53fb59db0cf22f21c2f3100d

УПОРЯДНИКИ:

Відьмаченко А.П.

де – зміна кута повороту за проміжок часу t .

Кутове прискорення:

d

,

(1.13)

dt

v R,

(1.14)

де R – відстань від точки до осі обертання.

Тангенціальне прискорення аналогічно пов'язане з кутовим прискоренням: a R .

(1.15)

записана у вигляді:

a R 2 4 .

(1.8*)

рівномірному обертанні можна визначити період обертання:

T

2 .

(1.16)

шляху S кутовим переміщенням ,

швидкості v кутовою швидкістю , початкової швидкості vo

початковою кутовою швидкістю o , прискорення a – кутовим прискоренням :

t ,

(1.17)

ot

t 2

,

(1.18)

2

o

t .

(1.19)

dP

F ,

(1.20)

dt

або

ma F .

точки (тіла);

F F

– результуюча

(1.20*)

Тут P = m v – імпульс матеріальної

сила, яка діє на

n

i

i 1

матеріальну точку; m – маса матеріальної точки, a – прискорення.

Сила пружності:

F kx.

(1.21)

Тут k – коефіцієнт пружності (для пружини – жорсткість); x – абсолютна деформація.

Сила гравітаційної взаємодії:

m m

,

(1.22)

F G

1

2

r 2

де G – гравітаційна стала, m1, m2 – маси взаємодіючих тіл,

r – відстань

між тілами (тіла

розглядаються як матеріальні точки).

Сила тертя ковзання:

F kN ,

(1.23)

де k – коефіцієнт тертя, N – сила нормального тиску тіла на опору.

(1.24)

Закон збереження імпульсу:

Pi

const .

n

i 1

Для двох тіл (і =2):

m1v1 m2v2

m1u1 m2u2

(1.25)

у випадку пружного удару,

та

m1v1+m2v2 = (m1 +m2)u

(1.26)

у випадку не пружного удару; тут v1, v2 – швидкості тіл в початковий момент часу, u1 , u2 –

швидкості тих же тіл в момент часу, прийнятий за кінцевий.

Кінетична енергія тіла, яке рухається поступально:

T

mv2 або

T

p2 .

(1.27)

2

2m

Потенціальна енергія пружно деформованої пружини:

kx2 .

(1.28)

2

Тут k – жорсткість пружини, x – абсолютна деформація.

Потенціальна енергія гравітаційної взаємодії:

G

m1m2 ,

(1.29)

r

розглядаються як матеріальні точки.

Потенціальна енергія тіл в однорідному полі тяжіння: mgh,

(1.30)

прийнятим за нульовий за умови, що h << R (R – радіус Землі).

Закон збереження механічної енергії: Е = Т + П = const.

(1.31)

Робота А, що здійснюється постійною силою F: A = F r = F r cos ,

(1.32)

де r – переміщення, – кут між напрямками векторів сили F і переміщення r.

Миттєва потужність сили F: P

dA

Fv cos ,

(1.34)

dt

швидкості.

Середня потужність:

P

A .

(1.35)

t

Основне рівняння динаміки обертового руху відносно нерухомої осі z :

M z = J ,

(1.36)

де М z –

результуючий момент зовнішніх сил, що діють на тіло, відносно осі z, J

– момент

інерції тіла відносно осі обертання z , – кутове прискорення.

Моменти інерції тіл правильної форми відносно осі обертання, що проходить через їхній центр

мас:

а) стрижня, довжиною l відносно осі, що перпендикулярна до стрижня j

1

m l 2 ;

(1.37)

12

б) обруча (тонкостінного циліндра) радіуса R відносно осі циліндра

J j = mR2;

(1.38)

в) кулі радіуса R

j

2

m R2 ;

(1.39)

5

г) диска (суцільного циліндра) радіуса R відносно осі циліндра

j

1

m R2 ;

(1.40)

2

Теорема

Штейнера:

Момент інерції тіла відносно будь-якої осі обертання

дорівнює:

J =Jo + ma 2 ,

(1.41)

заданій осі, a – відстань між осями, m – маса тіла.

Кінетична енергія тіла, що обертається:

T

J 2 ,

(1.42)

2

де J – момент інерції тіла, – кутова швидкість.

Кінетична енергія тіла, що котиться по площині без ковзання:

T

mv2

J 2 ,

(1.43)

2

2

де перший член являє собою енергію поступального руху, другий – обертового.

Робота А постійного моменту сили М, який діє на тіло, що обертається:

A = M .

(1.44)

V

d x

x o Acos( ot ),

(1.47)

dt

a

dV

d 2 x

x 2 A sin(

).

(1.48)

o

dt

dt2

o

Гармонічний коливальний рух виникає під дією квазіпружної сили F –

сили, величина якої

F = – kx ,

(1.49)

де k – коефіцієнт пропорційності (пружна стала).

Згідно з другим законом Ньютона рух частинки під дією квазіпружної сили описується

рівнянням: ma = – kx або

mx kx 0.

Поділивши обидві частини рівняння на m і позначивши k/m = o

2, одержимо диференціальне

рівняння гармонічних коливань у загальній формі:

x 2 x 0.

(1.50)

0

Вираз (1.45) є загальним розв'язком рівняння (1.50) при довільних А і ,

якщо

o

k .

(1.51)

m

Прикладом коливань під дією квазіпружної сили є коливання математичного маятника. Колова

частота і період коливань математичного маятника:

g

;

(1.52)

o

T 2

l ,

l

g

де g – прискорення вільного падіння, l – довжина математичного маятника.

