8. Використання таблиць інтегралів

Попередні лекції дозволяють зробити висновок, що техніка інтегрування значно складніша, ніж техніка диференціювання. Для спрощення обчислень часто користуються довідниками, які містять таблиці багатьох інтегралів. Серед інженерів найбільш уживаними є довідники.

1. И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, М. «Наука», 1980.

2. Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М. «Наука», 1966.

Перше ніж користуватися довідником слід ознайомитися з його побудовою, способом розміщення формул в окремих групах. Підкреслимо, що можливість користування довідником ні в якому разі не звільняє від необхідності вивчення основних прийомів інтегрування, викладених у попередніх лекціях. Причина дуже проста: людина, яка не знає основних прийомів інтегрування, не зуміє перетворити потрібний інтеграл до такого вигляду, щоб можна було шукати його в довіднику, отже для такої людини довідник не принесе жодної користі.

Приклад. Знайти інтеграл .

Такого інтеграла в довіднику немає. Є формула для(довідник Двайта, формула 380.111). Перетворимо заданий інтеграл, поклавши. Тоді,. Отже. Тут уже можна застосувати формулу з довідника (). Отже

.

Заданий інтеграл було обчислено за допомогою підстановки Ейлера в п.6, при чому там первісна була отримана в іншій формі, але можна пересвідчитися, що первісні там і тут відрізняються лише сталим доданком.

9. Поняття про інтеграли, що не виражаються через елементарні функції

В аналізі доводиться , що будь-яка неперервна функція має первісну. Але якщо при диференціюванні елементарної функції одержуємо завжди знову елементарну функцію, то первісна від елементарної функції може і не бути елементарною, отже не може бути записана через скінченне число символів відомих нам основних елементарних функцій (степеневої, показникової, логарифмічної, тригонометричних і обернених тригонометричних).

Наприклад, не є елементарними первісні таких функцій, як , , , , а тим часом ці первісні зустрічаються в багатьох задачах математики, техніки і природознавства. Виникає необхідність розширення «запасу» функцій, необхідність розглядати і такі функції, які не є елементарними. Такі функції називаються спеціальними, і для багатьох з них запроваджені спеціальні позначення. Наприклад

(інтегральна показникова функція);

(інтегральний синус);

(інтегральний косинус);

(інтегральний логарифм);

(функція Лапласа)

і багато інших. Таблиці цих і інших спеціальних функцій можна знайти в довідковій літературі з математики.

10. Приклади задач, що приводять до поняття визначеного інтеграла

1. Задача про площу криволінійної трапеції.

Нехай на відрізку задана невід’ємна обмежена функція . Потрібно знайти площу фігури, обмеженої графіком функції, прямимиі віссю абсцис(рис. 1) Таку фігуру називаютькриволінійною

трапецією.

Рис. 1

З цією метою розіб’ємо відрізокна будь-яке числочастин (відрізків) точками .

Довжину -ого частинного відрізка позначимо , на кожному частинному відрізку оберемо по одній точці , . В точці проведемо перпендикуляр до осі до зустрічі з кривою, через точку зустрічі проведемо пряму, паралельну осідо зустрічі з прямимиі. Так на кожному частинному відрізку буде побудовано прямокутник з основою , висотоюі, отже площею. Сукупність цих прямокутників утворює ступінчату фігуру, яка при достатньо дрібному розбитті буде як завгодно мало відрізнятися від заданої криволінійної трапеції. Тоді площа ступінчатої фігури, яка дорівнює сумі площ прямокутників, що її складають, наближено дорівнюватиме площікриволінійної трапеції:

.

Ці рівність тим точніша, чим дрібнішим є розбиття проміжку , і природно за площу криволінійної трапеції вважати границю площ ступінчатих фігур за умови необмеженого подрібнення розбиття, тобто при:

.