Глоссарий

ЗНАКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ - знаки, служащие для запи­си математических понятий, предложений и выкладок.

Развитие З.м. было связано с общим развитием математики.

Первые З.м. для произвольных величин (площадей, объё­мов, углов) появились в Греции в V—IV .вв. до н. э. Создание современных алгебраических символов (З.м.) относится к XIV—XVII вв.

Современная математическая логика различает следующие основные группы З.м.: 1) знаки объектов, 2) знаки операций, 3) знаки отношений. К знакам объектов относятся знаки: 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9, служащие для обозначения чисел. К знакам опе­раций относятся знаки действий (сложение, вычитание и др.) К знакам отношений относятся знаки равенства, неравенства, параллельности .и т. д. Ниже (приведены некоторые 3. м., вводи­мые новыми программами.

ИНТЕГРАЛ — важнейшее понятие математического анализа (см. Неопределенный интеграл, Определенный интеграл).

ИНТЕРВАЛЫ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ - интервалы, в которых функция возрастает или убывает. Задача на отыска­ние И. м. ф. решается как элементарным способом с использова­нием определения возрастающей (убывающей) функции, так и с помощью производной.

КАСАТЕЛЬНАЯ К ПЛОСКОЙ КРИВОЙ в точке А — прямая АЕ, являющаяся пре­дельным положением секущей АВ, когда точка В неограни­ченно приближается к точке А. Если y=f(x) — уравнение кривой, точка А имеет координаты х₀ и уо, то уравнение касательной, прове­денной через А, имеет вид у = kх + b, где k = f' (х), b = у₀—f' (x0) • хо.

КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ— прямая, компланар­ная с окружностью и имеющая с ней одну общую точку (см. Касательная к кривой). К.к о. перпендикулярна к радиусу в конце его, лежащем на окружности. Верно и обратное утверждение.

КАТЕТ в прямоугольном треугольнике — каждая из сторон, заключающих прямой угол.

КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ— два ненулевых вектора, на­правления которых либо совпадают, либо противоположны .

Два вектора, один из которых нуль-вектор, также считается К. в. Два ненулевых вектора а и b

коллинеарные, если b = kа.

КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ (точки, прямые, фигуры) — векторы (точки, прямые, фигуры), лежащие в одной или в па­раллельных плоскостях.

КОНСТАНТА — то же, что постоянная величина.

КООРДИНАТНАЯ ПРЯМАЯ — прямая, на которой указаны начало отсчета, единица масштаба и направление. Начало от­счета делит К. п. на два луча. На правом луче изображаются положительные, а на левом - отрицательные действительные числа. (Ср. с термином Числовая прямая).

КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ — плоскость с введенными на ней координатами (Ср. с термином Числовая плоскость).

КООРДИНАТНЫЕ ОСИ (в декартовой системе координат):

1. К. о. на плоскости — две взаимно перпендикулярные пря­мые, проведенные на плоскости, с выбранным направлением и масштабом. Горизонтальная прямая наз. осью абсцисс, верти­кальная — осью ординат.

3. К. о. в пространстве -- три прямые, проходящие через на­чало координат так, что каждые две из них взаимно перпенди­кулярны. Прямая, перпендикулярная плоскости хОу, называет­ся осью аппликат.

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА а, начало которого ле­жит в начале координат на плоскости — координаты его конца и обозначается .

КООРДИНАТЫ ТОЧКИ — числа, определяющие положение точки на прямой, плоскости, в пространстве.

1. Координата точки на координатной прямой равна расстоя­нию этой точки от начала отсчета, выраженная в выбранных единицах масштаба.

2. Координатами точки М на плоскости наз. координаты про­екций этой точки на оси координат.

3. Координатами точки М в пространстве наз. координаты проекций этой точки на координатные оси и записывается М (х; у; z).

Существуют различные способы определения положения точ­ки, отсюда различные системы координат.

КОСИНУС — одна из тригонометрических функций угла а, которая обозначается соsа. Функция у = соsа для произволь­ного значения а.

