![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Інтегральне числення функцій однієї змінної (конспект лекцій)
- •Таблиця інтегралів
- •Заміна змінної в невизначеному інтегралі (метод підстановки)
- •4.Інтегрування частинами у невизначеному інтегралі
- •Інтегрування раціональних функцій
- •Інтегрування деяких ірраціональних функцій
- •7. Інтегрування деяких виразів, що містять тригонометричні функції
- •8. Використання таблиць інтегралів
- •9. Поняття про інтеграли, що не виражаються через елементарні функції
- •10. Приклади задач, що приводять до поняття визначеного інтеграла
- •2)Задача про шлях точки у прямолінійному русі.
- •11. Означення визначеного інтеграла
- •12. Основні властивості визначеного інтеграла
- •13. Інтеграл як функція верхньої межі. Формула Ньютона-Лейбніца
- •14. Метод заміни змінної у визначеному інтегралі
- •15. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •16. Загальна схема застосування визначеного інтеграла
- •17. Обчислення площі плоскої фігури
- •18. Обчислення довжини дуги
- •19. Обчислення об’єму тіла
- •20. Обчислення площі бічної поверхні тіла обертання
- •21. Обчислення роботи змінної сили
- •22. Обчислення сили тиску рідини на вертикальну пластину
- •23. Невластивий інтеграл по нескінченному проміжку
- •24. Ознаки збіжності невластивого інтеграла по нескінченному проміжку
- •25. Невластивий інтеграл від необмеженої функції
- •26. Ознаки збіжності невластивого інтеграла від необмеженої функції
- •27. Наближене обчислення визначених інтегралів
18. Обчислення довжини дуги
1) Обчислення довжини дуги графіка функції в декартових координатах
Н
Рис. 10, де функція
і її похідна
неперервні на відрізку
і потрібно обчислити довжину дуги
цієї лінії від точки
до точки
.
Оберемо довільно точку
і розглянемо частину дуги, яка відповідає
зміні аргументу
в межах від
до
(тобто дугу
, де
,
).
Довжина дуги
є очевидно функцією від
,
визначеною на
.
Позначимо її
.
Оскільки
,
а
- де
- довжина всієї дуги
,
то
.
Знайдемо
похідну
.
Надамо змінній
приріст
,
функція
отримає приріст
,
а відповідний приріст функції
- довжина малої дуги
,
де
,
а
.
За означенням довжиною дуги називається
границя, до якої прямує довжина ламаної,
вписаної в дугу, коли число ланок ламаної
необмежено зростає, а найбільша з довжин
ланок ламаної прямує до нуля. Звідси
випливає, що нескінченно мала дуга і
хорда, що її стягує, - еквівалентні
нескінченно малі, тобто
.
Таким чином
Отже
,
і шукана довжина дуги
дорівнює
.
Приклад.
Обчислити довжину дуги кривої
на відрізку
.
Знаходимо похідну:
.
Тоді
2)Обчислення довжини дуги лінії, заданої параметричними рівняннями.
Потрібно обчислити довжину дуги лінії
яка
відповідає зміні параметра
від
до
.
Функції
і
вважаємо неперервно диференційовними,
при чому
при
.
У формулі для довжини дуги виконаємо заміну змінної:
Отже
Приклад. Обчислити довжину однієї арки циклоїди
Знаходимо
похідні
,
.
Тоді
Обчислення довжини дуги лінії, заданої рівнянням у полярній системі координат.
Нехай
дуга задана рівнянням
на відрізку
.
Запровадимо декартову систему координат
з початком у полюсі і додатною піввіссю
вздовж полярної осі. У цій системі
координат рівняння заданої лінії
запишеться у вигляді (див. рис. 11):
Це –
параметричні рівняння, в яких параметром
є полярний кут
,
отже для обчислення довжини
заданої дуги можна застосувати формулу
Знаходимо
Рис. 11
Таким
чином довжина заданої дуги
Приклад.
Обчислити довжину дуги кардіоїди
при
.
Знаходимо
,
19. Обчислення об’єму тіла
Рис. 12перерізів цього тіла площинами,
перпендикулярними до деякої осі,
наприклад
.
Тоді
,
(див. рис. 12), де
- неперервна на відрізку
функція. Перетнемо тіло двома площинами,
які проходять через точки
та
,
перпендикулярно до осі
.
Частина об’єму тіла, що міститься між
цими площинами, з точністю до нескінченно
малих вищого порядку
дорівнює об’єму циліндра з площею
основи
і висотою
,
тому диференціал об’єму дорівнює
і при зміні
від
до
об’єм тіла дорівнює
.
Це є формула об’єму тіла за площами паралельних перерізів.
Рис. 13обертання.
Нехай криволінійна трапеція, обмежена
графіком неперервної функції
,
віссю
і прямими
і
,
обертається навколо осі
.
Знайдемо об’єм одержаного тіла обертання.
Переріз цього тіла площиною, перпендикулярною
осі
,
є круг радіуса
, і кожній точці
відповідає площа цього перерізу, рівна
Тоді об’єм цього тіла
.
Приклад.
Знайти об’єм тіла, одержаного обертанням
навколо осі
фігури
, обмеженої лініями
,
,
(об’єм параболоїда обертання з радіусом
основи
і висотою
).
Отримуємо
.
Рис. 14