![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Інтегральне числення функцій однієї змінної (конспект лекцій)
- •Таблиця інтегралів
- •Заміна змінної в невизначеному інтегралі (метод підстановки)
- •4.Інтегрування частинами у невизначеному інтегралі
- •Інтегрування раціональних функцій
- •Інтегрування деяких ірраціональних функцій
- •7. Інтегрування деяких виразів, що містять тригонометричні функції
- •8. Використання таблиць інтегралів
- •9. Поняття про інтеграли, що не виражаються через елементарні функції
- •10. Приклади задач, що приводять до поняття визначеного інтеграла
- •2)Задача про шлях точки у прямолінійному русі.
- •11. Означення визначеного інтеграла
- •12. Основні властивості визначеного інтеграла
- •13. Інтеграл як функція верхньої межі. Формула Ньютона-Лейбніца
- •14. Метод заміни змінної у визначеному інтегралі
- •15. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •16. Загальна схема застосування визначеного інтеграла
- •17. Обчислення площі плоскої фігури
- •18. Обчислення довжини дуги
- •19. Обчислення об’єму тіла
- •20. Обчислення площі бічної поверхні тіла обертання
- •21. Обчислення роботи змінної сили
- •22. Обчислення сили тиску рідини на вертикальну пластину
- •23. Невластивий інтеграл по нескінченному проміжку
- •24. Ознаки збіжності невластивого інтеграла по нескінченному проміжку
- •25. Невластивий інтеграл від необмеженої функції
- •26. Ознаки збіжності невластивого інтеграла від необмеженої функції
- •27. Наближене обчислення визначених інтегралів
Інтегрування деяких ірраціональних функцій
Означення.
Раціональною функціє
від
змінних
називається така функція, в якій над
цими змінними і сталими числами
виконується скінченне число чотирьох
арифметичних дій.
Наприклад,
раціональною функцією відносно змінних
є функція
.
Якщо
змінні
в свою чергу є функціями від
,
то ми говоримо про раціональну функцію
відносно цих функцій. Так, функція
є раціональною функцію від функцій
,
,
тобто
але відносно змінної
ця функція не є раціональною.
Розглянемо деякі випадки, коли інтеграли від ірраціональних функцій належною підстановкою зводяться до інтегралів від раціональних функцій («раціоналізуються»).
1)
Інтеграли вигляду
раціоналізуються підстановкою
, де
- спільний знаменник дробів
,…,
.
Справді,
якщо
,
то виражаючи
через
,
одержуємо
,
тобто
і
виражаються через раціональні функції
від
.
Далі, кожний степінь дробу
виражається через цілий степінь змінної
,
і в результаті підінтегральна функція
перетворюється в раціональну функцію
від
,
що і було метою підстановки.
Приклад.
Знайти інтеграл
.
Виконаємо
заміну змінної, поклавши
,
тоді
,
.
Інтеграли вигляду
.
Якщо
тричлен
має
дійсні
корені
і
,
то
,
і інтеграл приймає вигляд
,
а це інтеграл уже розглянутого вигляду.
Як у цьому випадку, так і у випадку
відсутності дійсних коренів у тричлена
,
даний інтеграл можна раціоналізувати
за допомогою підстановок
Ейлера:
якщо
, то
.
Якщо
, то
Приклад.
Знайти інтеграл
.
Застосуємо другу підстановку Ейлера:
, тоді
,
звідки
,
,
,
.
В результаті отримуємо
Підстановки
Ейлера завжди дозволяють раціоналізувати
інтеграли вигляду
,
але застосування цих підстановок часто
пов’язане з дуже громіздкими обчисленнями.
Досить часто менш трудомістким виявляється
обчислення таких інтегралів за допомогою
так званих тригонометричних підстановок.
При цому інтеграл
спочатку підстановкою
(вилученням повного квадрата в підкорінному
виразі) зводиться до одного з таких
інтегралів:
а)
б)
в)
,
a
ці інтеграли перетворюються в інтеграли
вигляду
підстановками відповідно а)
;
б)
;
в)
.
Про
обчислення інтегралів
йтиме мова далі.
7. Інтегрування деяких виразів, що містять тригонометричні функції
Інтеграли
, де
- раціональна функція, завжди можуть бути раціоналізовані так званою універсальною підстановкою
.
Тоді
,
звідки
,
крім того
Тому
де
- раціональна функція.
Приклад.
Знайти інтеграл
.
Застосовуючи універсальну підстановку, маємо:
Слід зазначити, що застосування універсальної підстановки приводить часто до дуже громіздких обчислень. Тому, там де можливо, використовують інші підстановки. Розглянемо деякі окремі випадки.
а)
Функція
непарна відноснo
,
тобто
.
В цьому випадку інтеграл
раціоналізується підстановкою
.
Зокрема так обчислюються інтеграли
вигляду
,
якщо
- непарне число . Справді,
,
і ми одержуємо інтеграл від многочлена.
б)
Функція
непарна відносно
тобто
. В цьому випадку інтеграл
раціоналізується підстановкою
.
Зокрема, за допомогою цієї підстановки
обчислюється інтеграл вигляду
,
якщо
- непарне число.
в)
Функція
парна відносно
і
,
тобто
. В цьому випадку інтеграл
раціоналізується підстановкою
.
Що до
інтеграла вигляду
при парних невід’ємних
і
,
то для його обчислення доцільно
перетворити підінтегральну функцію за
формулами подвоєння аргументу:
,
.
При необхідності це перетворення
повторюють до отримання інтегралів,
розглянутих вище у випадках а) і б).
г)
Інтеграли вигляду
,
,
обчислюються за допомогою формул, які
перетворюють добуток тригонометричних
функцій в суму:
Приклади. Знайти інтеграли:
а)
.
Підінтегральна
функція непарна відносно
,
тому скористаємося підстановкою
.
Тоді
,
.
Отримуємо
б)
в)
.
г)