КОСИНУСОВ ТЕОРЕМА — так называется теорема, выражаемая формулой а² = b² + с² — 2bс соs А, где а, b, с — длины сторон треугольника АВС, А — угол, противолежащий искомой стороне. Теорема применяется при решении косоугольных треугольни­ков. К. т. была найдена хорезмским математиком ал - Бируни (X—XI вв.).

КОСИНУСОИДА — график функции у = соs х в прямоуголь­ной системе координат, представляющий сплошную плоскую кривую, симметричную относительно оси ординат.

КОТАНГЕНС — одна из тригонометрических функций угла а, которая обозначается ctg а, являющаяся по величине обратной tg a, т.е. ctg a =1/tg a. Т.к. tg a = 1/ctg a. К. определяется и как отношение косинуса этого гла к его синусу, т.е. ctg a= cos a/ sin a, где a не равно пk.

Для прямоуголь­ного треугольника, где а<90°, К.— отношение прилежащего углу а катета к противолежаще­му катету. Функция у = сtg а определена для всех действи­тельных значений аргумента а, исключая точки разрыва а = пk, неограниченная, положи­тельная в интервалах пk<а<

п/2, отрицательная при – п.2 +пk<а<пk, равна ну­лю при а = п/2 (2k+ 1), периодическая с периодом п, име­ет ассимптоты х = пk, нечетная, т.к. ctg(—а) =—сtg a, убы­вающая во всех промежутках, на которых она определена, а по­тому не имеет ни максимума, ни минимума. В приведенных формулах везде k = 0, ± 1, ±2, •••. Термин котангенс введен в 1620 г. Э. Гунтером.

КРУГ — множество точек плоскости, каждая из которых на­ходится от некоторой точки О той же плоскости на расстоянии, не превосходящем R. Расстояние между точками А и В, принадлежащими кр. (О; R), меньше или равно 2R. За величину площади круга прини­мается общий предел, к которому стремятся площади правиль­ных вписанного в него и описанного около него многоуголь­ников при неограниченном увеличении числа их сторон.

ЛОГАРИФМ — математический термин, введенный в науку Джоном Непером. Логарифмом числа N>0 по данному поло­жительному основанию а не = 1 называется показатель степени х, в который нужно возвести основание а, чтобы получить число N. Для обозначения логарифма числа N по основанию а употреб­ляется символ log_аN, введенный в 1624 г. И. Кеплером. Т.о., по определению логарифма: , гдеа > 0, а не = 1 и N > 0.

ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ — действие, состоящее в нахожде­нии логарифма числа. Теоремы логарифмирования:

1) Если два числа при данном основании имеют один и тот же логарифм, то эти числа равны.

2) Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов сомножителей.

3) Логарифм частного положительных чисел равен разности-

логарифмов делимого и делителя

4) Логарифм степени положительного числа равен показате­лю степени, умноженному на логарифм ее основания

5) Логарифм корня из положительного числа равен логариф­му подкоренного числа, деленному на показатель корня.

6) Логарифмы числа N при основаниях а и b связаны соот­ношением,

наз. формулой перехода от логарифма по основанию b к логариф­му по основанию а .

ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО —неравенство, со­держащее переменную под знаком логарифма или в основании логарифма.

ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение, содер­жащее переменную под знаком логарифма или в основании логарифма. Некоторые приемы решения Л. у.:

1) Если все члены уравнения выражены через логарифмы, то такое уравнение решается непосредственным потенцированием.

2) Если не все члены уравнения находятся под знаком лога­рифма, то предварительно необходимо заменить числа равными им логарифмами.

3) Уравнение вида logx/log n = m решается предварительным

освобождением от дробей и последующим потенцированием: log x = т log п, откуда х = п^т.

4) Уравнения, содержащие переменную в показателе степени под знаком логарифма, наз. показательно-логарифмическими и решаются они логарифмированием.

5) Если уравнение содержит логарифмы разных оснований, то для решения его нужно все логарифмы привести к какому-либо одному основанию.

