1. Теоретические сведения

Рассмотрим струну, закрепленную с одного конца (рис.8.1). Если свободный конец струны (х = 0) смещать вдоль оси y по гармоническому закону у = Аsint, где А - амплитуда колебаний,  = 2/T - циклическая частота (Т - период колебаний), то вследствие взаимодействия между частицами струны колебания начнут распространяться вдоль струны с некоторой скоростью . При этом частицы струны в точках x будут совершать поперечные колебания по закону

y₁(x,t) = A sin [t - (x/)],

где отношение x/ дает время, на которое колебания в точке х запаздывают относительно колебаний частиц в точке x = О.

Рис.8.1

Рис.8.2

Процесс распространения колебаний называют волной. Расстояние , которое волна проходит за период Т, называют длиной волны:

 =  Т.

На рис.8.2.а показана струна в момент, когда возмущение (в данном случае оно имеет вид полуволны) дошло до закрепленного конца. Если бы струна продолжалась дальше, то "горбик" продолжал бы двигаться вправо, оставаясь при этом сверху. На рис. 8.2.б показана струна (ее конфигурация) еще через 1/2 Т. После отражения "горбик" бежит в обратном направлении, находясь уже снизу. Последнее означает изменение фазы колебания (аргумента синуса) на 

Уравнение отраженной волны имеет вид

y₂(x,t) = Asin{[t -(2L - x)/ -]} = - Asin[t-(2L - x)/].

Отношение (2L - x)/ равно времени, которое требуется волне, чтобы пройти от свободного конца до точки закрепления и вернуться в точку x.

В соответствии с принципом суперпозиции результирующие колебания частиц струны в точке x найдем, сложив y₁ и y₂. Используя тождество

и учитывая, что /= 2/, получим

. (8.1)

Этот колебательный процесс называется стоячей волной. Формула (8.1) показывает, что множитель , выражающий периодическое изменение во времени, не зависит от координаты, а амплитуда колебаний различна для разных точек струны. Из выражения (8.1) следует, что на струне имеется ряд точек, которым соответствует амплитуда, равная нулю. Эти точки (их называют узлами) определяются из условия:

или , n = 0, 1, 2, … (8.2)

(к узлам падающая волна и отраженная приходят в противофазе).

В частности, при n = 0 х = L, т.е. точка закрепления струны является узлом, как и должно быть. Посередине между узлами амплитуда колебаний максимальная и равна 2 А. Эти точки - их называют пучностями - определяются из условия

или , n = 0,1,2,… (8.3)

(к этим точкам колебания приходят в фазе).

Таким образом, узлы, также как и пучности - находятся друг от друга на расстоянии полуволн. Все частицы струны между двумя соседними узлами колеблются синфазно, а колебания частиц по разные стороны от узла совершаются в противофазе.

Рис.8.3

На рис.8.3 показана конфигурация 1 отрезка струны с длиной λ в момент прохождения струной положения равновесия, 2 - через (1/8)Т, 3 - через (1/4)Т. В последнем случае смещение частиц достигло амплитудных значений. В струне, закрепленной с обоих концов, в точках

закрепления расположены узлы.

Поэтому в струне с заметной интенсивностью возбуждаются колебания только таких частот, при которых на длине струны L укладывается целое число полуволн, т.е. когда

или , n = 1, 2, … (8.4)

Учитывая связь l с частотой n и скоростью распространения волны u, можно записать:

, n = 1, 2, ... (8.5)

Частоты _n называют собственными частотами колебаний струны. Самая низкая собственная частота ₁= /2L называется основной частотой или основным тоном (n=1). Более высокие частоты, кратные ₁, называются ₁ - первой, ₂ - второй, ₃ - третьей и т.д. гармониками.

Скорость распространения поперечных колебаний вдоль струны зависит от натяжения струны и определяется формулой

, (8.6)

где Т - натяжение струны (в равновесном состоянии),  - плотность материалы струны, S - поперечное сечение струны, или

, (8.7)

где d - диаметр струны.

Для возбуждения колебаний в струне в данной работе используется явление резонанса, которое заключается в следующем: если частота вынуждающей силы, приложенной к малому участку струны, совпадает с одной из собственных частот струны, а место приложения - с одной из пучностей, то в струне устанавливается колебательный процесс (стоячая волна) с максимальной амплитудой колебаний. Вынуждающей силой Ампера , действующая на отрезок струны l, расположенный между полюсами постоянного магнита. По закону Ампера

, (8.8)

где I - сила тока в струне, - вектор, его направление совпадает с направлением тока, - индукция магнитного поля.

Таким образом (вспомните определение векторного произведения),

F = I l В sin,

Рис.8.4

направление F выбирается так, как показано на рис.8.4. Именно вектор перпендикулярен плоскости, которую фиксируют и , и направлен так, что при взгляде "со стрелки" кратчайший поворот от к должен быть виден совершающимся против часовой стрелки.