5.2. Логические законы и правила преобразования логических выражений

Логические выражения называются равносильными, если их истинностные значения совпадают при любых значениях входящих в них логических переменных.

В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования логических выражений.

1. Закон двойного отрицания:

A = ⌐⌐A

2. Переместительный (коммутативный) закон:

• для логического сложения:

A v B = B v A;

• для логического умножения:

A & B = B & A.

3. Сочетательный (ассоциативный) закон:

• для логического сложения:

(A v B) v С = A v (B v С);

• для логического умножения:

(A & B) & С = A & (B & С).

4. Распределительный (дистрибутивный) закон:

• для логического сложения:

(A v B) & С = (A & С) v (B & С);

• для логического умножения:

(A & B) v С = (A v С) & (B v С).

5. Закон общей инверсии (законы де Моргана):

• для логического сложения:

⌐ (A v B) = ⌐A & ⌐B;

• для логического умножения:

⌐ (A & B) = ⌐ A v ⌐B.

6. Закон идемпотентности (равносильности):

• для логического сложения:

A v A = A;

• для логического умножения:

A & A = A.

7. Закон исключения констант:

• для логического сложения:

A v 1 = 1, A v 0 = A;

• для логического умножения:

A & 1 = A, A & 0 = 0.

8. Закон противоречия:

A & ⌐A = 0.

9. Закон исключения третьего:

A v ⌐A = 1.

10. Закон поглощения:

• для логического сложения:

A v (A & B) = A;

• для логического умножения:

A & (A v B) = A.

11. Закон исключения (склеивания):

• для логического сложения:

(A & B) v (⌐A & B) = B;

• для логического умножения:

(A v B) & (⌐A v B) = B.

12. Закон контрапозиции (правило перевертывания):

А ~ В = В ~ А.

Справедливость приведенных законов можно доказать табличным способом.

5.3. Логические основы компьютера

Дискретный преобразователь, который после обработки входных двоичных сигналов выдает на выходе сигнал, являющийся значением одной из логических операций, называется логическим элементом.

Базовым логическим элементом, реализующим логическое умножение является конъюнктор. Его условное обозначение (схема) выглядит следующим образом:

Базовым логическим элементом, реализующим логическое сложение является дизъюнктор. Его условное обозначение (схема) выглядит следующим образом:

Базовым логическим элементом, реализующим логическое отрицание является инвертор. Его условное обозначение (схема) выглядит следующим образом:

Устройства компьютера (сумматоры в процессоре, ячейки памяти в оперативной памяти и др.) строятся на основе базовых логических элементов.

Пример. По заданной логической функции:

F(A, B) = (⌐A & B) v (A & ⌐B)

построить логическую схему.

Построение необходимо начинать с логической операции, которая должна выполняться последней. В данном случае такой операцией является логическое сложение, следовательно, на выходе логической схемы должен быть дизъюнктор. На него сигналы подаются с двух конъюнкторов, на которые в свою очередь подаются один входной сигнал нормальный и один инвертированный.

Рассмотрим схему сложения двух n-разрядных двоичных чисел.

a_n … a_i … a₁ a₀

b_n … b_i … b₁ b₀

s_n+1 s_n … s_i … s₁ s₀

При сложении цифр i-го разряда складываются a_i и b_i, а также p_i-1 – перенос из i-1 разряда. Результатом будет s_i – сумма и p_i – перенос в старший разряд.

Таким образом, одноразрядный двоичный сумматор – это устройство с тремя входами и двумя выходами.

Триггер. Для хранения информации в оперативной памяти компьютера, а также во внутренних регистрах процессора используются триггеры. Триггер может находиться в одном из двух устойчивых состояний, что позволяет запоминать, хранить и считывать 1 бит информации.

Самый простой триггер – RS-триггер. Он состоит из двух логических элементов ИЛИ-НЕ, которые реализуют логическую функцию F₉ (смотри таблицу 5.1).

Входы и выходы элементов соединены кольцом: выход первого соединен со входом второго и выход второго – со входом первого.

Триггер имеет два входа S (от англ. set – установка) и R (от англ. reset – сброс) и два выхода Q (прямой) и ⌐Q (инверсный).

Логическая схема RS-триггера: