Краткий курс математического анализа. Том 1

208 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Очевидно, справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l, что выполняется условие (15.23), то прямая y = kx + + l является асимптотой функции f при x → +∞, так как из (15.23) сразу следует условие (15.21).

П р и м е р. Найдем асимптоту функции

Отсюда следует, что асимптотой функции (15.24) является прямая y = x + 2.

Уравнениями вида (15.20) описываются все прямые, которые не

параллельны оси Oy, т. е. не вертикальны. Поэтому асимптоты вида (15.20) называют также и наклонными асимптотами. Сформули-

руем теперь определение вертикальных асимптот.

О п р е д е л е н и е 7. Если для функции f выполнено хотя бы одно

то прямая x = x0 называется вертикальной асимптотой функции f.

Для того чтобы имело смысл рассматривать первый (второй) предел (15.25), здесь предполагается, что функция f задана на пересечении некоторой окрестности точки x0 с лучом x < x0 (с лучом x > x0).

Чтобы найти вертикальные асимптоты функции f , надо найти такие значения x0, для которых выполняются одно или оба условия (15.25). Например, для функции (15.24) вертикальной асимптотой является прямая x = 1, ибо

15.5.Построение графиков функций. С помощью развитого

вэтом параграфе математического аппарата можно изучать поведение функций и строить их графики. Общее изучение заданной функции целесообразно проводить в следующем порядке.

1. Определить область существования функции, область непрерывности и точки разрыва.

2. Найти наклонные и вертикальные асимптоты.

3. Приблизительно, вчерне, нарисовать график функции.

4. Вычислить первую, а если нужно, и вторую производные (без производных более высокого порядка обычно удается обойтись). Найти точки, в которых первая и вторая производные либо не суще-

ствуют, либо равны нулю. Составить таблицу изменения знака первой

ивторой производных.

5.Определить интервалы возрастания, убывания, выпуклости вверх и вниз функции, найти точки экстремума (в том числе и концевые) и точки перегиба.

6.Окончательно вычертить график.

В результате, действуя подобным образом, мы, как правило, сумеем провести лишь качественное исследование заданной функции, так как, например, для нахождения точек экстремума согласно теореме 2 надо решить уравнение f (x) = 0, а может оказаться, что точные значения корней этого уравнения мы не сумеем найти, а сумеем лишь с большей или меньшей точностью найти интервалы, где они находятся. В этом случае методы математического анализа позволяют, вообще говоря, осуществлять лишь качественное изучение поведения функции, а их количественное изучение идет с помощью численных методов, возможности которых существенно расширяет использование современных вычислительных машин.

П р и м е р. Построить график функции

Функция f определена и непрерывна на всей числовой оси, по-

Функция f неотрицательна при положительных значениях аргумента x и отрицательна при его отрицательных значениях; f (0) =

Легко видеть, что f (x) x при x → 0, f (x) x5/3 как при x → +∞, так и при x → −∞.

На основе полученных данных можно построить эскиз графика функции (15.26) — он изображен на рис. 88. Для уточнения вида графика вычислим первую и вторую производные функции (15.26):

Поскольку f (3/5) = 0 и производная в точке x = 3/5 меняет знак с плюса на минус (отметим, что в достаточно малой окрестности точки x = 3/5 знаменатель у выражения для f (x) отрицателен), то эта точка является точкой максимума, что соответствует виду графика на рис. 85.

210 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

В точке x = 1 существует бесконечная производная, поэтому график функции (15.26) имеет в точке (1, 0) вертикальную касательную.

Наконец, f (6/5) = 0, и в точке x = 6/5 вторая производная меняет знак. Это означает, что точка x = 6/5 является точкой перегиба. Принимая во внимание все дополнительные исследования, можно существенно уточнить вид графика функции (15.26). Уточненный вид графика этой функции изображен на рис. 89.

§ 16. Векторные функции

16.1. Предел и непрерывность векторной функции.

В этом параграфе будут изучаться функции, значениями которых

являются векторы, а аргументами — числа. Такие функции называют

вектор-функциями или векторными функциями (числового аргумента). Они обозначаются жирным шрифтом: r(t), или с помощью черты над значениями функции: OM (t), t X, где X — некоторое числовое множество.

В этом определении в зависимости от рассматриваемых задач под векторами r(t) могут пониматься как свободные векторы, так и векторы с закрепленными началами. Если начала всех векторов

закреплены в одной и той же точке (обычно — начало координат), то такие векторы называются радиусами-векторами.

Если в трехмерном евклидовом пространстве задана прямоугольная система координат, то, как хорошо известно, каждому вектору соответствует упорядоченная тройка действительных чисел — его координат и, наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел соответствует вектор, для которого числа, входящие в эту тройку, являются его координатами. Поэтому задание вектор-функции r(t), t X, эквивалентно заданию трех скалярных, т. е. числовых, функций x(t), y(t), z(t), t X, являющихся его координатами:

r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t X.

Длина (абсолютная величина) всякого вектора a, обозначается |a| скалярное произведение векторов a и b — через ab или (a, b), а векторное — через a×b или [a, b].

Определим понятия предела, непрерывности, производной и дифференциала для векторных функций.

