26. Ознаки збіжності невластивого інтеграла від необмеженої функції

Теорема. Якщо на проміжку функціїінеперервні,мають особливу точкуі задовольняють нерівність, то

а

Рис. 22

) якщо збігається інтеграл, то збігається і

б) якщо розбігається інтеграл , то розбігається і інтеграл.

Ця достатня умова збіжності (чи розбіжності) невластивих інтегралів називається ознакою порівняння і за своїм геометричним тлумаченням цілком аналогічна до відповідної ознаки для невластивих інтегралі по нескінченному проміжку ( див. рис. 22)

Рис. 22

Приклад. Дослідити на збіжність інтеграл . Оскільки для всіхмає місце нерівність, аізбігається (див. попередній приклад), то і заданий інтеграл збігається.

Теорема. (ознака порівняння в граничній формі)

Якщо функції інеперервні і приймають додатні значення в проміжку, а примають особливу точку і існує границято інтегралиіабо обидва збігаються або обидва розбігаються.

Приклад. Дослідити на збіжність інтеграл

Функції імають особливу точку. Оскільки існує границяі інтегралрозбігається, то розбігається і заданий інтеграл.

Ознаки порівняння придатні лише у випадку знакосталих підінтегральних функцій. Збіжність невластивого інтеграла від знакозмінної функції в деяких випадках можна виявити за допомогою наступної достатньої умови.

Теорема. Якщо функція має особливу точку на відрізкуі інтеграл збігається, то збігається і інтеграл.

В цьому випадку інтеграл називаютьабсолютно збіжним. Якщо ж інтеграл збігається, арозбігається, то інтегралназиваютьумовно (або неабсолютно) збіжним.

Приклад. Дослідити на збіжність інтеграл . Підінтегральна функція має особливу точку. При цьому. Оскілки збігається, то збігається і, отже збігається (абсолютно) і заданий інтеграл.

27. Наближене обчислення визначених інтегралів

Задачі практики приводять іноді до інтегралів, точне обчислення яких за формулою Ньютона-Лейбніца неможливе або утруднене: первісна підінтегральної функції може не виражатися через елементарні функції, відшукання первісної може вимагати надто громіздких обчислень, нарешті підінтегральна функція може бути задана таблицею чи графіком, а не аналітичним виразом. В таких випадках інтеграл доводиться обчислювати наближено за допомогою чисельних методів. Ми розглянемо тут два такі методи, найпростіші і в той же час широко використовувані як при ручних обчисленнях, так і для програмування на ЕОМ.

Рис. 23

Нехай потрібно обчислити інтеграл, денеперервна на відрізку. Розіб’ємо відрізокнарівних частин точками, де-крок розбиття (або крок інтегрування).

Позначимо -ординати графіка підінтегральної функції в точках поділу. Задача полягає в тому, щоб дати вираз наближеного значення інтеграла через ці ординати.

а

Рис. 23

)Правило трапецій. Геометричний зміст інтеграла - площа фігури , обмеженої графіком підінтегральной функції, відрізкомі крайніми ординатамита. Внаслідок виконаного розбиття відрізкаця фігура розбита насмужок шириною. Якщодостатньо мале, то площу кожної такої смужки можна вважати наближено рівною площі трапеції з висотою і основами, які дорівнюють ординатам, що обмежують смужку.

Тоді площа першої смужки площа другої смужки

……

Площа ої смужки.

Додаючи ці площі, отримуємо наближене значення шуканого інтеграла:

Це і є правило або формула трапецій. Можна довести, що гранична абсолютна похибка цієї формули наближено пропорціональна, тобтоТаким чином, при зменшенні крокувдвічі похибка зменшується приблизно в 4 рази. Цим можна скористатися для наближеної (а для деяких функцій і точної) оцінки похибки. Для цього обирають числопарним і обчислення інтеграла повторюють з подвоєним кроком. Нехай- точне значення інтеграла,- результат обчислення з кроком,- результат обчислення з крокомі- похибка результата. Тоді, звідки одержуємо оцінку.

Приклад. Розглянемо застосування формули трапецій на прикладі інтеграла, точне значення якого відоме . Оберемо, тоді,,,,,. Тоді. Похибка близько, тобто близько%.

б) Правило Сімпсона (правило парабол).

За правилом Сімпсона число береться парним. Позначимо, як і раніше, через- результат обчислення інтегралаза правилом трапецій з кроком, а- теж саме з подвоєним кроком. Для похибки результатубуло одержано вираз. Якщо дододати цю похибку, то результат очевидно стане точнішим. Тому природно покласти

Замінимо іїх виразами:

.

Тоді

,

звідки отримуємо

.

Це і є формула Сімпсона. Її називають також формулою парабол, тому що її можна отримати подібно до формули трапецій, але замінюючи на кожній парі частинних відрізків графік функції параболою, яка проходить через ті ж точки (а не ламаною, як у методі трапецій). Правило Сімпсона при незначному збільшенні обсягу обчислень значно точніше, ніж правило трапецій. Його гранична похибканаближено пропорціональна, тобто, і при зменшенні кроку в 2 рази зменшується в 16 разів.

Приклад. Розглянемо знову і оберемо, як і в попередньому прикладі,. Тоді,,,,,.

За формулою Сімпсона

.

Похибка близько 0,0045, тобто близько 0,23% і порівняно з похибкою правила трапецій менша в 22 рази.

52