- •Арифметические и логические основы вычислительной техники учебное пособие
- •Введение
- •Арифметические основы вычислительной техники Системы счисления
- •Двоичная система счисления
- •Восьмеричная система счисления
- •Шестнадцатеричная система счисления
- •Критерии выбора системы счисления
- •Перевод чисел из одной системы счисления в другую
- •Перевод целых чисел
- •Перевод правильных дробей
- •Перевод чисел из одной системы счисления в другую, основание которой кратно степени 2
- •Кодирование чисел
- •Переполнение разрядной сетки
- •Модифицированные коды
- •Машинные формы представления чисел
- •Погрешность выполнения арифметических операций
- •Округление
- •Нормализация чисел
- •Последовательное и параллельное сложение чисел
- •Сложение чисел с плавающей запятой
- •Машинные методы умножения чисел в прямых кодах
- •Ускорение операции умножения
- •Умножение с хранением переносов
- •Умножение на два разряда множителя одновременно
- •Умножение на четыре разряда одновременно
- •Умножение в дополнительных кодах
- •Умножение на два разряда множителя в дополнительных кодах
- •Матричные методы умножения
- •Машинные методы деления
- •Деление чисел в прямых кодах
- •Деление чисел в дополнительных кодах
- •Методы ускорения деления
- •Двоично-десятичные коды
- •Суммирование чисел с одинаковыми знаками вBcd-коде
- •Суммирование чисел с разными знаками вBcd-коде
- •Bcd-коды с избытком 3
- •Bcd-код с избытком 6 для одного из слагаемых
- •Система счисления в остаточных классах (сок)
- •Представление отрицательных чисел в сок
- •Контроль работы цифрового автомата
- •Некоторые понятия теории кодирования
- •Обнаружение и исправление одиночных ошибок путем использования дополнительных разрядов
- •Коды Хемминга
- •Логические основы вычислительной техники Двоичные переменные и булевы функции
- •Способы задания булевых функций
- •Основные понятия алгебры логики
- •Основные законы алгебры логики
- •Формы представления функций алгебры логики
- •Системы функций алгебры логики
- •Минимизация фал
- •Метод Квайна
- •Метод Блейка - Порецкого
- •Метод минимизирующих карт Карно (Вейча)
- •Б в Рис. 19. Таблица истинности и карта Карно
- •Минимизация конъюнктивных нормальных форм
- •Минимизация не полностью определенных фал
- •Кубическое задание функций алгебры логики
- •Метод Квайна −Мак-Класки
- •Алгоритм извлечения (Рота)
- •Минимизация фал методом преобразования логических выражений
- •Применение правил и законов алгебры логики к синтезу некоторых цифровых устройств Синтез одноразрядного полного комбинационного сумматора
- •Синтез одноразрядного комбинационного полусумматора
- •Синтез одноразрядного полного комбинационного сумматора на двух полусумматорах
- •Синтез одноразрядного комбинационного вычитателя
- •Объединенная схема одноразрядного комбинационного сумматора-вычитателя
- •Триггер со счетным входом как полный одноразрядный сумматор
- •Введение в теорию конечных автоматов Основные понятия теории автоматов
- •Способы задания автоматов
- •Структурный автомат
- •Память автомата
- •Канонический метод структурного синтеза автоматов
- •Принцип микропрограммного управления
- •Граф-схема алгоритма
- •Пример синтеза мпа по гса
- •Синтез мпа Мили по гса
- •Синхронизация автоматов
- •Литература
- •220013, Минск, п.Бровки, 6
Перевод чисел из одной системы счисления в другую, основание которой кратно степени 2
К таким системам относятся двоичная, четверичная, восьмеричная и т.д. системы счисления.
A8=.
Ограничимся тремя восьмеричными разрядами, придавая i значения 0,1,2.
+ (младшая восьмеричная цифра с весом 80)
++
+
При переводе числа из двоичной системы счисления в восьмеричную необходимо разделить его разряды на триады, начиная с младших разрядов, и каждую триаду заменить восьмеричной цифрой.
Пример:А8= 45 А2= 0010 0101
100 101 = А2 2 5 = А16
Кодирование чисел
Кодирование знака числа. Кодирование чисел позволяет заменить операцию арифметического вычитания операцией алгебраического сложения с помощью двоичного сумматора. Для кодирования знака числа используется специальный двоичный разряд, называемыйзнаковым. При этом знак плюс кодируется двоичной цифрой 0, а минус – цифрой 1 (для системы счисления с основаниемr– цифройr-1). Для машинного представления отрицательных чисел используют три основных вида кодов: прямой, обратный и дополнительный. Общая схема кода числа:код знака . код числа.