МАКСИМУМ ФУНКЦИИ. Функция у = f(х) имеет макси­мум в точке x=а, если для всех x, достаточно близких к а, т.е. в окрестности этой точки [а+е, а-е], принадлежащей области определения этой функции, выполняется неравенство f(а)>f(х). Точка х = а .наз. точкой М. ф. Графически М.ф. выражает вер­шину кривой, а точка М. ф. — границу перехода от возрастаний к убыванию функции.

МАТЕМАТИКА — наука, изучающая количественные отно­шения и пространственные формы предметов, явлений. Разли­чают элементарную, высшую и прикладную М.

Главнейшие периоды в истории математики (по Колмогоро­ву А. Н.):

1) Период зарождения математики. Начало периода теряет­ся в глубине истории, кончается VI—V вв. до н. э. Этот период характерен накоплением фактического материала математики как неразделенной еще науки.

2) Период элементарной математики. Этот период начина­ется с VI—V вв. до н. э., кончается XVI в. Он отличается боль­шими достижениями в изучении постоянных величин. Геометрия в трудах Евклида приобретает строгую логическую систему и из опытной становится научной, зарождается аналитическая гео­метрия и учение о бесконечно малых.

3) Период создания математики переменных величин. Этот период начинается в XVI—XVII вв. и кончается серединой XIX в. Он открывается трудами Декарта, внесшего переменные вели­чины в аналитическую геометрию, Ньютона и Лейбница, создав­ших дифференциальное и интегральное исчисления. В рассмат­риваемый период сложились почти все научные дисциплины, изучаемые в настоящее время в высшей школе.

4) Период современной математики. Он начался с середины XIX в. работами Н. И. Лобачевского, открывшего новую, неевклидову геометрию. В настоящее время появилось много новых математических теорий, расширилось приложение математики во всех областях деятельности человека.

МИНИМУМ ФУНКЦИИ. Функция y = f(x) имеет минимум в точке х = а, если для всех х, достаточно близких к а, т. е. в окрестности этой точки [a+е; a+е], принадлежащей области определения этой функции, выполняется неравенство f(а)<f(x).

Точка х = а наз. точкой М. ф. Графически М. ф. выражает вершину кривой, а точка М. ф. — границу перехода от убывания к возрастанию функции. М. ф. может быть как больше, так и меньше максимума.

НАТУРАЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМ—логарифм, в котором за основание взято трансцендентное число

е = lim ( 1 + 1/n)" = 2,718281828459045 ....

Н. л. числа х обозначается ln х, что соответствует log_еХ. Тер­мин Н.л. ввел Меркатор в 1668 г. Н.л. большое применение на­ходят в высшей математике.

НАЧАЛО КООРДИНАТ — точка, в которой пересекаются оси

координат.

НЕОГРАНИЧЕННАЯ ФУНКЦИЯ—см. Ограниченная функ­ция.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ — совокупность всех пер­вообразных функций F (х) + С для данной функции f (х) и обозначается где , где f(x)dx наз. подынтегральным выражением, С — постоянной интегрирования. Процесс нахождения первообразной функции по данному дифференциалу наз. интегрированием, а раздел мате­матического анализа, занимающийся интегрированием, наз. интегральным исчислением.

Интегрирование вводится как операция, обратная дифференцированию.

ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ — множество всех действительных значений аргумента х, при которых функция име­ет действительное значение: D(f). Для функции, заданной ана­литически, под О. о. ф. понимается множество допустимых зна­чений аргумента.

В О. о. ф. не входят те значения х, при которых:

а) знаменатель дробного выражения обращается в нуль.

б) подкоренное выражение корня четной степени принимает отрицательное значение.

в) выражение, стоящее под знаком логарифма, окажется от­рицательным числом или нулем.

г) основание логарифма окажется равным нулю или единице или меньше нуля.

д) выражение, стоящее под знаком арксинуса или арккоси­нуса, по модулю больше единицы.

