Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Матика 2 курс / Специальные главы математики 140410(ЭАб)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

1.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

d	2x			dx
		2	3	2	2x	2	0
		2
dt				dt

соответствует система уравнений

dxdt1 3x1 2x2

dx2 x1 dt

		3	2
с матрицей коэффициентов	A			.
		1	0
		1	0

Исключив параметр t из системы уравнений, для нахождения фазовых траекторий получаем однородное дифференциальное уравнение

	dx1	3 2	x2	.

	dx2		x1
Обозначив x1 / x2 ,		dx1 / dx2 d / dx2 x2 , получаем

ln cx2 ln( 1)/( 2)2 .

При c 1 имеем семейство парабол

x 2	4x x		4x	2 x	x	2	0	(3.6)
1	1	2	2	1		2

с осью симметрии, расположенной под углом 1/ 2arctg(4 / 3) к оси ОХ1.

Замечание. Тип кривой определяется из общего уравнения кривой второго

порядка Ax 2	2Bx x	2	Cx 2		Dx		Ex	F 0.	Параболическому		типу
1	1	2		2		1	2
соответствует АС В2		0		;		эллиптическому			типу	AC B2	0;
гиперболическому типу AC B2						0.

						22
		Для приведения системы к более простому виду находим собственные
значения			матрицы А:		1 2;		2	1				и	собственные векторы:
		2		1
e1			e2
e1	,		e2	.
		1		1

		Матрица перехода от базиса				E i , j			к базису					имеет вид
		Матрица перехода от базиса				1			к базису			E2	e1, e2	имеет вид
					2 1			1			1	1
				T				1			1
					1 1	;	T				1	2

		В базисе Е2 исходная матрица принимает простой вид
							2		0
					J					:
							0		1
							0		1

	1	1		1 3		2 2		1	2		0
J T

		AT	1	2	1	0	1			0	1	,
								1

а исходная система преобразуется в систему

dxdt1 2x1 dxdt2 x2.

После исключения t и интегрирования получаем уравнения фазовых траекторий, которые также являются параболами

x22 cx1 .

Для построения фазовых траекторий в случае «седла» и «вырожденного узла» нужно, прежде всего, найти фазовые траектории, которые лежат на прямых, проходящих через начало координат. Эти направляющие прямые -

сепаратрисы всегда направлены вдоль собственных векторов матрицы А. Для особой точки типа «узел» траектории касаются той прямой, которая направлена вдоль собственного вектора, соответствующего меньшему по абсолютной величине значению .

Уравнения направляющих прямых можно найти, положив x2 = kx1 ,

dx1 3 2 x2 dx2 x1

	1		3 2k;					2k 2 3k 1 0;
		k	3 2k;					2k 2 3k 1 0;
		k
	k 1;			k			1	; x x ;		x			1	x .
	k 1;			k	2			; x x ;		x	2			x .
	1				2	2		2	1		2	2		1
	1							2	1

						( 1 )
x	2			e2		( 1 )								x2
	2

								e1 ( 2 )
			x1					ˆ
								T

Со

хранение характера фазового портрета типа «неустойчивый узел» при переходе к новой системе координат

Над приведенными дифференциальными уравнениями выполнить действия

а) Преобразовать линейные дифференциальные уравнения второго порядка в равносильную систему линейных уравнений и записать в матричной форме,

б) Найдите собственные значения матрицы системы и определите по ним жорданову форму матрицы и тип фазового портрета,

в) Найдите точные уравнения фазовых траекторий и схематично постройте их,

с) Сделайте вывод об устойчивости нулевого решения.

ВАРИАНТЫ
1) y 4 y 0	2) y 3y 2 y 0
3) y 2 y y 0	4) y 4 y 5y 0

РГР 6. Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом матричной экспоненты

Литература

1.Алексеев Д.В., Казунина Г.А., Трушникова Н.В. Дифференциальные уравнения с элементами теории устойчивости: учеб. пособ.[электронный ресурс].- КузГТУ.- Кемерово.- 2010

2.Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости [электронный ресурс]: СПб.- Лань, 2008

Запись решения линейной однородной системы в матричной форме удобно выполнить, используя матрицу e A t , которая называется матричной экспонентой:

	e At E	At		( At)2	...		( At)k	...
	e At E	1!		2!	...		k !	...
		1!		2!			k !
Поскольку справедливо		соотношение				de A t / dt Ae At ,				прямой
	e A t								dX	AX
подстановкой			в	систему
подстановкой			в	систему					dt
									dt

убеждаемся, что X e At - решение.

Обозначив X

x (t)

x (t

)

- матрицу искомых функций, а

X 1

x2 (t)

(t0 )

матрицу столбец

начальных условий,

получаем решение системы (3.26)

компактном виде

X e A(t t0 ) X

или

X eAt X

при t0 0

Матрицу e A t

будем находить согласно преобразованию подобия

e At TeJ tT 1,

где матрицу e J t будем определять по собственным значениям матрицы

А и виду матрицы J из таблицы.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Вид матрицы eJt легко получается непосредственной подстановкой в формулу

	e Jt E	Jt	(Jt)2	...		(Jt)k	...
3.
	1!		2!			k !

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Кроме того,			матрица		e A t может быть найдена по
формулам

а) для случая различных собственных значений (действительных или комплексных)

				A 2 E			A 1E
4. e	At	e	1t	A 2 E	e	2t	A 1E
4. e		e		1 2	e		2 1	;
				1 2			2 1
б) для случая одинаковых собственных значений 1 2									0

			eAt e 0t E t A E ,
			0
	1	0
где E			.
	0	1
	0	1

Таблица. Определение вида матрицы e J t

Характер собственных	eJt
J	eJt
значений

				0				1t			0
			1			e					0
	1	2	0					0	e		2t
			0	2				0	e
				1			0t				0t
			0			e			t e
1	2	0	0							0t
1	2	0		0			0		e
				0			0		e

1,2	i				e t	cos t			e t sin t
										t
					t	sin t				t		cos t
	0				e	sin t			e			cos t

Исходя из вышеизложенного, алгоритм нахождения решения можно разделить на несколько шагов. Рассмотрим это на примере.

