![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Інтегральне числення функцій однієї змінної (конспект лекцій)
- •Таблиця інтегралів
- •Заміна змінної в невизначеному інтегралі (метод підстановки)
- •4.Інтегрування частинами у невизначеному інтегралі
- •Інтегрування раціональних функцій
- •Інтегрування деяких ірраціональних функцій
- •7. Інтегрування деяких виразів, що містять тригонометричні функції
- •8. Використання таблиць інтегралів
- •9. Поняття про інтеграли, що не виражаються через елементарні функції
- •10. Приклади задач, що приводять до поняття визначеного інтеграла
- •2)Задача про шлях точки у прямолінійному русі.
- •11. Означення визначеного інтеграла
- •12. Основні властивості визначеного інтеграла
- •13. Інтеграл як функція верхньої межі. Формула Ньютона-Лейбніца
- •14. Метод заміни змінної у визначеному інтегралі
- •15. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •16. Загальна схема застосування визначеного інтеграла
- •17. Обчислення площі плоскої фігури
- •18. Обчислення довжини дуги
- •19. Обчислення об’єму тіла
- •20. Обчислення площі бічної поверхні тіла обертання
- •21. Обчислення роботи змінної сили
- •22. Обчислення сили тиску рідини на вертикальну пластину
- •23. Невластивий інтеграл по нескінченному проміжку
- •24. Ознаки збіжності невластивого інтеграла по нескінченному проміжку
- •25. Невластивий інтеграл від необмеженої функції
- •26. Ознаки збіжності невластивого інтеграла від необмеженої функції
- •27. Наближене обчислення визначених інтегралів
2)Задача про шлях точки у прямолінійному русі.
Нехай
точка рухається по прямій з швидкістю
.
Потрібно знайти шлях, пройдений точкою
за проміжок часу
,
тобто від моменту
до моменту
.
Розіб’ємо
проміжок часу від
до
на
частинних проміжків часу моментами
.
Тривалість
-го
часового проміжку позначимо
і в кожному такому проміжку оберемо по
одному значенню
.
Якщо розбиття проміжку
достатньо дрібне, то швидкість точки
на
-ому
частинному проміжку можна наближено
вважати сталою, рівною
, а шлях, пройдений за цей проміжок часу
, наближено рівним
.
Сума цих «частинних» шляхів дасть
наближене значення всього шляху
,
пройденого точкою за проміжок часу
:
.
Точність
цієї формули збільшується із зменшенням
усіх величин
,
отже при необмеженому подрібненні розбиття, тобто при переході до границі
при
,
отримуємо
.
.
11. Означення визначеного інтеграла
В попередньому пункті розглянуто дві задачі, взяті з різних галузей знання – одну з геометрії, іншу з фізики. Якщо абстрагуватися від конкретного змісту цих задач і зосередити увагу на їх аналітичній структурі, то бачимо , що в цьому сенсі вони цілком однакові. В обох випадках розв’язання задачі вимагає обчислення границі деякої суми цілком певної будови. Таку ж аналітичну структуру має величезна кількість задач, які виникають у різних галузях науки, техніки, економіки і взагалі людської діяльності. Виникає потреба у створенні спеціального математичного апарату для розв’язання подібних задач. Таким апаратом є визначений інтеграл.
Означення.
Нехай на відрізку
задана обмежена функція
.
Розіб’ємо
відрізок
на
частинних відрізків точками
.
На
кожному відрізку
розбиття візьмемо довільно точку
і позначимо
,
де
.
Побудуємо суму
,
яку будемо називатиінтегральною
сумою
для функції
на відрізку
.
Очевидно, що інтегральна сума залежить
від способу розбиття відрізка
і від вибору проміжних точок
.
Якщо
існує скінченна границя інтегральної
суми при
(тобто при необмеженому подрібненні
розбиття відрізка
)
і ця границя не залежить ні від способу
розбиття, ні від вибору проміжних точок
,
то ця границя називаєтьсявизначеним
інтегралом функції
на відрізку
і позначається
.
Тоді
функція
називаєтьсяінтегровною
на відрізку
,
числа
і
називаються відповіднонижньою
і верхньою межами
інтегрування,
відрізок
- проміжком
інтегрування.
Повертаючись до задач попереднього пункту , доходимо висновку, що
а) площа
криволінійної трапеції, обмеженої
прямими
,
,
і графіком функції
,
дорівнює визначеному інтегралу від
цієї функції:
(геометричний
зміст визначеного інтеграла);
якщо
,
то отримуємо відповідну площу із знаком
мінус;
б) шлях
,
пройдений точкою за проміжок часу від
до
, дорівнює визначеному інтегралу від
швидкості
:
(фізичний
зміст визначеного інтеграла).
Зауважимо,
що визначений інтеграл є числом,
яке не залежить від позначення змінної
інтегрування, тобто
і т.д.
Виникає питання про умови, при яких визначений інтеграл існує.
Теорема
(достатня
умова існування визначеного інтеграла).
Якщо функція
неперервна на відрізку
,
то вона інтегровна на цьому відрізку,
тобто інтеграл
існує.
Ця умова є лише достатньою, тобто інтегровними можуть бути і деякі функції з точками розриву на проміжку інтегрування, але ми в подальшому вважатимемо підінтегральні функції неперервними, якщо не обумовлено протилежне.