Упражнения

1. Укажите смысловые связки естественного языка, соответствующие основным операциям над множествами: дополнение (– НЕ), объединение (сумма) (– ИЛИ), пересечение (произведение) (– И), разность (– БЕЗ).

2. Пусть множество сотрудников некоторого предприятия;множество всех сотрудников старше 40 лет;множество сотрудников, имеющих стаж более 10 лет;множество служащих;множество рабочих. Каков содержательный смысл каждого из нижеследующих множеств? Изобразить графически (с помощью диаграмм Эйлера – Венна) эти множества.

   1) ;	5) ;	9) ;
   2) ;	6) ;	10) ;
   3) ;	7) ;	11) ;
   4) ;	8) ;	12) .

3. Заданы множества А = {1, 5, 7, 9, 12} , B = {5, 7, 9, 11, 13} и С = {1, 2, 3, 8, 10}, являющиеся подмножеством универсального множества U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Найти следующие множества и их мощности:

   1) ;	5) ;
   2) ;	6) ;
   3) ;	7) ;
   4) ;	8) .

4. По заданным промежуткам А и B на числовой оси определить ;;;;.

1) и; 3)и;

2) и; 4)и

5. Задана система множеств ,,, …,. Найтии.

6. Задана система множеств .

Найти и.

7. Пусть А и В – произвольные подмножества универсального множества I. Доказать графически, что:

1) ; 4);

2) ; 5);

3) ; 6)_.

8. Доказать (аналитически), что .

Указание: воспользоваться тождеством .

9. Существуют ли такие множества А, В и С, что ,и?

Указание: построить диаграмму Эйлера – Венна.

11. Построить из множества А, В и С результат операций над ними. {1, 2, 3},{1, 3, 5}, {2, 3, 4, 6}.

1) ; 2).

12. Пусть Множества А, В, С пересекаются в наиболее общем случае. Изобразить на диаграмме Эйлера Результат следующих действий:

1) ; 2); 3); 4).

13. Пусть и промежутки на числовой оси. Найти ;;;;.

14. Пусть А, В и С – множества такие, что . Можно ли сделать вывод, чтоВ = С ?

15. Указать, какие из следующих равенств верны для любых множеств; верны для некоторых множеств; неверны или бессмысленны. Привести обоснование.

1)	;	5)	;
2)	;	6)	;
3)	;	7)	;
4)	;	8)	.

1.2. Векторы и прямые произведения множеств. Проекция вектора на ось

Вектор – это упорядоченный набор элементов (“кортеж”). Его элементы зазываются координатами или компонентами вектора.

Длина (размерность) вектора – число координат вектора.

В отличие от элементов множества, его координаты могут совпадать. Обозначение вектора: в круглых скобках, координаты – через запятую (0, 5, 4, 5, 0, 1). Иногда скобки и даже запятые опускаются.

Векторы длины 2 называют упорядоченными парами; длины 3 – тройками; и т.д., длины n – n-ками.

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину, и соответствующие координаты равны, т. е. , еслии,, …,.

Прямое произведение n множеств (обозначается ) называется множеством всех векторов, длиныn таких, что _{, , ...,} .

.

Пусть А – конечное множество, элементами которого являются символы (буквы, цифры, знаки препинания, знаки операций и т. д.). Такие множества обычно называют алфавитом.

Слова длины n в алфавите А – это элементы множества . Множество всех слов в алфавитеА – это множество

Здесь слово определено как вектор. При написании слова не принято пользоваться разделителями: скобками, запятыми; они могут оказаться символами самого алфавита. Поэтому слово в алфавите обозначается как конечная последовательность символов из алфавита А.

Примеры:

1) Десятичное число – слово в алфавите цифр {0, 1, 2, 3, ... , 9}.

2) Текст, отпечатанный на машинке – слово в алфавите, определяемом клавиатурой этой машинки.

Теорема (о мощности прямого произведения множеств).

Пусть  конечные множества и _{, , ... ,} . Тогда мощность множестваравна произведению мощностей множеств:

.

Следствие: _.

Эта теорема и ее следствие лежат в основе очень многих комбинаторных фактов.

Проекцией вектора длины n на i-ю ось называется его i-я координата (обозначение: ).

Проекцией вектора на оси с номерами называется вектордлиныk (обозначение: ).

Пусть V – множество векторов одинаковой длины.

Проекцией множества векторов V на i-ось называется множество проекций всех векторов из V на i-ось: (обозначение: .

Проекция множества векторов V на оси с номерами :

.

В частности, если , то ₌.

В общем случае  вовсе не обязательно прямое произведение, оно может быть и подмножеством.

Примеры:

1) Проекция точки плоскости на 1-ю ось – абсцисса, на 2-ю ось – ордината.

2) Дано множество векторов ;

,

,

,

, ,

.

3) . Чему равна? Ее найти нельзя, так как заданное множествоV- множество векторов разной длины, в отношении которых никаких определений не было сделано.