Глава 8. Защитные портфели
8.1. Для акции с текущим курсом в 30 долл. контрактная цена по колл-опциону установлена на уровне 40 долл. Прогнозируемые на момент исполнения опциона возможные значения курса оцениваются в 50 долл. и 20 долл., а ставка банковского процента за тот же период составляет 20%. Сколько таких опционов и по какой цене следует продать, чтобы исключить риск приобретения акции, обусловленный «неоднозначностью» ее будущих курсовых стоимостей.
8.2. Биржевой брокер, выполняя поручение своего клиента купить валюту, продает ему опцион «колл» на 100 единиц требуемой тому валюты α. В качестве средства платежа выступает валюта β и пусть S0, S1 - стоимости 100 ед. валюты α, измеряемые в единицах валюты β в начале и в конце периода. Текущее соотношение курсов таково, что S0 = 150β (т.е. 100α = 150β), и ожидается, что в момент n = 1 цена S1 может стать равной 180β (повышение курса валюты α) или 90β (понижение курса валюты α). Предположим, что контрактная цена установлена на уровне текущего курса, т.е. К = 150β и пусть для простоты процентная ставка банковского счета r = 0. Построить портфель (синтетический опцион), защищающий обязательства брокера по опциону.
8.3. Решить предыдущую задачу при условии, что процентная ставка банковского счета r=0,2.
8.4. Применяя формулу Блэка и Шоулса, определите рациональную стоимость опциона «колл» с ценой исполнения 40 долл. и сроком истечения – 3 месяца. Текущий курс и риск базисной акции составляют соответственно 36 долл. и 50%, а безрисковая ставка равна 5%.
8.5. Цена акции в настоящий момент времени равна 475 ден. ед. Стандартное отклонение σ цены акции равно 12% в год. По акции выплачиваются дивиденды с интенсивностью δ= 5% в год. Годовая ставка r для краткосрочных облигаций – 10%. Определить стоимость опциона на покупку акции через три месяца по контрактной цене 480 ден. ед.
8.6. В настоящий момент облигация продается за 1000 руб. при доходности 8% . Пусть ее дюрация составляет 10 лет. Насколько изменится цена этой облигации при увеличении доходности (ставки процента) до 9%.
8.7. Сравните два потока платежей А = (1600, 400, 100), В = (100, 400, 1600) по показателю их дюрации и при условии, что ставка процента r = 0,1. Пользуясь содержательным толкованием дюрации, проинтерпретируйте установленное различие в финансовых терминах.
8.8. Обязательство в 27000 руб. следует погасить через 2 года. Для этого должник может воспользоваться одно- и трехпериодными облигациями с номиналом в 1500 руб. и 6750 руб. и при действующей процентной ставке r = 0,5. В условиях неменяющегося процента определите требуемый для покупки облигаций начальный капитал и сколько чего следует купить (при расчетах считать что цены продаж совпадают с текущими стоимостями). Что изменится при действии процентного риска? Какой пакет и в каком составе облигаций следует сформировать, чтобы полностью исключить риск процентной ставки.
8.9. Двухлетняя бескупонная облигация А номиналом в 1000 руб. имеет доходность к погашению r02 = 0,2; доходность к погашению годовой облигации r01 = 0,1. Найти цену хеджирующего риск процентной ставки форвардного контракта. По условиям контракта облигация А должна быть продана в конце первого года.
8.10. Дана 10-и летняя купонная облигация с полугодовыми купонами по ставке 10%. Внутренняя доходность облигации-8%. Найти дюрацию.
