Контрольные вопросы

1. Перечислите этапы решения прикладных задач с использованием компьютеров?

2. Что такое компилятор?

3. Назовите стандартные типы данных.

4. Сколько арифметических операций существует в Паскале?

5. Чему равно значение выражения 5 div 2, а 5 mod 2?

6. Что такое арифметическое выражение, логическое выражение?

7. Как выглядит структура программы на языке Паскаль?

8. Какие операторы используются для описания линейной структуры?

9. Какие операторы используются для описания разветвляющейся структуры?

10. Какие операторы используются для описания циклической структуры?

Лекция8. Моделирование и формализация

Процесс разработки моделей и их исследование на компью­тере можно разделить на несколько основных этапов.

На первом этапе исследования объекта или процесса обычно строится описательная информационная модель. Такая модель выделяет существенные, с точки зрения целей проводимого ис­следования, параметры объекта, а несущественными парамет­рами пренебрегает.

На втором этапе создается формализованная модель, то есть описательная информационная модель записывается с помощью какого-либо формального языка. В такой модели с помощью формул, уравнений, неравенств и так далее фиксируются формальные соотношения между начальными и конечными значениями свойств объектов, а также накладываются ограни­чения на допустимые значения этих свойств.

На третьем этапе необходимо формализованную информаци­онную модель преобразовать в компьютерную модель, то есть выразить ее на понятном для компьютера языке. Существуют два принципиально различных пути построения компьютерной модели:

• построение алгоритма решения задачи и его кодирование на одном из языков программирования;

• построение компьютерной модели с использованием одного из приложений (электронных таблиц, СУБД и так далее).

Четвертый этап исследования информационной модели со стоит в проведении компьютерного эксперимента. Если компьютерная модель существует в виде программы на одном из языков программирования, ее нужно запустить на выполнение и получить результаты.

Если компьютерная модель исследуется в приложении, например, в электронных таблицах, можно провести сортировку или поиск данных, построить диаграмму или график и так далее.

Пятый этап состоит в анализе полученных результатов и корректировке исследуемой модели. В случае различия резуль­татов, полученных при исследовании информационной модели, с измеряемыми параметрами реальных объектов, можно сделать вывод, что на предыдущих этапах построения модели были допущены ошибки или неточности.

8.1. Исследование математических моделей

Исследование математических моделей начинается с записи формальной модели на языке определенной области математи­ки: алгебры, геометрии и так далее.

Приближенное решение уравнений

На языке алгебры формальные модели записываются с по­мощью уравнений, точное решение которых основывается на поиске равносильных преобразований алгебраических выраже­ний, позволяющих выразить переменную величину с помощью формулы. Точные решения существуют только для некоторых Уравнений определенного вида (линейные, квадратные, триго­нометрические и др.), поэтому для большинства уравнений приходится использовать методы приближенного решения с за­данной точностью (графические, числовые и др.).

Графический метод. Построение графиков функций может использоваться для грубо приближенного решения уравнений. Для не имеющего точного алгебраического решения уравнения вида f₁(x) = f₂(x), где f₁(x), f₂(x) — некоторые непрерывные функции, корень (или корни) этого уравнения являются точкой (или точками) пересечения графиков этих функций.

Задача. Найти графическим методом корень уравнения

x³ = sin(x), которое не имеет точного алгебраического решения.

Формальная модель задана уравнением, для нахождения корня уравнения разработаем компьютерную модель построения графиков соответствующих функций в Microsoft Excel в одной плоскости.

Для этого заполним таблицу и используя мастер диаграмм построим точечный график.

Координаты х точек пересечения графиков и будут корнями данного уравнения: х₁ = -1, х₂ = 0, х₃ = 1.

Числовой метод половинного деления. Для решения уравне­ний с заданной точностью можно применить разработанные в вычислительной математике числовые итерационные методы решения уравнений. Если мы знаем отрезок, на котором суще­ствует корень, и функция на краях этого отрезка принимает значения разных знаков, то можно использовать метод поло­винного деления.

Идея метода состоит в выборе точности решения и сведении первоначального отрезка [А;В], на котором существует корень уравнения, к отрезку заданной точности. Процесс сводится к по­следовательному делению отрезков пополам точкой С = (А+В)/2 и отбрасыванию той половины отрезка ([А;С] или [С;В]), на кото­ром корня нет.

Выбор нужной половины отрезка основывается на проверке знаков значения функции на его краях. Выбирается та полови­на, на которой произведение значений функции на краях отри­цательно, то есть когда функция имеет разные знаки и пересе­кает ось абсцисс.

Процесс продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше удвоенной точности. Деление этого отрезка по­полам дает значение корня с заданной точностью х = (А+В)/2.

Для нахождения корня уравнения графики разработаем компьютерную модель на языке Turbo Pascal.

Из графика функции видно, что первый корень находится на отрезке [-1; -0,5], второй - на отрезке [-0,5; 0,5], а третий - на отрезке [0,5; 1].

Сначала введем значения концов первого отрезка, а также точность вычислений (например, 0,0001). Тогда выведется значение первого корня, вычисленного с заданной точностью, х₁=-0,9286.

После ввода значений концов второго отрезка будет выведено значение второго корня х₂=0.

После ввода значений концов третьего отрезка будет выведено значение третьего корня х₃=0,9286.