ПРИМЕР. Найти решение системы


	dx1	3x		2x		2
		3x		2x
	dt		1
	dt
	dx2	4x		3x		2
		4x		3x
	dt		1
	dt
	x (0)				0
	x (0)				x1
X 0	1				x1
X 0							.
	x2		(0)		x20

	3	2
Шаг 1. Запишем матрицу системы A			.
	4	3
	4	3

Найдем след и определитель матрицы системы:

		27
Sp A 3 3 0 , DetA		2	9 8 1 0.
Sp A 3 3 0 , DetA	3	2	9 8 1 0.
	4	3

Отрицательное значение определителя Det A < 0 свидетельствует о том,

что неподвижная точка x1 x2 0 является неустойчивым положением равновесия, а фазовый портрет является «седлом».

Шаг 2. Запишем характеристическое уравнение матрицы А и найдем собственные значения матрицы А

1 1;

1 - действительные и различные.

Шаг 3.

По

виду собственных значений 1,

согласно

таблице

выбираем матрицу

Шаг 4. Найдем матрицу перехода Т, решая матричное уравнение

J T 1AT

TJ AT .

Обозначаем

. Т огдаполучаем

b 1

2 a

3 c

3a 2c

3b 2d

4b 3d

Приравнивая элементы матрицы,

стоящие

на

одинаковых

местах,

получаем систему уравнений:

	28
3a 2c a;	3b 2d b;
4a 3c c;	4b 3d d,

которая имеет множество решений, удовлетворяющих соотношениям a c

2b d .

Выбирая простейшее из этих решений, получаем матрицу перехода

															1			1
													T								.
																		2
															1			2
Шаг 5. Находим обратную матрицу T 1 :
					1				1			t			t								2	1
DetT 1;				T									22			12
DetT 1;				T									22			12
								DetT							t11										.
								DetT			t21				t11								1 1
	Шаг 6. Проверяем правильность нахождения																								Т и T 1 подстановкой в
выражение
1				2			1 3					2 1 1											1	0
1
T AT
T AT					1 1							3													J .
					1 1				4			3		1 2									0	1
Шаг 7. По виду матрицы J выберем матрицу eJt по таблице.
													eJt				t				0
													eJt		e						0
																0			e			t
																0			e
и находим матрицу e A t :
										1			1		t									2	1
		At			Jt		1			1			1		t				0					2	1
		At			Jt		1							e					0
e			Te			T
e			Te			T													t
										1			2						t					1	1
										1			2		0			e						1	1
															0			e
			e t				2 1																	et e t
et			e t				2 1						2et e t											et e t
t				t										t						t				t		t .
t			2e	t			1 1							t		2e				t				t	2e	t .
e			2e				1 1							2e		2e								e	2e

Шаг 8. Запишем решение системы

X 0

x 0

(2et e t ) x

( et e t )

0 (2et 2e t ) x

( et 2e t )

	Эта запись удобна тем, что позволяет сразу находить решение системы
6.	x	0

	1	0	X 0 .
	при любых начальных условиях
	x2

1.Решите однородные системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка различными методами

а) с использованием матричной экспоненты X eAt X 0

б) операторным методом. Начальные условия заданы в момент

t 0, X		x(0)		x
t 0, X	0	X (0)	0
	0
		y(0)		y0

x 2x y

1)y x 2 y

x x 2 y

4)y x y

x x y

2)y 2x 2 y

x 2x 3y

5)y 3x 2 y

x 3x y

3)y x y

2.Решите неоднородные системы, используя метод матричной экспоненты:

X (t) eAt X 0 eAt e A F ( )d

ПРИМЕР. Найдем решение системы дифференциальных уравнений


	dx1		2x 9x				2	e5t
			2x 9x					e5t
	dt				1
	dt									.
		dx2								.
		dx2			x	8x			2
					x	8x
			dt		1
			dt
				1							2	9				5t
	0			1											e
при начальных условиях X	0				и матрицах					A			;	F (t)
при начальных условиях X					и матрицах					A	1	8	;	F (t)
				0							1	8				0

прежде всего находим собственные значения матрицы					A :	1 2			0	5;
	3		4		T	1	1 4
матрицу перехода	T			и обратную матрицу
		1	1					1	3	.

Тогда матричная экспонента имеет вид

e At TeJtT 1	1 3t		9t
e At TeJtT 1	e5t			.
		t
		t	1 3t

Общее решение однородной системы:

1 3t

X 00 e

X 0

1 3t

Для нахождения X ч.н. найдем обратную матрицу e At заменой

t на t		в выражении для матричной экспоненты				e A t
		в выражении для матричной экспоненты				:
		At		5t 1 3t	9t
	e		e
	e		e		.
				t	1 3t

Затем преобразуем подынтегральное выражение

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Матика 2 курс

#
10.05.20152.24 Mб32Дифференциальные уравнения 2б.pdf
#
10.05.20151.59 Mб49Специальные главы математики 140410(ЭАб).pdf
#
10.05.201521.98 Кб21структура и содержание дисциплины.docx
#
10.05.20154.36 Mб56Фурье Лаплас.doc
#
10.05.2015266.24 Кб37ЭА спец глав матем практика.docx