3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

БИПОЛЯРНЫХ ТРАНЗИСТОРОВ

3.1. Классификация моделей биполярных транзисторов

Математические модели биполярных транзисторов (БТ), как и любых других электронных приборов, с той или иной степенью точности описывают его электрические свойства с помощью математических выражений или экви- валентных схем. Электрические характеристики эквивалентных схем, состоя- щих из более простых элементов (диодов, управляемых источников тока, рези- сторов, конденсаторов и др.), для определенных режимов работы и диапазонов рабочих частот оказываются близкими к характеристикам реальных приборов. Поэтому математические модели используются при проведении проектирова- ния радиоэлектронных схем на основе БТ для расчета характеристик и пара- метров как самого прибора, так и всей схемы в целом. Степень точности мате- матической модели зависит от числа ее параметров или элементов эквивалент- ной схемы. Чем сложнее модель, тем она точнее, но тем более сложно ею поль-

зоваться. Очень важно знать не только систему параметров каждой модели, но и диапазон ее применимости.

Существующие модели транзисторов можно разделить на два вида: нели- нейные модели и малосигнальные (линейные). Нелинейные модели предна- значены для математического описания БТ, работающего в режиме большого сигнала, когда амплитудные значения переменных составляющих токов тран- зистора Iб m , Iк m , Iэ m и напряжений между его выводами Uбэ m , Uкэ m соиз-

меримы с уровнем постоянных составляющих токов IБ , IК , IЭ и напряжений

UБЭ , UКЭ :

Iб m ≈ IБ , Iк m ≈ IК , Iэ m ≈ IЭ ;

Uбэ m ≈ UБЭ , Uкэ m ≈ UКЭ .

В режиме большого сигнала БТ работает в таких устройствах, как мощные уси- лительные каскады, генераторы синусоидальных и импульсных сигналов, раз- личные импульсные и цифровые устройства. Кроме того, нелинейные модели позволяют рассчитывать статические ВАХ БТ.

Малосигнальные модели используются при описании устройств, в которых транзистор работает в активном режиме на линейных участках ВАХ. К ним отно- сятся малосигнальные (линейные) усилительные каскады. В этом случае амплитуд- ные значения переменных составляющих токов транзистора Iб m , Iк m , Iэ m и на-

пряжений между его выводами Uбэ m , Uкэ m много меньше уровня постоянных

составляющих токов IБ , IК , IЭ и напряжений UБЭ , UКЭ :

Iб m << IБ , Iк m << IК , Iэ m << IЭ ;

Uбэ m << UБЭ , Uкэ m << UКЭ .

36

3.2. Модель Эберса – Молла

Модель Эберса – Молла является наиболее распространенной нелиней- ной моделью, ее вариант для n-p-n-транзистора показан на рис. 3.1. Диод VD1 моделирует свойства эмиттерного перехода, а диод VD2 – коллекторного. ВАХ

прямым включениям переходов. Положительные направления токов во внешних выводах эмиттера, базы и коллектора совпадают с направлениями токов в актив- ном режиме. Система индексов имеет следующий смысл: UБЭ = UБ - UЭ ,

UБК = UБ - UК , где UЭ , UБ и UК – потенциалы эмиттера, базы и коллектора.

При перемене порядка следования индексов изменяется знак, например

UБЭ = -UЭБ .

Источники токов отображают взаимодействие переходов. Источник тока h21БI1 , подключенный параллельно диоду VD2, учитывает передачу тока из

эмиттера в коллектор, а источник тока h21БиI2 – из коллектора в эмиттер. Токи I1 , I2 , если они положительны, имеют смысл токов инжекции через переходы. За- метим, что в первом приближении токи h21БI1 , h21БиI2 не зависят от напряжения,

действующего в той цепи, в которую включен соответствующий источник тока. Параметры модели h21Б и h21Би являются статическими коэффициентами пере-

дачи по току в схеме с общей базой (ОБ) в активном и инверсном режиме работы

БТ и определяются соответственно соотношениями

37

h21Б = (IК − IКБ0 )IЭ ,

h21Би = (IЭ − IЭБ0 )IК ,

где IЭБ0 , IКБ0 – обратные или тепловые токи эмиттерного и коллекторного пере- ходов в режиме холостого хода на выходе IК = 0 и входе IЭ = 0 соответственно. В транзисторе выполняется соотношение взаимности h21БIЭ0 = h21БиIК0 , поэтому

только три из четырех параметров являются независимыми.