ОБЪЕМ ТЕЛА. В основе теории измерения объемов тел ле­жит следующее допущение, которое может быть строго доказа­но. Допускаем, что каждому телу Р можно поставить в соответ­ствие положительное число V(F) так, что выполняются следую­щие условия:

1) конгруэнтным телам соответствуют равные числа;

2) если тело Р представляет соединение двух тел F1 и F₂, то ему соответствует число, равное сумме чисел, соответствующих

телам Fи F;

3) кубу, ребро которого принято за единицу длины, соответ­ствует число один (единичный куб).

Число, соответствующее телу Р при этих условиях, называется объемом V(Р).

Из условий 1 — 3 вытекают следующие cследствия:

4) Если тело F представляет соединение тел F1, F2, ... , Fn,

то V(F) = V(F1)+V(F₂) + … +V(Fn).

5) Если тело F представляет часть тела Ф, то V(F) <V(Ф).

6) Равносоставленные тела имеют равные объемы.

Тела, имеющие равные объемы, называются равновеликими; след., можно сказать, что равное оставленные тела равновелики. Обратное предложение, вообще говоря, не имеет места.

ОБЪЕМ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ, образованного вращением вок­руг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у =f(х), прямыми х = а и х = b (а < b) и осью Ох,

находится по формуле .

ОКРУЖНОСТЬ — множество всех точек плоскости, равно­удаленных на расстоянии r от заданной точки О той же плоско­сти, называемой центром окружности, и обозначается так: окр. (О; г). Коротко: Всякая точка х е Окр. (О; r) <=> \0х\=r. Отрезок, равный расстоянию любой точки О. до центра, наз. радиусом « обозначается R или r. Отрезок, соединяющий две точки О., наз. хордой; хорда, проходящая через центр,— диаметром и обозначается буквой d. (см. Длина окружности). Уравнение О. с центром в точке (а; b) имеет вид (x — a)²+ (у — b)² = r², а в точке (О; О) х² + y² = r².

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ— математическое понятие, связанное с вычислением площади под графиком непрерывной функции у=f(x )(криволинейной трапеции ), как пре­дела площадей некоторой последовательности прямолинейных фигур. - формула Ньютона – Лейбница.

ОРДИНАТА ТОЧКИ М — координата проекции точки М в декартовой системе координат на ось Оу.

ОРТ— единичный вектор. В прямоугольной системе координат О. обычно обозначают векторами i, j, k, направленными соответственно по осям Ох, Оу, Оz.

ОРТОГОНАЛЬНЫЙ — перпендикулярный, прямоугольный.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ — неопределяемые понятия: точка, прямая, плоскость, расстояние. О. п. г.— началь­ные понятия, с введения которых начинается математическая наука. Между О. п. г. существуют взаимосвязи. Аксиомы устанавливают связи между О. п. г. (см. Определение математического понятия).

ОСТРЫЙ УГОЛ — угол, меньший своего смежного; О. у. меньше прямого угла.

ОСЬ АБСЦИСС — неограниченная прямая ox, на которой в декартовой системе координат откладываются значения аргумента.

ОСЬ АППЛИКАТ — одна из осей z'z декартовых координат в пространстве, перпендикулярная плоскости хОу.

ОСЬ ОРДИНАТ — неограниченная прямая oy, на которой в декартовой системе координат откладываются значения функции у=f(х).

ОСЬ СИММЕТРИИ — неподвижная прямая j, относительно которой каждой точке А плоскости (пространства) соответствует точка А', лежащая на прямой АА', перпендикулярной j так, что |ОА| = |ОА'|, где О — точка пересечения прямой АА' с пря­мой j. Если фигура F при преобразовании осевой симметрии пре­образуется сама в себя, то прямая l наз. О. с. данной фигуры Р. О. с. — то же, что ось отражения. Прямая j наз. О. с. порядка п для данной фигуры, если она самосовмещается при повороте около прямой j на (360/n)градусов.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. Две прямые а и b, лежащие в одной плоскости, наз. параллельными, если они не имеют общих точек или совпадают и обозначается а||b. Кратко: а||b <=>(а = b или аb = 0}. Знак || ввел в 1677 г. Оутред, термин «параллельный» — Евклид. Параллельность пря­мых обладает свойствами рефлективности, симметричности и транзитивности.

