7. Исследование вынужденных колебаний в lcr контуре

Цель работы: изучение явлений, наблюдаемых при внешнем возбуждении колебаний с частотами, близкими к резонансной частоте, исследование зависимости амплитуды этих колебаний от частоты и определение добротности контура.

Приборы и принадлежности: звуковой генератор, цифровой вольтметр, осциллограф и др.

1. Теоретические сведения

Рассмотрим электрическую цепь, составленную из активного сопротивления R, индуктивности L и емкости С. Чтобы в реальном колебательном контуре (R ≠ 0) получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью подводимой к контуру внешней периодически изменяющейся по гармоническому закону электродвижущей силы (ЭДС) или переменного напряжения. Подключим колебательный контур к генератору переменной ЭДС

Рис.7.1

ε = εmcosωt (напряжение U = Umcosωt), где εm и ω - амплитуда и частота напряжения (ЭДС), вырабатываемого генератором (рис.7.1). Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся ЭДС, называются вынужденными электромагнитными колебаниями. Электромагнитные возмущения распространяются в пространстве и различных

устройствах со скоростью света с = 3∙10⁸ м/с. Расстояние S = 3 м электромагнитное возмущение пробегает за время τ = S/c = 10^-8 c. Поэтому мгновенные значения силы тока во всех точках однородного участка цепи практически одинаковы. Такие токи называют квазистационарными. Мгновенные значения квазистационарных токов подчиняются закону Ома и правилам Кирхгофа. Одно из правил Кирхгофа утверждает, что алгебраическая сумма падений напряжения в замкнутой электрической цепи (контуре) равна алгебраической сумме ЭДС, действующей в цепи.

Предположим, что в цепи течет переменный ток

I = I_mcosωt, (7.1)

где I_{m -} амплитуда тока, ω- круговая частота (ω = 2π/Т).

Для падения напряжения на R имеем соответственно:

U_R = RI_mcosωt, (7.2)

, (7.3)

. (7.4)

(Убедитесь, что , если U_c изменяется согласно формуле (7.4)).

Таким образом, напряжение U_R и ток I изменяются синфазно, U_L опережает ток по фазе на π/2, а U_c отстает от тока по фазе на π/2. При этом между амплитудными значениями токов и напряжений имеем соответственно следующие соотношения:

U_Rm = I_mR, U_Lm = ωLI_m, U_cm = I_m(1/ωC). (7.5)

Для суммы напряжения на R, L и С после тригонометрических преобра- зований получаем:

, . (7.6)

И наоборот, если приложенное к цепи напряжение U изменяется по закону U = U_m cos ωt, то в цепи течет переменный ток

I = I_mcos(ωt - φ), (7.7)

где, а φ определяется условием (7.6)

Действительно, в этом случае

.

Дифференцируя это равенство по времени, получаем:

. (7.8)

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид (7.7), в чем нетрудно убедиться непосредственной подстановкой выражения (7.7) в уравнение (7.8).

Рис.7.2

Соотношения между токами и напряжениями удобно изображать на векторной диаграмме (рис.7.2). Для этого примем произвольное направление за ось токов. URm изобразим вектором, направленным вдоль оси токов (напомним, что фазы колебаний UR и I совпадают). ULm изобразим вектором, повернутым относительно оси углов на угол π/2. Аналогично Uсm изобразим вектором,

повернутым относительно оси токов на угол -π/2. Напомним, что U_L опережает I на фазе π/2, а U_c отстает от I на π/2. Падения напряжений U_R, U_L и U_с в сумме должны быть равны приложенному к цепи напряжению U = U_m cosωt. Поэтому, сложив векторы, изображающие U_Rm, U_Lm, и U_cm, мы получим вектор, изображающий U_m. Этот вектор образует с осью токов угол φ, тангенс которого, как видно на рис.7.2, равен

. (7.9)

Угол дает разность фаз между напряжением U и силой тока I. По векторной диаграмме (см. также выражение (7.7)) находим:

, (7.10)

где - полное сопротивление цепи, а ωL-(1/ωC) - реактивное сопротивление. Х_L = ωL и Х_c = 1/ωC называют индуктивным и емкостным сопротивлением соответственно. Смысл названия "полное сопротивление" в том, что амплитудные значения U_m и I_m связаны между собой соотношением, подобным закону Ома: I_m = U_m/Z. Из соотношения (7.10) видно, что при амплитуда тока I_m достигает максимального значения I_{m max} = U_m/R, а угол φ = O. Кривую зависимости I_m от ω называют резонансной кривой, а частоту , при которой I_m=I_{m max}, резонансной частотой. Чем меньше R, тем больше I_m при резонансе и тем острее резонансная кривая (рис.7.3.а).

а)	б)
Рис.7.3

Таким образом, резонансная частота для тока в контуре не зависит от активного сопротивления R и совпадает с собственной частотой контура:

. (7.11)

Так как U_R и ток в цепи изменяется синфазно, то ясно, что амплитуда U_Rm будет максимальной при ω = ω_р. При этом U_Rm = U_m. Для U_cm и U_Lm с учетом выражений (7.5) и (7.10) имеем:

. (7.12)

При получаем:

и (7.13)

Величину (7.14)

называют добротностью контура. Таким образом, добротность контура показывает, во сколько раз амплитуда U_cm и U_Lm превышает амплитуду U_m, приложенного к цепи напряжения при ω=ω_p.

На рис. 7.3.б показана зависимость U_cm от частоты ω при разных R, максимальные амплитуды U_cm и U_Lm (U_m считаем постоянной) и со- ответствующие резонансные частоты ω_cр и ω_cL найдем, дифференцируя по w выражения для U_cm и U_Lm (7.12) и решая уравнения

, . (7.15)

В результате получим следующие значения для резонансных частот:

, (7.16)

(7.17)

На рис.7.4 показана зависимость U_Rm, U_Lm и U_Cm от частоты . При  = _р U_Rm = U_m, а U_Lm = U_Cm = QU_m. U_Cm имеет максимум при _cр<_р, а U_Lm при _Lр>_р.

Рис.7.4

Добротность контура Q характеризует остроту резонансных кривых. Чтобы убедиться в этом, вычислим так называемую ширину резонансной кривой для силы тока по половине мощности. Под этой величиной понимают разность частот ∆ω (или ∆ν), для которой Jm2 составляет 0,5 от Imрез2. На рис.7.3,а Im = 0,7Imрез. При резонансе Im2рез= Um2/R2 (cм.выражение (7.1)).

(I_m/I_mрез)² = 0,5 при (ωL - 1/ωC)² = R² .

Это уравнение имеет два корня ₁ и ₂ (см.рис.7.3.а). Проведя необходимые выкладки, можно убедиться, что при больших добротностях

(7.18)

Соотношение (7.18) дает возможность экспериментального определения добротности Q по резонансной кривой силы тока в контуре.