8.11. В начальный момент времени безрисковые процентные ставки одинаковы для всех сроков до погашения и равны 8% . На рынке имеются двух и четырехгодичные купонные облигации. Купонные ставки по этим облигациям равны тем же 8%. При совпадении ставок цена продажи равна номинальной стоимости (доказать!). В нашем случае номиналы совпадают и равны 100 долл., а купонные выплаты производятся раз в году. Инвестор, располагающий суммой 1000 долл., формирует портфель из данных облигаций. Какова будет стратегия иммунизации портфеля облигаций, если инвестиционный горизонт инвестора T = 3 года, а временная структура процентных ставок менялась следующим образом: через 0,5 года ставки упали до 7%, а через 1,5 года - до 6%.
ОТВЕТЫ
|
1.1 |
5% | ||||
|
1.2 |
46% | ||||
|
1.3 |
3% | ||||
|
1.6 |
0,55%; 27500 руб. | ||||
|
1.7 |
Первое выгоднее | ||||
|
1.9 |
а) 12% | ||||
|
1.10 |
300% | ||||
|
1.11 |
20% | ||||
|
1.12 |
30% | ||||
|
1.21 |
а) 800 тыс. руб. б) 1600 тыс. руб. в) 2400 тыс. руб. (возрастёт в 1,5 раза) | ||||
|
1.22 |
а) 1 127 233 руб. б) 1 129 000 руб. | ||||
|
1.23 |
1,43 | ||||
|
1.24 |
а) 105,013 млн. руб. б) 105,084 млн. руб. | ||||
|
1.25 |
0,87 млн. руб. | ||||
|
1.26 |
S = 1,45 млн. руб. R = 40,278 тыс. руб. | ||||
|
1.27 |
P = 287328,59 руб. | ||||
|
1.28 |
P = 969444,4 руб. D = 30555, 6 руб. | ||||
|
1.29 |
t = 292 дня | ||||
|
1.30 |
i= 0,666(6) d = 0,5454 | ||||
|
1.31 |
i= 0,23376 d = 0,20571 | ||||
|
1.32 |
Рублёвый депозит выгоднее: наращенная сумма S = 1040,2$. Валютный депозит даёт S=1037,5$. | ||||
|
1.33 |
а) 1052,2 тыс. руб. б) 1055 тыс. руб. | ||||
|
1.34 |
q = 1,81407 | ||||
|
1.35 |
S = 750840,04 руб. | ||||
|
1.36 |
i= 0,280732 | ||||
|
1.37 |
P = 2837,1 тыс. Руб. | ||||
|
1.38 |
а) P = 2218,5; D = 2781,5 б) P = 1250; D = 3750 | ||||
|
1.39 |
P = 2328 тыс. руб. d = 0,14177 | ||||
|
1.40 |
i = 0,20684 | ||||
|
1.41 |
d = 0,16334 | ||||
|
1.42 |
S = 3297744,25 руб. | ||||
|
1.43 |
а) q = 1,91554 б) q = 1,16183 | ||||
|
1.44 |
q = 1,92139 | ||||
|
1.45 |
i = 0,231 | ||||
|
1.46 |
i = 0,17647 | ||||
|
1.47 |
d = 0,30835 | ||||
|
1.48 |
i = 0,17153 | ||||
|
1.49 |
а) j = 0,21705 б) j = 0,22100 | ||||
|
1.50 |
= 0,19516 | ||||
|
1.51 |
P1 = 375,00 тыс. руб; P2 = 397,06 тыс. руб. | ||||
|
1.52 |
S = 1532,87 тыс. руб. | ||||
|
1.53 |
S = 2921,187 тыс. руб. | ||||
|
1.54 |
а) n = 1,404 года, или 512 дней б) n = 0,264 года, или 96 дней | ||||
|
1.55 |
S = 9,531 млн руб. | ||||
|
1.56 |
S = 8,521 млн руб. | ||||
|
1.57 |
S = 133,233 тыс. руб. | ||||
|
1.58 |
а) 90 тыс. руб. б) 119,7 тыс. руб. | ||||
|
1.59 |
S = 1,508 млн руб. | ||||
|
2.3 |
4450 руб. | ||||
|
2.4 |
23000 руб. | ||||
|
2.5 |