Кінетична

енергія

матеріальної

точки,

яка

здійснює

гармонічні

коливання:

W

mv2

m 2

A2 cos2 ( t ).

k

2

2

Потенціальна енергія:

W

kx2

m 2

A2 sin2 ( t ).

n

2

2

Повна енергія гармонічних коливань:

W W W

m

2

A2

.

(1.53)

k n

2

7

або в загальній формі:

x 2 x 2 x 0,

(1.54)

0

а його розв’язком буде:

x = A e– tsin ( t + )

(1.55)

або

x = A e– tcos ( t + ),

А – амплітуда коливань у початковий момент часу t = 0,

-

r – коефіцієнт згасання,

2m

Величина

ln

A( t )

T

(1.56)

A( t T )

Вимушені коливання відбуваються під дією періодичної сили F, причому

F = Fo s in .

(1.57)

Коливання

матеріальної точки в такому випадку описуються рівнянням

руху:

mx rx kx F

sin t .

(1.58)

0

Вимушені коливання точки відбуватимуться за законом:

x = A sin ( t

+ ),

(1.59)

де амплітуда А і фаза вимушених коливань визначаються співвідношеннями:

A

Fo

;

(1.60)

m ( o2 2 ) 4 2 2

2 2 2 .

(1.61)

o

1.3.4. Пружні хвилі

Рівняння плоскої біжучої хвилі:

y A sin ( t

x

),

(1.62)

V

рівноваги; V – швидкість поширення коливань у середовищі.

Або, врахувавши, що довжина хвилі

= VT,

(1.63)

а хвильове число

2

2

,

(1.64)

k

V

VT

Співвідношення (1.62) можна записати у вигляді:

y= A sin ( t – k x ).

(1.62*)

Різниця фаз коливань двох точок, що лежать на промені на відстані x1 і x2 від джерела коливань

2 ( x1 x2 ) .

(1.65)

1.4. Приклади розв'язування задач (задачі 1-13)

Задача 1.

Рівняння руху матеріальної

точки вздовж осі

має вигляд x =А + Bt + Ct3, де А = 2

м, В = 1 м/с, С = – 0,5 м/с3 . Знайти координату x, швидкість vx

і прискорення a точки в момент часу t

= 2 с.

8

Дано:

Розв'язання

х=А + Bt +

Координату x знайдемо, підставивши в рівняння руху числові значення

Ct3

А = 2 м

коефіцієнтів А, В, С і часу t:

x = (2+1 2–0,50 8) м = 0.

Миттєва швидкість відносно осі x – це перша похідна від координати по

В = 1 м/с

часу:

С = – 0,5

м/с3

vx

dx

B 3Ct 2 .

dt

x, vx, a –?

Прискорення точки знайдемо, взявши першу похідну від швидкості по

часу:

a

x

dvx

6Ct.

dt

В момент часу t = 2 с:

v = (1 – 3 0,5 22) м/с;

a = 6(–0,5) 2 м/с2= – 6 м/с2 .

Дано:

Розв’язання

h0= 300 м

1) Якщо вертоліт нерухомий, то відстань по вертикалі, яку проходить вантаж

v0 = 5 м/с

при вільному падінні h

gt 2

. Звідси час падіння вантажу на землю

–––––––––

t – ?

2

.

t

2h0

2 300

7,8 c

1

g

9,8

2) Якщо вертоліт опускається зі швидкістю v0, то і вантаж опускається разом з вертольотом

зі швидкістю v0. Рівняння руху вантажу:

h v t gt 2 .

(1)

0

2

Коли вантаж досягне землі, h = h0,

t = t2.

Звідси:

v

v2

2gh ;

.

2

2v0

2h0

5

25 2 9,8 300

t

t

0;

t

0

0

0

t

2

( 0,5

7,8 )c

2

2

2

9,8

g

g

g

2

gt3

,

v0

2

2gh0

5

25 2 9,8 300

.

h0 v0t3

t

3

v0

( 0,5 7,8 )c

2

g

9,8

Дано:

Розв’язання

l

Потенціальна енергія стрижня, відведеного на кут , дорівнює П= mgh, де mg – вага

__

стрижня, а h – висота підняття його центра мас (вона дорівнює половині висоти підняття

– ?

кінця стрижня). Звідси

1

2 (l – довжина стрижня). Коли стрижень набуде

h

( l l cos ) l sin

2

2

вертикального положення, потенціальна енергія перейде в кінетичну W

J 2

,

де J

1

m l 2 .

2

3

Отже,

2

1

2

.Звідси знаходимо:

6g .

mgl sin

m l

sin

2

6

2

l

Дано:

Розв’язання

Застосуємо до системи маятник – куля закони збереження імпульсу та енергії. За

m = 20 г

законом збереження імпульсу для двох тіл, враховуючи, що удар маятника і кулі є

М = 5 кг

непружним, з формули (1.26) можна знайти спільне значення швидкості маятника і

l = 1 м

кулі після того, як у маятник влучила куля:

= 60о

u

mv .

v–?

m M

( M m )gh

( M m )u 2

;

u 2 .

2

h 2g

2( m M )

gl sin

2M

gl sin

v

2

2

.

m

m

Дано:

Розв’язання

т1

Після удару обидва тіла рухаються як єдине ціле зі спільною швидкістю u, яка

т2

згідно з (1.26) дорівнює

v2=0

m1v1

W/W1–?

u

m1 m2

Їхня кінетична енергія буде

W2

( m m )u2

m2v2 .

(1)

1

2

1

1

2

2( m1 m2 )

W1

m1v12 .

(2)

2