Признаки П. п.: 1) Две прямые, перпендикулярные к одной и той же прямой, параллельны.

2) Цен­трально симметричные прямые параллельны. 3) Две прямые, пе­ресеченные третьей, параллельны, если: а) соответственные углы конгруэнтны; б) внутренние (внешние) накрест

лежащие углы конгруэнтны.; в) сумма величин внутренних (внешних) односто­ронних углов равна 2 и.

ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ. Функция F(х) наз. первообразной для функции f (х) на некотором промежутке, если

F' (х) = f (х) для всех х, принадлежащих этому промежутку.

ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА — величина, которая в условии данного рассматриваемого процесса принимает различные зна­чения. Переменная величина считается заданной, если указано множество значений, которые она может принимать. Это множество различных значений переменной наз. областью изменения той переменной. Обозначение переменных буквами х, у, z, ... ввел в 1637 г. Декарт.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ. Две плоскости a и В наз. взаимно перпендикулярными, если они при пересече­нии образуют конгруэнтные смежные углы. Признак П. п.: если плоскость (а) проходит через прямую (а), перпендикулярную другой плоскости (в), то эти плоскости взаимно перпендикуляр­ны.

ПЛАНИМЕТРИЯ — часть геометрии, изучающая свойства плоских фигур. 'Впервые курс планиметрии изложил Евклид в своих «Началах».

ПЛОСКАЯ КРИВАЯ — кривая, все точки которой лежат в ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ.

ПЛОСКАЯ ФИГУРА — фигура, все точки которой лежат в одной плоскости. Плоские фигуры подразделяются на выпуклые и невыпуклые, открытые и замкнутые, ограниченные и неограниченные, правильные и неправильные.

ПЛОСКОСТЬ — одно из первичных понятий в математике Представление о П. дает гладь поверхности воды, зеркала и др.;

Свойства П.: 1) Всякая .прямая, соединяющая две точки П.^ лежит на ней целиком. 2) Если две П. имеют общую точку] то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку! 3) Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно про? вести П. и притом только одну. Отсюда следует, что прямая и точка вне ее «ли две пересекающиеся прямые или две параллельные прямые определяют П., притом только одну.

Общее уравнение П. относительно ее координат: '

Ах + Еу + О + В == 0. ;

На рисунке П. изображается в виде куска с «оборванными ,краями», чаще в виде параллелограмма.

ПЛОЩАДЬ КРУГА. За величину П. к. принимается общий" предел, к которому стремятся площади правильного вписанного и описанного многоугольников, когда число их сторон неограниченно возрастает. П. к. 5 = яК² = — яВ² = — СК, где С — дли на окружности.

ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ— поверхность, образуемая вращением плоской линии вокруг компланарной с ней оси П. т. в. можно найти путем приближения ее вписанными (описанными) многогранными поверхностями. Например, за пло­щадь боковой поверхности цилиндра принимается общий предел, iv которому стремятся площади боковой поверхности вписанной (описанной) n-угольной правильной призмы при nбесконечность. П. т. в. находится и как производная от объема тела вращений по радиусу вращения в точке х,

ПОВОРОТ—такое перемещение точек плоскости, при кото­ром центр поворота точка О отображается сама на себя (остается неподвижной), а каждая другая ее точка А, сделав П. около центра О по дуге окружности в одном и том же направ­лении на один и тот же угол а (угол поворота), лежащий в пре-'им1ах--180°< а< 180°, переходит в точку А' и записывает­ся А'=К₀« (А). Поворот на 0° — тождественное преобразова­ние плоскости и обозначается Е(А) = А. П. по ходу часовой стрелки наз. отрицательным, а против хода часовой стрелки — положительным. П. задается указанием его центра и угла пово­рота а, лежащего в пределах— 180°< а ^ 180°, либо его цент­ром и парой точек А и А' не= А. Аналогично определяется П. во­круг прямой / в пространстве (см. Центр вращения, Ось враще­ния).

