2.3. Арифметические операции в позиционных системах счисления

Арифметические операции в двоичной системе счисления. Арифметика двоичной системе счисления основывается на использовании таблиц сложения, вычитания и умножения цифр. Арифметические операнды располагаются в верхней строке и в первом столбце таблиц, а результаты на пересечении столбцов и строк:

+	0	1		-	0	1		*	0	1
0	0	1		0	0	11		0	0	0
1	1	10		1	1	0		1	0	1

Рассмотрим подробно каждую операцию.

Сложение. Таблица двоичного сложения достаточно проста. Только в одном случае, когда производится сложение 1+1, происходит перенос в старший разряд.

Например:

1001

1010

10011

Вычитание. При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и ставится соответствующий знак. В таблице вычитания 1 с чертой означает заем в старшем разряде.

Например:

10111001,1

10001101,1

00101100,0

Умножение. Операция умножения выполняется с использованием таблицы умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.

Например:

11001

1101

11001

11001

11001___

101000101

Как видно, умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям.

Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления.

Например:

101000101 _1101__

1101 11001

1110

1101

1101

1101

0

Арифметические операции в других системах счисления выполняются абсолютно аналогичным способом.

Контрольные вопросы

1. Почему человек использует десятичную систему счисления, а компьютер — двоичную?

2. Чем отличаются позиционные системы счисления от непозиционных?

3. Может ли в качестве цифры использоваться символ буквы?

4. Какое количество цифр используется в двоичной системе счисления?

5. Как перевести число из восьмеричной системы в десятичную?

6. Каков алгоритм перевода чисел из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную?

7. Как перевести десятичную дробь в двоичную систему счисления?

8. Каков алгоритм перевода произвольных чисел из двоичной системы в систему счисления с основанием 2n и обратно?

9. Как сложить числа в восьмеричной системе счисления?

Лекция3. Кодирование информации

3.1. Представление и кодирование информации

Язык как знаковая система. Для обмена информацией с другими людьми человек использует естественные языки (русский, английский, китайский и др.), то есть информация представляется с помощью естественных языков. В основе языка лежит алфавит, то есть набор символов (знаков), которые человек различает по их начертанию. В основе русского языка лежит кириллица, содержащая 33 знака, английский язык использует латиницу (26 знаков), китайский язык использует алфавит из десятков тысяч знаков (иероглифов).

Последовательности символов алфавита в соответствии с правилами грамматики образуют основные объекты языка — слова. Правила, согласно которым образуются предложения из слов данного языка, называются синтаксисом. Необходимо отметить, что в естественных языках грамматика и синтаксис языка формулируются с помощью большого количества правил, из которых существуют исключения, так как такие правила складывались исторически.

Наряду с естественными языками были разработаны фор­мальные языки (системы счисления, язык алгебры, языки программирования и др.). Основное отличие формальных языков от естественных состоит в наличии строгих и грамматики и синтаксиса.

Например, системы счисления можно рассматривать как формальные языки, имеющие алфавит (цифры) и позволяющие не только именовать и записывать объекты (числа) и выполнять над ними арифметические операции по строго определенным правилам.

Некоторые языки используют в качестве знаков не буквы и цифры, а другие символы, например химические формулы, ноты, изображения элементов электрических или логических схем, дорожные знаки, точки и тире (код азбуки Морзе) и др.

Представление информации может осуществляться с помощью языков, которые являются знаковыми системами. Каждая знаковая система строится на основе определенного алфавита и правил выполнения операций над знаками.

Знаки могут иметь различную физическую пpиpoду. Например, для представления информации с использованием языка в письменной форме используются знаки, которые являются изображениями на бумаге или других носителях, в устной речи в качестве знаков языка используются различные звуки (фонемы), а при обработке текста на компьютере знаки представляются в форме последователь электрических импульсов (компьютерных кодов).

Представление информации в живых организмах. Человек воспринимает информацию об окружающем мире с помощью органов чувств (зрения, слуха, обоняния, осязания и вкуса). Чувствительные нервные окончания органов чувств (рецепторы) воспринимают воздействие (например, на глазном дне колбочки и палочки реагируют на воздействие световых лучей) и передают его нейронам (нервным клеткам), цепи которых составляют нервную систему.

Нейрон может находиться в одном из двух состояний: невозбужденном и возбужденном. Возбужденный нейрон генерирует электрический импульс, который передается по нервной системе.

Состояния нейрона (нет импульса, есть импульс) можно рассматривать как знаки некоторого алфавита нервной системы, с помощью которого происходит передача информации.

Генетическая информация во многом определяет строение и развитие живых организмов и передается по наследству.

Хранится генетическая информация в клетках организмов в структуре молекул ДНК (дезокси-рибонуклеиновой кислоты). Молекула ДНК состоит из двух скрученных друг с другом в спираль цепей, построенных из четырех нуклеотидов: A, G, Т и С, которые образуют генетический алфавит.

Молекула ДНК человека включает в себя около 3 миллиардов пар нуклеотидов и поэтому в ней закодирована вся информация об организме человека: его внешность, здоровье или предрасположенность к болезням, способности и пр.

В живых организмах информация передается и хранится с помощью объектов различной физической природы (состояния нейрона, нуклеотиды в молекуле ДНК), которые могут рассматриваться как знаки биологических алфавитов.

Кодирование информации. Представление информации происходит в различных формах в процессе восприятия окружающей среды живыми организмами и человеком, в процессах обмена информацией между человеком и человеком, человеком и компьютером, компьютером и компьютером и так далее. Преобразование информации из одной формы представления (знаковой системы) в другую называется кодированием.

Средством кодирования служит таблица соответствия знаковых систем, которая устанавливает взаимно однозначное соответствие между знаками или группами знаков двух различных знаковых систем.

В процессе обмена информацией часто приходится произво­дить операции кодирования и декодирования информации. При вводе знака алфавита в компьютер путем нажатия соот­ветствующей клавиши на клавиатуре происходит кодирование знака, то есть преобразование его в компьютерный код. При выводе знака на экран монитора или принтер происходит обратный процесс — декодирование, когда из компьютерного кода знак преобразуется в его графическое изображение.

Кодирование — это операция преобразования знаков или групп знаков одной знаковой системы в знаки или группы знаков другой знаковой системы.

Рассмотрим в качестве примера кодирования соответствие цифрового и штрихового кодов товара. Такие коды имеются на каждом товаре и позволяют полностью идентифицировать товар (страну и фирму производителя, тип товара и др.).

Знакам цифрового кода (цифрам) соответствуют группы знаков штрихового кода (узкие и широкие штрихи, а также размеры промежутков между ними). Для человека удобен цифровой код, а для автоматизированного учета — штриховой код, который считывается с помощью узкого светового луча и подвергается последующей обработке в компьютерных бухгалтерских системах учета.