Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Так как числа, участвующие в операциях, могут быть представлены в различных позиционных системах счисления, то для выполнения действий над ними требуется привести их к одной системе счисления. Необходимо отметить, что целая и дробная части числа переводятся отдельно. Следовательно, все методы перевода чисел можно подразделить на две группы: перевода целых и дробных чисел.

Перевод целых чисел

Метод подбора степеней основания. В соответствии с (2) целые числа в системах счисления с основаниями r₁и r₂могут быть представлены:

_{n k}

A _r1 = a_i r₁ⁱ = b_j r₂^j = A _r2 .

_{i=0 j=0}

В общем случае перевод числа из системы счисления с основанием r₁в систему счисления с основанием r₂можно представить как задачу определения коэффициентовb_iнового ряда, изображающего число в системе счисления с основанием r₂. Основная трудность в выборе максимальной степени основанияr₂, которая еще содержится в числе A_r1. Все действия должны выполняться по правилам r₁-арифметики (то есть исходной системы счисления). После нахождения максимальной степени и соответствующего ей коэффициента необходимо найти коэффициенты для всех остальных (младших) степеней.

Пример: A₁₀=37, A₂=?

37=1·2⁵+ 0 ·2⁴+ 0 ·2³+ 1·2²+ 0 ·2¹+ 1·2⁰=100101.

Нечетным двоичным числом 100101 является число, содержащее единицу в младшем разряде.

Метод деления на основание системы счисления.На основании (1) числоA_r1в системе счисления с основаниемr₂запишется в виде

A_r2 = a_n· r₂ⁿ + a_n-1 ·r₂^n-1 + ... + a₁· r₂¹ + a₀·r⁰.

Переписав это выражение по схеме Горнера, получим:

A_r2 = (...(a_n r₂ + a_n-1) r₂ + ... + a₁) r₂ + a₀.

Разделив правую часть на r₂, получим первый остаток a₀и целую часть (...(a_n r₂+ a_n-1) r₂ + ... + a₁). Разделив целую часть на r₂, получим остаток a₁и новую целую часть. Выполнив деление n+1 раз, получим последнее целое частное a_n< r₂, являющееся старшей цифрой числа.

Пример: А₁₀= 37, A₂= ?, А₅= ?

Перевод правильных дробей

Метод подбора величин, обратных степеням основания

A₁₀=0,716

А₂=0,1011...

Количество разрядов после запятой зависит от точности, с которой требуется представить число.

Метод умножения на основание r₂ новой системы счисления. Из выражения (1) дробное числоA_r1в системе счисления с основаниемr₂запишется в виде

A_r2 = a_-1 r₂^-1 + ... + a_-n r₂^-n.

Переписав это выражение по схеме Горнера, получим:

A_r2 = r₂^-1 (a_-1 + r₂^-1 (a_-2 + ... + a_-n r₂^-1)...).

Умножив правую часть на r₂, получим новую неправильную дробь, целая часть которой есть a_-1 (старшая цифра числа A_r2). Продолжим процесс умножения дробной части на r₂ n-1 раз, получим цифры a_-2, a_-3, . . . числа A_r2.

Процесс умножения может быть прекращен, если во всех разрядах после очередного умножения получены нули либо достигнута требуемая точность.

Пример: A₁₀=0,673, A₂=?, A₁₆=?

Для перевода неправильных дробей отдельно выделяется целая и дробная части числа и с использованием соответствующих методов выполняется их перевод. Результаты записываются в виде новой неправильной дроби.