Прямой кодчисла. При этом способе кодирования чисел кодируется только знак числа, а значащая часть остается без изменения.
Пример: A=+0,1101 A= - 0,1101
[A]пр=0,1101 [A]пр=1,1101
Пример: A = + 1101 A = - 1101
[A]пр=0.1101 [A]пр=1.1101
Диапазон изменения машинных изображений для прямого кода лежит в пределах: -(1-2-n)[A]пр(1-2-n).
Недостатком прямого кода является сложность выполнения операции сложения чисел с разными знаками.
Для арифметических операций над числами в прямом коде используется сумматор прямого кода. В этом сумматоре отсутствует цепь поразрядного переноса между старшим значащим и знаковым разрядами, то есть на этом сумматоре невозможно выполнение операции алгебраического сложения.
Дополнительный кодчисла. Число А'называетсядополнениемк числу А, если выполняется соотношение: А + А= rn для целых чисел или А + А'=r0для дробных чисел, гдеn– количество цифр в записи числаA.
Пример:A10 =378
n=3
A10'=103– А10=1000 - 378=622
378
621 - все разряды дополняются до младшей цифры системы счисления
1 - младший разряд дополняется до основания системы счисления
1000
n=4
А2 =1011,A2 '=24 - А=10000 - 1011 = 0101, или А2' = 0101
Замена операции вычитания операцией сложения. В ЭВМ достаточно сложно выполнить операцию вычитания (А-В). Для этого требуется:
сравнить числа и выявить наибольшее из них по абсолютной величине;
наибольшее число разместить на входах вычитающего устройства;
выполнить операцию вычитания;
присвоить значению разности знак наибольшего по абсолютной величи-
не числа.
Для сложения чисел в дополнительных кодах требуется сумматор и неважно, какие слагаемые подаются на его входы А или В. Пусть необходимо сложить
А = 487 А = 487
В = -348 В = 652
А-В = 139 А-В = 1 139
А + (103 – В) = А-В+103 (103 игнорируется).
А = 348 А = 348
В = -487 В = 513
А-В = -139 А-В = 861
Дополнительный код отрицательных чисел является математическим дополнением абсолютной величины числа до основания rсистемы счисления для дробных чисел и доrnдля целых чисел.
- для дробных чисел,- для целых чисел,
где - абсолютное значение числа А,n– число цифр числа.
Положительные числа в дополнительном коде не меняют своего изображения. Правило преобразования числа в дополнительный код можно записать:
Рассмотрим несколько примеров сложения чисел в дополнительных кодах.
А= 0,1001 [A]доп = 0,1001 А= - 0,1001 [A]доп = 1,0111
В= - 0,0100 [B]доп = 1,1100 В= 0,0100 [B]доп = 0,0100
10,0101 1,1011
Теорема. Сумма дополнительных кодов чисел есть дополнительный код результата.
Доказательство теоремы приведено в [1].
Теорема справедлива для всех случаев, в которых не возникает переполнения разрядной сетки, что позволяет складывать машинные представления чисел по правилам двоичной арифметики, не разделяя знаковую и значащую части числа. Для выполнения арифметических операций над числами в дополнительном коде используется двоичный сумматор дополнительного кода, характерной особенностью которого является наличие поразрядного переноса из старшего значащего в знаковый разряд.
Обратный кодчисла. Обратный код двоичного числа является инверсным изображением числа, в котором все разряды исходного числа принимают инверсное (обратное) значение. Правила преобразования чисел в обратный код аналитически можно определить следующим образом:
,
.
Выполнение арифметических операций над числами в обратном коде осуществляется на сумматоре обратного кода.Этот код имеет несущественный недостаток: требует наличия в сумматоре цепи циклического переноса из знакового разряда в младший значащий. Это может привести к увеличению времени выполнения арифметических операций. Ниже приведены несколько примеров выполнения арифметических операций над числами, записанными в обратном коде.
А= 0,1001 [A]обр = 0,1001 А= - 0,1001 [A]обр = 1,0110
В= - 0,0100 [B]обр = 1,1011 В= 0,0100 [B]обр = 0,0100
10,0100 1,1010
1
0,0101
Теорема. Сумма обратных кодов чисел есть обратный код результата.
Доказательство теоремы приведено в [1].