Таким образом, в модели (см. рис. 3.1) диоды VD1, VD2 отображают ин- жекцию (экстракцию) носителей через эмиттерный и коллекторный переходы. Параметр h21Б и источник тока h21БI1 отражают инжекцию электронов из эмит-

тера в базу, их перенос через базу в коллектор, а также нежелательную инжек- цию дырок из базы в эмиттер. Аналогично параметр h21Би и источник тока

h21БиI2 отражают инжекцию электронов из коллектора в базу, их перенос через

базу в эмиттер и инжекцию дырок из базы в коллектор. Токи эмиттера и коллек- тора (см. рис. 3.1) связаны с внутренними токами модели соотношениями

Из этих уравнений можно получить аналитические выражения для любо- го семейства ВАХ БТ в любой схеме включения.

Резисторы r'э , r'б , r'к моделируют суммарное сопротивление: объемного

сопротивления, омического контакта и вывода эмиттера, базы и коллектора со- ответственно. Из-за падения напряжения, обусловленного протеканием через них токов выводов БТ, токи диодов VD1 и VD2 определяются не внешними на- пряжениями UБЭ и UБК , а внутренними U'БЭ и U'БК . Конденсаторы Cэ бар ,

Cк бар, Cэ дф , Cк дф моделируют барьерные и диффузионные емкости эмиттер-

ного и коллекторного переходов транзистора, т.е. отражают инерционные свой- ства переходов при работе БТ с переменными сигналами. Барьерные и диффу- зионные емкости зависят от напряжений U'БЭ и U'БК , поэтому в модели ис-

пользуются либо усредненные постоянные значения емкостей – параметры мо- дели, либо для повышения точности зависимости Cбар(U), Cдф (U), что приво-

дит к увеличению числа параметров модели.

Рассмотренная модель Эберса – Молла не учитывает некоторых особен- ностей работы реального транзистора: ток рекомбинации эмиттерного перехо- да, эффект модуляции толщины базы, эффекты высокого уровня инжекции, то- ки термогенерации и утечки переходов и др. Поэтому точность модели невели-

38

ка, а ее применимость ограничена. Для повышения точности модели в нее вво- дят дополнительные элементы, учитывающие те или иные эффекты, перечис- ленные выше, и получают более сложные модификации исходной модели. Од- нако при усложнении модели ее точность хотя и возрастает, но возникают трудно- сти экспериментального определения все большего числа параметров, многие из которых не могут быть измерены непосредственно. Поэтому применяемые для расчета электронных схем модифицированные модели Эберса – Молла представ- ляют компромисс между точностью и сложностью.

3.3. Малосигнальная физическая Т-образная эквивалентная схема

Малосигнальная Т-образная эквивалентная схема БТ с ОБ в активном режи- ме показана на рис. 3.2. Она получена из модели Эберса – Молла (см. рис. 3.1) пу- тем замены диодов VD1 и VD2 резисторами rэ , rк , сопротивления которых равны

дифференциальным сопротивлениям эмиттерного и коллекторного переходов. Кроме того, исключены резисторы r'э , r'к , имеющие малое сопротивление, источ-

ник тока h21БиI2 и конденсатор Cк дф , поскольку при обратном смещении коллек- торного перехода ток I2 очень мал, а диффузионная емкость коллекторного пере-

хода отсутствует.

Следует помнить, что при задан-

ных постоянных составляющих тока эмиттера и напряжения на коллекто- ре параметры модели постоянны,

однако они могут изменяться при изменении постоянных составляю- щих.

При анализе усилительных уст- ройств на БТ, включенном по схеме с общим эмиттером (ОЭ), данной эк-

Рис. 3.2 вивалентной схемой (см. рис. 3.2) не- удобно пользоваться, поскольку вы- ходной ток Iк определяется током общего вывода Iк . Используя теорему об экви-

валентном генераторе тока, после соответствующих преобразований можно полу- чить эквивалентную схему для включения с ОЭ, показанную на рис. 3.3. В данной схеме ток управляемого источника определяется входным током базы Iб . При этом

коллекторный переход описывается резистором с сопротивлением меньше диффе- ренциального сопротивления коллекторного перехода rк* = rк /(1 + h21Э ) и конден-

сатором с емкостью больше барьерной емкости коллекторного перехода C*к = Cк × (1 + h21Э ) . В данных выражениях h21Э – статический коэффициент пе- редачи по току в схеме с ОЭ.

39