18. Обчислення довжини дуги

1) Обчислення довжини дуги графіка функції в декартових координатах

Н

Рис. 10

ехай лінію задано рівнянням, де функціяі її похіднанеперервні на відрізкуі потрібно обчислити довжину дугицієї лінії від точкидо точки. Оберемо довільно точкуі розглянемо частину дуги, яка відповідає зміні аргументув межах віддо(тобто дугу, де,). Довжина дугиє очевидно функцією від, визначеною на. Позначимо її . Оскільки , а - де - довжина всієї дуги , то .

Знайдемо похідну . Надамо зміннійприріст, функціяотримає приріст, а відповідний приріст функції- довжина малої дуги, де, а. За означенням довжиною дуги називається границя, до якої прямує довжина ламаної, вписаної в дугу, коли число ланок ламаної необмежено зростає, а найбільша з довжин ланок ламаної прямує до нуля. Звідси випливає, що нескінченно мала дуга і хорда, що її стягує, - еквівалентні нескінченно малі, тобто

.

Таким чином

Отже , і шукана довжина дуги дорівнює

.

Приклад. Обчислити довжину дуги кривої на відрізку . Знаходимо похідну: .

Тоді

2)Обчислення довжини дуги лінії, заданої параметричними рівняннями.

Потрібно обчислити довжину дуги лінії

яка відповідає зміні параметра віддо. Функції і вважаємо неперервно диференційовними, при чому при .

У формулі для довжини дуги виконаємо заміну змінної:

Отже

Приклад. Обчислити довжину однієї арки циклоїди

Знаходимо похідні ,.

Тоді

3. Обчислення довжини дуги лінії, заданої рівнянням у полярній системі координат.

Нехай дуга задана рівнянням на відрізку. Запровадимо декартову систему координат з початком у полюсі і додатною піввіссювздовж полярної осі. У цій системі координат рівняння заданої лінії запишеться у вигляді (див. рис. 11):

Це – параметричні рівняння, в яких параметром є полярний кут , отже для обчислення довжинизаданої дуги можна застосувати формулуЗнаходимо

Рис. 11

Таким чином довжина заданої дуги

Приклад. Обчислити довжину дуги кардіоїди при . Знаходимо ,

19. Обчислення об’єму тіла

Рис. 12

Знайдемо об’єм тіла в припущенні, що відомі площіперерізів цього тіла площинами, перпендикулярними до деякої осі, наприклад. Тоді, (див. рис. 12), де - неперервна на відрізкуфункція. Перетнемо тіло двома площинами, які проходять через точкита, перпендикулярно до осі. Частина об’єму тіла, що міститься між цими площинами, з точністю до нескінченно малих вищого порядку дорівнює об’єму циліндра з площею основиі висотою, тому диференціал об’єму дорівнюєі при змінівіддооб’єм тіла дорівнює

.

Це є формула об’єму тіла за площами паралельних перерізів.

Рис. 13

Важливим окремим випадком цієї формули є формула об’єму тіла обертання. Нехай криволінійна трапеція, обмежена графіком неперервної функції, віссюі прямимиі, обертається навколо осі. Знайдемо об’єм одержаного тіла обертання. Переріз цього тіла площиною, перпендикулярною осі, є круг радіуса, і кожній точцівідповідає площа цього перерізу, рівнаТоді об’єм цього тіла .

Приклад. Знайти об’єм тіла, одержаного обертанням навколо осі фігури , обмеженої лініями,,(об’єм параболоїда обертання з радіусом основиі висотою). Отримуємо .

Рис. 14

(половина об’єму циліндра, описаного навколо параболоїда).