а) 9917,19 б) 9481,59 | ||||
|
2.6 |
10,8 долл. | ||||
|
2.8 |
Предпочтительным окажется: а) второй вариант завещания; б) первый вариант | ||||
|
2.9 |
4 млн руб. | ||||
|
2.10 |
S = 56,985 млн руб. | ||||
|
2.11 |
152,09 | ||||
|
2.12 |
S = 28,9 млн. руб. | ||||
|
2.13 |
n = 4,7356 года | ||||
|
2.14 |
A = 42,361 млн. руб. | ||||
|
2.15 |
A1 = 7,3 млн. руб.; A2 = 7,25 млн. руб. | ||||
|
2.16 |
A = 88,661 млн. руб.; S = 548,965 млн. руб. | ||||
|
2.17 |
S = 4865 млн. руб. | ||||
|
2.18 |
S = 1263,052 млн. руб.; A = 203,990 млн. руб. | ||||
|
2.19 |
A = 6446,91 млн. руб.; | ||||
|
2.20 |
n = 4,21 года | ||||
|
2.21 |
1 = 0,1288 | ||||
|
2.22 |
S = 38,4 млн. руб. | ||||
|
2.23 |
A =291,5; S = A (1 + i)3 = 357,1 | ||||
|
2.24 |
R = 960,189 тыс. руб. | ||||
|
2.25 |
n = 12,64 года | ||||
|
2.26 |
R2 = 2,88 млн. руб. | ||||
|
2.27 |
R2 = 2,55393 млн. руб. | ||||
|
2.28 |
n = 6,689 года; A = 7339,58 тыс. руб. | ||||
|
3.1 |
34,3 тыс.руб. | ||||
|
3.3 |
Предприятие предпочтёт вариант 3 как обладающий минимальными приведёнными затратами (130; 128; 127). | ||||
|
3.4 |
NPV ≈ 97 ден. ед.; IRR ≈ 19,52% | ||||
|
3.5 |
Х = 10% | ||||
|
3.6 |
NPV = 1500; рентабельность равна 150%; IRR = 20% | ||||
|
3.7 |
NPV = 24,45; IRR = 17,72% | ||||
|
3.8 |
R ≈ 3154,57; R ≈ I / a(n; j) | ||||
|
3.9 |
| ||||
|
3.10 |
| ||||
|
4.2 | |||||
|
Год |
Выплата процентов |
Взносы в фонд |
Расходы по займу |
Накопление на конец года | |
|
1 |
950 |
732,87 |
1682,87 |
732,87 | |
|
2 |
950 |
1232,87 |
2182,87 |
2039,03 | |
|
3 |
950 |
1732,87 |
2682,87 |
3975,80 | |
|
4 |
950 |
2232,87 |
3182,87 |
6606,25 | |
|
5 |
950 |
2732,87 |
3682,87 |
9999,75 | |
|
4.3 | |||||
|
Год |
Остаток долга на начало года |
Сумма погашения долга |
Выплата процентов |
Срочная уплата | |
|
1 |
100 |
20 |
5 |
25 | |
|
2 |
80 |
20 |
4 |
24 | |
|
3 |
60 |
20 |
3 |
23 | |
|
4 |
40 |
20 |
2 |
22 | |
|
5 |
20 |
20 |
1 |
21 | |
|
4.6 |
450 | ||||
|
4.11 |
Текущая стоимость потока помесячных платежей ТС ≈ 11388,51 | ||||
|
4.12 |
| ||||
|
4.13 |
| ||||
|
4.14 |
| ||||
|
4.15 |
| ||||
|
4.16 |
| ||||
|
5.1 |
ТС=712000 руб. | ||||
|
5.2 |
ТС= 1220000 руб. | ||||
|
5.3 |
ТС=1000000 руб. | ||||
|
5.4 |
116662 руб. | ||||
|
5.5 |
IRR = 13,79% | ||||
|
5.6 |
Максимальный квартальный приемлемый процент = 62,5%; Эффект финансового рычага = -0,13 = -13% | ||||
|
5.7 |
Дисконт = 9,25%, а цена размещения – 90,75% от номинала | ||||
|
5.9 |
Текущая доходность = 25%; Доходность вложения = 37,5% | ||||
|
5.10 |
ТС = 100 долл., ТС = D / (r – g) | ||||
|
5.11 |
1058 руб.; 1088 руб.; Снижение уровня процента вызвало прирост цены на величину Δ = 30 руб. | ||||
|
5.12 |
