Пусть L - подпространство в гильбертовом пространстве H. Совокупность всех элементов из H , ортогональных к L , называется ортогональным дополнением подпространства L , и обозначается.

L {x H | x L}

Теорема 6. Пусть L - подпространство в гильбертовом пространстве H. Тогда также является подпространством в H .

Говорят, что гильбертово пространство H разлагается в ортогональную сумму подпространств L1, L2 ,...Ln и

записывают это как

H L1 L2 Ln

31

если

1) Все подпространства L1, L2 ,...Ln попарно ортогональны.

u Li , v Lj : u, v 0, i j

2) x H имеет место разложение

32

Теорема 7. Пусть в гильбертовом пространстве H задано

конечномерное подпространство L с ортогональным базисом n} {g1, g2 ,...gn} , а элемент y

n

y j g j

j 1

является ЭНП для элемента x H . Тогда для «вектора-ошибки» x-y , имеем

33

Пусть теперь в гильбертовом пространстве H задана бесконечная последовательность ненулевых ортогональных векторов { k } H, k =1,2,…, . Рассматриваем первые n элементов { k }, k =1,2,…,n как конечный базис. Получаем

линейное многообразие Ln «натянутое» на этот базис.

Можно показать, что Ln - замкнуто, т.е. является

j 1

34

Применение этой теоремы дает следующее

Числовая последовательность

ограничена сверху т.к.

и является неубывающей, т.е. sn+1 sn . Поэтому{sn}- сходится.

35

Сходимость последовательности частичных сумм {sn} означает, по определению, сходимость ряда

Это неравенство носит названия неравенства Бесселя.

36

Важным примером гильбертова пространства является пространство функций L2[a,b], о которых говорилось выше. Если под интервалом понимать всю числовую ость, то мы проходим к пространству функций L2 (R) , или просто L2 . Это пространство функций, интегрируемых с квадратом на всей числовой оси. Здесь скалярное произведение и норма определяются формулами:

39

Примеры ортогональных систем в пространствеL2

Элементами пространства в L2 являются функции. Приведем ряд примеров ортогональных функциональных базисов { k } , которые нашли широкое применение на практике, в том числе, при обработке сигналов.

Пример 1. Рассмотрим тригонометрическую систему функций.

Как хорошо известно, из курса специальных разделов математического анализа, такая система является полной на любом отрезке t [a, a+T] длины T .

40