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ— функция вида у = а^х, где

а>0 и а не = 1, обратная логарифмической функции у = log_ах. П. ф. у = е^х, где е~ 2,718... , наз. экспонентой.

ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ НЕРАВЕНСТВО — неравенство, содер­жащее переменную под знаком показательной функции. П. н.— неалгебраическое неравенство. При решении П.«. используют свойства функций, входящих в неравенство.

ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение, в котором переменная входит в показатель степени. Общего приема реше­ния П. у. не существует. Приведем способы решения некоторых

1ШДОЗ П. V.

1) Способ приравнивания показателей. Он основан на свой­стве равных степеней: если а^т = а", а ^ 0, а =^- ± 1, то т = п,

ПОЛУПЛОСКОСТЬ. Фигура, составленная из прямой а и одной из двух открытых полуплоскостей, наз. полуплоскостью с границей а. Свойства П. с границей а: 1) две различные точки, лежащие в разных открытых полуплоскостях, разделены пря­мой а; 2) если эти точки лежат в одной и той же открытой полу­плоскости, то они не разделены прямой а.

ПОЛУПРОСТРАНСТВО — фигура, состоящая из плоскости а и одного из двух полупространств с границей а. Свойства П. аналогичны свойствам полуплоскости (см.)

ПОЛУПРЯМАЯ — луч (см.).

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — важнейшее понятие математи­ки. П. можно составить из элементов любой природы (чисел, фи­гур, функций). 'Числовой П. наз. функция натурального аргумен­та (числа). П., имеющая конечное число членов, наз. конечной, а П., состоящая из бесконечного числа членов, наз. бесконечной. Например, П. всех натуральных чисел бесконечна, а П. всех двузначных чисел конечна (см. Бесконечная числовая последо­вательность, Ограниченная числовая последовательность, Пре­дел числовой последовательности).

ПРИРАЩЕНИЕ АРГУМЕНТА. Если от значения аргумента х1 переходим ,к значению х1, то разность х₂ — х1 наз. прираще­нием аргумента и обозначается х₂ — х1 = х.Геометрически приращение аргумента изображается приращением абсциссы точки кривой. Знак х ввел Эйлер.

ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ. Если при значении аргумента XI.значение функции равно y1=f(x1), а при значении аргумента x2 значение функции у2 = f(х2), то разность y₂ — y1 =f(х2) — f(x₁) = f (x + A х)—f(х)=Aу .называется приращением функции. Геометрически приращение функции изображается приращением ординаты точки кривой. Знак у ввел Эйлер.

ПРОИЗВОДНАЯ функции у= f(х) по аргументу х есть пре­дел отношения приращения функции y к приращению аргу­мента x, когда x0 .

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ (ПРЯМАЯ)—основное понятие в евкли­довой геометрии. Представление о прямой дает нам туго натя­нутая нить. Свойства П.л.: 1. Через одну точку можно провес­ти бесчисленное множество прямых, т. е. пучок прямых. 2. Через две точки можно провести только одну прямую. 3. Прямая неограничена. 4. Две прямые пересеваются в одной точке.

ПРЯМОЙ УГОЛ — угол, равный своему смежному. П.у. со­держит 90° или п/2 радианов. П. у. обозначается буквой (от фр. слова droit — прямой). П. у. употребляется в качестве еди­ницы измерения углов.

РАДИУС-ВЕКТОР точки М плоскости (пространства)—на­правленный отрезок, начало которого совпадает с началом пря­моугольной системы координат, а коней — с точкой (М, обознача­ется ОМ или М.

СИММЕТРИЯ — свойство фигуры. 1. С. на плоскости относи­тельно прямой (оси) наз. такое расположение точек, при кото­ром (каждые две точки лежат: 1) по разные стороны от осп; 2) на одном перпендикуляре к оси; 3) на равном расстоянии от нее. Две фигуры Р и Р' наз. симметричными относительно пря­мой, если каждой точке А фигуры Р однозначно соответствует симметричная точка А' фигуры Р' и наоборот.