О п р е д е л е н и е 1. Вектор a называют пределом вектор-функ- ции r(t), t X, при t → t0 (или в точке t = t0) и пишут

В этом определении |r(t) − a| — числовая функция. Таким образом, понятие предела векторной функции сводится к понятию предела скалярной функции. Вспомнив определение этого понятия, получим, что (16.1) означает, что для любого ε > 0 существет такое δ > 0, что для всех

Как и в случае скалярных функций, будем предполагать, что t0 является точкой прикосновения (конечной или бесконечно удаленной) множества X. Если t0 — конечная точка, то условие (16.3) можно записать в виде

а если t0 — одна из бесконечно удаленных точек ∞, +∞ или −∞, то соответственно в одном из следующих трех видов:

в одну точку (например, в начало координат),

то условие (16.4) будет означать, что концы всех векторов r(t) при t X ∩ U (t0, δ) лежат в шаре радиуса ε с центром в конце вектора a (рис. 90).

212 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

t→t0

векторной функции r(t) существует в том и только том случае, когда существуют пределы ее координат

Действительно, в силу соотношений (16.7) и (16.8) для того, чтобы выполнялось условие (16.2), необходимо и достаточно, чтобы

Аналогично случаю числовых функций, если t0 X и на множестве X существует предел lim r(t), то этот предел равен значению

t→t0

функции r(t) в точке t0: lim r(t) = r(t0).

t→t0

О п р е д е л е н и е 2. Если t0 — конечная точка и для функции r(t), t X, имеет место равенство

lim r(t) = r(t0),

то эта функция называется непрерывной в точке t0.

Как и в случае скалярных функций, условие (16.11) выполняется

t→0

Из эквивалентности условий (16.9) и (16.10) следует, что векторная функция непрерывна в некоторой точке тогда и только тогда, когда в этой точке непрерывны все ее координатные функции.

Отметим основные свойства пределов векторных функций.

1◦. Если lim r(t) = a, то lim |r(t)| = |a|.

Это непосредственно следует из неравенства ||r| − |a|| |r − a|. Геометрический смысл этого неравенства состоит в том, что раз-

ность длин двух сторон треугольника не превышает длины его третьей стороны.

В свойствах 2◦–5◦ все рассматриваемые функции определены на некотором множестве X R; предполагается, что все пределы, входящие в правые части равенств, существуют, и утверждается, что существуют пределы, стоящие в левых частях, причем имеют место написанные формулы.

Все эти свойства доказываются методом, аналогичным методу, которым доказывались свойства пределов скалярных функций в п. 6.7.

Докажем в качестве примера свойство 5◦. Заметим предваритель-

Из свойств пределов векторных функций и определения их непрерывности следует, что сумма, скалярное и векторное произведения векторных функций, а также произведение скалярных функций

214 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

на векторные непрерывны в некоторой точке, если в этой точке непрерывны все слагаемые или соответственно сомножители.

16.2. Производная и дифференциал векторной функции.

Пусть векторная функция r(t) задана в некоторой окрестности точки

то в силу (16.9), (16.10) для того, чтобы векторная функция r(t) = = (x(t), y(t), z(t)) имела производную в точке t0, необходимо и достаточно, чтобы ее координаты x(t), y(t), z(t) имели производные в точке t0, причем в этом случае

r (t0) = (x (t0), y (t0), z (t0)). (16.18)

Производную r (t) вектор-функции r(t) называют также скоростью изменения вектора r(t) относительно параметра t. В случае

когда длина вектора r(t) не меняется, производная r (t) называется также и скоростью вращения вектора r(t), а ее абсолютная величина — численным значением скорости его вращения.

З а м е ч а н и е 1. По аналогии со случаем скалярных функций векторную функцию α(t), t X, называют бесконечно малой по

сравнению со скалярной функцией β(t), t X, при t → t0 и пишут α(t) = o(β(t)), t → t0, если существует векторная функция ε(t), определенная на том же множестве X, что и функции α(t), β(t), такая, что в некоторой окрестности точки t = t0 имеет место равенство

α(t) = ε(t)β(t), t X, и

lim ε(t) = 0.

t→t0

Как и для скалярных функций, если t0 X, то функция ε(t) непрерывна в точке t0, и потому ε(t0) = 0.

З а м е ч а н и е 2. Вектор-функция аргумента t называется линейной, если она имеет вид at + b, где a и b — какие-либо два фиксированных вектора.

После этих вводных замечаний можно определить понятие дифференцируемости и дифференциала вектор-функции.

О п р е д е л е н и е 4. Вектор-функция r(t), заданная в некоторой

При этом линейная вектор-функция a t приращения аргумен-

Следовательно, если представить эту функцию o(Δt) в виде (см. замечание 1) o(Δt) = ε(Δt)Δt, то функция ε(Δt) также будет определена при t = 0, а поэтому, как было отмечено выше, в этом случае ε(0) = 0. Благодаря этому здесь предел

рассматривается не по проколотой, а по целой окрестности точки t = 0.

Формулу (16.19) теперь можно записать в виде

Докажем несколько простых утверждений о дифференцируемых векторных функциях, аналогичных соответствующим утверждениям для скалярных функций.

I. Если векторная функция дифференцируема в некоторой точке, то она и непрерывна в этой точке.

II. Если векторная функция r(t) дифференцируема в точке t0, то она имеет в этой точке производную и

r (t0) = a,

где вектор a определяется формулой (16.19).

Действительно,

216 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Верным является и обратное утверждение.

III. Векторная функция, имеющая в некоторой точке производ-

По условию функция t = t(τ ) дифференцируема в точке τ0, т. е.

Отсюда следует, что эта функция в рассматриваемой точке непре-

венства (16.24), а следовательно, и его левая часть имеют конечные