,

Отв. 1) 3x(1 − x2 )−5 2 ; 2)

− x(x2 +1)−3 2 ; 3)

1.102. Одна точка движется по закону s (t)

= t3 + t 2

2

+ t +

1

2

, другая по закону

(t)= 2t3

1

s

2

+ +3t 2 − 5t

( s ,

s

2

измеряются в метрах, t - в секундах). Найти ускорения

3

1

точек в тот момент, когда их скорости равны.

Отв. При t = 2c : 13 м

и 14

м

.

с2

с2

1.103. Найти производные указанного порядка:

1) y = x5 ln x , y' ' ' ;

2) y =

a

,

y(4);

xm

y = ex sin x , y(4);

y(50).

3)

4)

y = x2e2x ,

Отв.

1) x2 (60ln x + 47);

2)

am(m +1)(m + 2)(m + 3)x−(m+4);

3) − 4ex sin x ; 4)

249 e2x (2x2 +100x +1225).

y1 = (sin marcsin x), и

y2 = cos(marcsin x)

1.104.

Доказать,

что

функции

удовлетворяют соотношению (1 − x2 )y''−xy'+m2 y = 0 .

1.105*. Найти производную n -го порядка для функций:

1)

y =

αx + β

, α ,

β , γ , δ − const ;

2)

y = sin 2 x ;