2. -С. на плоскости относительно точки (центра) наз. такое расположение точек, при котором каждые две точки, лежащие на одной 'прямой, проходящей через эту точку, находятся на одина­ковом расстоянии от нее. Две фигуры Р и Р' наз. симметричны­ми относительно точки (центра), если каждой точке А фигуры Р однозначно (соответствует точка А' фигуры Р', симметричная от­носительно этой же точки, и наоборот.

3. С. в пространстве относительно плоскости а наз. таксе рас­положение точек, при .котором каждые две точки А и А', лежа­щие на одной прямой АА', перпендикулярной к плоскости а, на­ходятся на одинаковом расстоянии от нее.

4. С. в пространстве относительно прямой / наз. такое распо­ложение 'точек, при котором каждые две точки А и А', лежащие на прямой АА', перпендикулярной к прямой /, находятся на рав­ном расстоянии от нес.

Учение о С. применяется в науке, технике, производстве. Впервые учение о С. ввел Лежандр. Термин С. употребляется и как вид перемещения (см.).

СИНУС — одна из тригонометрических функций угла а, которая обозначается sin а.

СИНУСОВ ТЕОРЕМА — теорема, устанавливающая зависи­мость между сторонами треугольника ,и синусами противолежа­щих углов.

Читается: в треугольнике стороны про­порциональны синусам противолежащих углов. Эта теорема была найдена Брахмагуптой и впервые доказана Нагарэддином Туе и. Европейские математики ею пользовались, начиная с XVI в.

СИНУСОИДА — график функций у =sin х в прямоугольной системе координат, представляющий сплошную плоскую кривую, симметричную относительно начала координат, пере­cекающую ось абсцисс в точках х = пk, где k = 0; ±1; ± 2; . . . причем |sin x| <=1, имеющую максимум, равный + 1 в точках х = п/2 (4k+1), и минимум, равный — 1, в точках х = п/2 (4k-1).

Прямая у = х — касательная к С. в точке (0; 0).

Скаляр- величин, определяемая только числовым значением, например: длина, площадь, объём, масса и др.

СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ - две прямые, через которые нельзя провести плоскость. С. п. не параллельны и не пересекаются. Углом между двумя скрещивающимися, прямыми наз. острый угол .между параллельными им прямыми, проходя­щими через произвольную точку. За расстояние между скрещивающимися прямыми принимается расстояние между парал­лельными плоскостями, в которых лежат скрещивающиеся пря­мые.

СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ—функция, промежуточный аргумент которой ;в свою очередь является функцией от нового аргумента: у = F[f(x)].

ТАНГЕНС — одна из тригонометрических функций угла а, которая обозначается tg а. Функция у = tg a для произвольного значения а определяется так: построим две взаимно перпендику­лярные прямые х,х и у'у и из точки пересечения их опишем ок­ружность радиуса г = 1.

В прямоугольном треуголь­нике, где а < 90°, тангенс уг­ла а определяется как отношение противолежащего этому уг­лу катета к прилежащему.

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ — геометрические тела, образуемые вра­щением плоских фигур вокруг оси, расположенной в плоскости вращаемой фигуры.

ТЕОРЕМА — всякое математическое предложение (кроме акcиомы и определения), истинность которого устанавливается пу­тем доказательства. В ранний период изучения геометрии Т. в большинстве случаев формулируются (в виде условного предло­жения с использованием слов «если» и «то».

В Т. различают две части: 1) условие, в нем говорится о том, что дано теоремой; 2) заключение, в нем говорится о том, что требуется доказать. Если в данной Т. условие заменить заключе­нием, а заключение — условием, то получится новая Т., обратная данной (прямой). Такие две Т. наз. взаимно обратными. Взаим­но обратные Т. либо обе верны, либо обе неверны, либо одна верна, а другая нет)

ТОЧКА — одно из первичных отвлеченных понятий геомет­рии. Т.— граница смежных частей линии. Движение Т. образует линию. Т. не имеет никакого измерения.