Доход по банковскому счету = 142,8 тыс. руб.; прибыль от покупки сертификата = 144,5 тыс. руб. Выгоднее купить сертификат. | ||||
|
5.13 |
Номинальная и реальная внутренние доходности равны 5% и соответственно 0,96%. | ||||
|
5.14 |
Потери капитала в 250 долл. | ||||
|
5.15 |
3900%. | ||||
|
5.17 |
Доходность от перепродажи выше, чем доходность погашения «короткой» бумаги (9,5% > 7,22%). | ||||
|
5.18 |
а) доходность акции = 10%, доходность опциона = 400%; б) доходность акции = -10%, доходность опциона = - 100%. | ||||
|
6.3 |
σВ = 0,995%; σА = 5%. Не склонный к риску инвестор выберет акцию В. | ||||
|
6.4 |
Риски разорения , оцениваемые вероятностями, при приобретении акций А будут больше (0,8 > 0,2).Риск разорения можно снизить с помощью диверсификации вложений или увеличивая долю собственных средств. Например, вкладываясь в каждый актив половиной капитала, инвестор получит безрисковую доходность r = 2%. | ||||
|
7.1 |
В каждый актив следует вложиться половиной наличности. | ||||
|
7.2 |
В оптимальной пропорции на две стоимостные единицы бумаг первого вида должна приходиться одна стоимостная единица бумаг второго вида. | ||||
|
7.3 |
mp = 2 + 1,6σp | ||||
|
7.5 |
Задача сводится к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными. | ||||
|
7.9 |
11%. | ||||
|
7.10 |
Доли рисковых бумаг одинаковы и равны х1 = х2 = σp / 200,5, следовательно,безрисковая доля х0 = 1 - σp / 0,50,5 | ||||
|
8.1 |
Следует продать три опциона «колл» по цене 4,4 ден. ед. | ||||
|
8.2 |
Брокер (он же эмитент опциона) должен взять в кредит 30 ед. валюты β, в нашем случае беспроцентно (r = 0), добавить к занятым деньгам выручку от продажи опциона (C = 20β) и полученную сумму 50β конвертировать (по курсу 100α = 150β) в валюту α. Это даст ему 33,33α. | ||||
|
8.3 |
В сравнении с задачей 8.2 премия за опцион увеличится и достигнет величины С = 25β, заемный капитал снизится до B=25β, а α - валютное наполнение портфеля останется тем же. | ||||
|
8.5 |
11,69 ден.ед. | ||||
|
8.6 |
Цена этой облигации снизится на 9,26%. | ||||
|
8.8 |
Требуемый для иммунизации начальный капитал составляет сумму, равную 12000 руб. Защитный от риска портфель состоит из 6 «коротких» и 3 «длинных» облигаций. | ||||
|
8.10 |
D = 6,286 лет. | ||||
|
8.11 |
В связи с двухразовым изменением процентной ставки иммунизация производится дважды: в начальный момент времени и через год. Через два года весь пакет следует продать и вырученную сумму инвестировать на срок в один год под безрисковую ставку в 6%. Расчеты показывают, что в результате осуществления такой стратегии иммунизации инвестор через три года получит сумму, равную 1259,945 долл., причем эта сумма больше той, что планировалась в начале. | ||||