13. Інтеграл як функція верхньої межі. Формула Ньютона-Лейбніца

Нехай функція неперервна на відрізку.

Тоді, як було вказано вище, вона інтегровна на відрізку , а значить і на відрізкупри будь-якому. Розглянемо інтеграл

, .

Тут змінна інтегрування позначена , щоб не сплутати її з верхнью межею. Кожномувідповідає певне значення інтеграла , отже є функція від , задана на відрізку. Знайдемо похідну цієї функції.

Надамо аргументу приріст, тоді відповідний приріст буде

( тут ми скористалися з властивості адитивності визначеного інтеграла).

Далі застосуємо теорему про середнє значення

,

де точка розташована поміжі.

Згідно з означенням похідної

, тому що при точка, а функціянеперервна.

Таким чином встановлено дуже важливий факт: похідна визначеного інтеграла по його верхній межі дорівнює значенню підінтегральної функції в точці, яка дорівнює верхній межі, тобто .

Це означає, що будь-яка функція , неперервна на відрізку, має на цьому відрізку первісну, при чому інтеграл із змінною верхньою межеює первісною для. Цим встановлюється глибокий зв'язок поміж невизначеним і визначеним інтегралам, а саме

- де С - довільна стала.

Нехай тепер - яка-небудь первісна для функціїна відрізку. Дві первісні для однієї й тієї ж функції відрізняються, як відомо, лише сталим доданком. Тому

, де С – деяка стала.

Покладемо тут . Тоді

, звідки , так щодля будь-якого.

Покладаючи тепер , отримуємо основну формулу інтегрального числення

,

яка називається формулою Ньютона-Лейбніца.

Отже, визначений інтеграл від неперервної функції дорівнює приросту будь-якої її первісної на всьому проміжку інтегрування. Зазвичай користуються умовним позначенням: («з подвійною підстановкою віддо») , і тоді формула Ньютона-Лейбніца записується у вигляді

.

Ця формула відкриває великі можливості для обчислення визначених інтегралів, вона зводить задачу обчислення визначеного інтеграла до достатньо вивченої задачі відшукання невизначеного інтеграла.

Зазначимо, що при додержанні певних умов формула Ньютона-Лейбніца має місце і для розривних функцій.

Приклади.

1. .

2. , де приіпри.

Тут функція має розрив у точці, але на кожному з проміжківівона неперервна. Скористаємося з адитивності інтеграла:

14. Метод заміни змінної у визначеному інтегралі

Теорема. Нехай

1. функція неперервна на відрізку;

2. функція має неперервну похіднуна відрізку;

3. , і для будь-якогозначення

Тоді .

Оскільки неперервна на, то вона має первісну, позначимо її. Тоді функціябуде первісною для функціїна відрізку(справді,, бо.

За формулою Ньютона-Лейбніца

і .

Отже , що й треба було довести.

Зауваження. При заміні змінної у невизначеному інтегралі необхідно було після інтегрування повертатися до попередньої змінної , але у визначеному інтегралі цього робити не потрібно, натомість необхідно встановити належним чином межі інтегрування. Нові межі інтегруванняівідшукуються як розв’язки рівняньівідносноі.

Приклад. Обчислити .

Розглянемо підстановку . Функціянеперервна на, функціямає неперервну похідну на відрізкуі при змінівіддофункціязмінюється віддо. Отже всі умови теореми про заміну змінної додержані.