ТОЧКА РАЗРЫВА — см. Непрерывная функция.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ —уравнение, со­держащее переменную под знаком тригонометрических функций. Т. у.— трансцендентное уравнение. Те значения переменной, ко­торые удовлетворяют уравнению, наз. корнями Т. у. Решение простейших Т. у.:

1. sin x = т, х = (— 1)^к • arcsin т, где | m | < 1.

2. соs х = т, х = 2Пк ± агссоs т, где \т\ <1.

3. tg x = т, х = arctg т, где т — любое действительное

число.

4.ctg x = т, х =arcctgm, где m— любое действитель­ное число.

Решение любого Т. у. сводится к решению простейших Т. у. Единого метода решения Т. у. не существует.

При решении Т.у. следует избегать преобразований, влеку­щих к потере корней или приобретению посторонних корней. В необходимых случаях нужно контролировать принадлежность корней ОДЗ уравнения, выполнять проверку пригодности .кор­ней.

ТРИГОНОМЕТРИЯ — раздел математики, изучающий три­гонометрические функции, их свойства и применение их к реше­нию задач. Т. различают плоскую (прямолинейную), занимаю­щуюся решением плоских треугольников, и сферическую, кото­рая занимается решением сферических треугольников.

Раньше Т. ^:была частью астрономии. Позже она отделилась в самостоятельную науку. Отделение Т. от астрономии принад­лежит ат-Тусси. Современный вид Т. получила в трудах Эйлера.

ТУПОЙ УГОЛ — угол, больший своего смежного. Т. у. боль­ше прямого, но меньше развернутого угла.

ТУПОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК — треугольник, у кото­рого один угол тупой.

УБЫВАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ —см. Возрастающая функция.

УГЛЫ СО ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ СТОРО­НАМИ — два угла, соответственные стороны которых взаимно перпендикулярны. У. с. в. п. с. конгруэнтны, если оба острые или оба тупые и в сумме составляют 2 Л, если один острый, а другой тупой.

УГОЛ (ПЛОСКИЙ) — фигура, образованная двумя различ­ными лучами с общим началом вместе с одной из двух частей плоскости, на которые эти лучи разбивают ее.

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ а —острый угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость а. Такой угол — наименьший из всех углов, которые наклонная составля­ет с любой прямой плоскости.

УМНОЖЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ может быть скалярным и векторным. Скалярное У. д. в. дает число, векторное — вектор.

ФУНКЦИЯ- Эйлер определил Ф. как аналитическое выраже­ние, содержащее переменную и число. Лобачевский в 1834 г. и .Дирихле в 1837 г. дали более широкое определение числовых функций: переменную у наз. Ф. переменной х на отрезке [а;Ь], если каждому элементу х этого отрезка соответствует одно определенное значение у. Величину у также называют зависимой пе­ременной, а величину х — независимой переменной или аргумен­том.

ЦЕНТР СИММЕТРИИ — такая неподвижная точка О, что для любой точки А плоскости имеется точка А', лежащая на

прямой АА' так, что |ОА| = |ОА'|. Если фигура Р при пре­образовании центральной симметрии относительно центра О преобразуется сама в себя, то точка О наз. Ц. с. фигуры Р.

ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ — поверхность, называемая образующей цилиндра, которая, оставаясь параллельной заданному направлению, скользит по заданной (направля­ющей) кривой. Если направляющей будет окружность, то Ц. п, будет называться круговой.

ЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ. Функция y= f(x) наз. четной, если область ее определения симметрична относительно оси ординат

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК — часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной, состоящей из четырех звеньев . Ч. бывает выпуклым и невыпуклым. К Ч. относятся: квад­рат, ромб, прямоугольник, па­раллелограмм, трапеция, ром­боид (дельтоид) и Ч. общего вида.

ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ — множество К действительных чи­сел. Соответствие между множеством К действительных чисел и точкой Ч. п. взаимно однозначно. Ч. п. одна, координатных прямых много.

ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ТОЧКА ФУНКЦИИ —точка, в которой функция имеет экстремум, т. е. максимум 'или минимум.

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ у = f(х) —термин, объединяю­щий понятия максимума (см.) и минимума (см).