- •Дискретная математика
- •Содержание
- •Глава 1. Теория множеств. Дискретная теория вероятности......5
- •Глава 2. Теория графов.....................................................................50
- •Глава 3. Дискретные структуры: конечные автоматы, коды...73
- •Глава 4. Алгебра логических функций..........................................85
- •Глава 5. Логика высказываний и логика предикатов..............106
- •Упражнения
- •1.2. Векторы и прямые произведения множеств. Проекция вектора на ось
- •Упражнения
- •1.3. Комбинаторика Правило суммы
- •Правило произведения
- •Число размещений без повторений
- •Число размещений с повторениями
- •Число перестановок без повторений
- •Число сочетаний без повторений
- •Упражнения
- •1.4. Введение в дискретную теорию вероятностей
- •Свойства элементарных событий:
- •Соотношения между событиями:
- •Свойства операций над событиями:
- •Аксиомы Колмогорова
- •Свойства вероятности
- •Классическое определение вероятности
- •Упражнения
- •1.5. Соответствия и функции
- •Взаимно однозначные соответствия и мощность множеств
- •Упражнения
- •1.6. Отношения
- •Способы задания бинарных отношений
- •Свойства бинарных отношений
- •Отношение эквивалентности
- •Отношение порядка
- •Лексико-графический порядок.
- •Упражнения
- •1.7. Операции и алгебры
- •Свойства бинарных алгебраических операций
- •1.8. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр
- •Полугруппы, группы, решетки
- •Упражнения
- •Глава 2. Теория графов
- •2.1. Основные определения, способы задания, основные классы, изоморфизм графов
- •Способы задания графа
- •Степени вершин графа
- •Части, суграфы и подграфы
- •Операции над частями графа
- •Графы и бинарные отношения
- •Упражнения
- •Маршруты, цепи и циклы. Расстояния, диаметры, центры. Обходы. Разделяющие множества и разрезы
- •Упражнения
- •Деревья, их свойства. Характеристические числа графов. Сети
- •Упражнения
- •Глава 3. Дискретные структуры: конечные автоматы, коды
- •3.1. Машина Тьюринга
- •Упражнения
- •Основы теории кодирования
- •Упражнения
- •Глава 4. Алгебра логических функций
- •4.1. Основные определения
- •Упражнения
- •4.2. Эквивалентные преобразования
- •1) ; 2);
- •1) ; 2).
- •Упражнения
- •4.3. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
- •Упражнения
- •4.4. Дизъюнктивные нормальные формы и импликанты
- •Упражнения
- •4.5. Минимизация днф. Тупикова днф
- •Упражнения
- •4.6. Алгебра Жегалкина
- •Упражнения
- •4.7. Двойственность
- •Принцип двойственности
- •Упражнения
- •4.8. Функциональная полнота систем
- •Упражнения
- •Глава 5. Логика высказываний и логика предикатов
- •5.1. Логика высказываний
- •Алгебра логики
- •Исчисление высказываний
- •Упражнения
- •5.2. Логика предикатов
- •Упражнения
- •Глава 6. Схемы переключателей. Комбинационные схемы
- •Схемы переключателей
- •Комбинационные схемы
- •Упражнения
- •Литература
- •650043, Кемерово, ул. Красная, 6.
Упражнения
1. Привести функцию, заданную булевой формулой, к полиному Жегалкина. Проверить, обладает ли она свойством линейности.
;
;
;
;
;
;
.
2. Привести функцию к полиному Жегалкина. Проверить, обладает ли она свойством линейности.
;
;
;
;
.
Получить суперпозицию линейных функций f(x, y, z), g(x, y, z), h(x, y, z). Убедится в том, что полученная суперпозиция будет линейной функцией, где ;;.
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
4.7. Двойственность
Функция называется двойственной функцией к функции .
Чтобы получить двойственную функцию из исходной, надо каждой переменной придать отрицание на самом нижнем уровне формулы, затем общее отрицание всей формуле (на самом верхнем уровне) и привести к ДНФ (упростить).
У двойственной функции на противоположных наборах принимаются противоположные значения: если , то .
Функция называется самодвойственной, если .
Самодвойственными являются функции .
Вектор-столбец самодвойственной функции антисимметричен относительно своей середины (при лексикографическом порядке аргументов).
Принцип двойственности
Если в формуле F, представляющей функцию f все знаки функций заменить на знаки двойственных функций, то получится формула , представляющая функцию, двойственную кf.
Пример. Получить функцию, двойственную к с помощью определения двойственной функции. Выяснить, является ли функция самодвойственной.
.
.
Вывод: функция не самодвойственна.
Упражнения
Получить функцию, двойственную к с помощью определения двойственной функции. Выяснить, является ли функция самодвойственной.
;
;
;
.
2. Получить функцию, двойственную к с помощью принципа двойственности. Выяснить, является ли функция самодвойственной.
;
;
;
;
.
Построить ДНФ двойственной функции, к функции, заданной своим вектор-столбцом.
x |
y |
z |
f |
g |
h |
p |
q |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
4. Определить по вектор-столбцу, является ли функция самодвойственной. Если функция не самодвойственная, то
а) построить ДНФ двойственной функции, к функции, заданной своим вектор-столбцом;
б) по первой половине вектор-столбца функции доопределить самодвойственную функцию и выписать ее ДНФ.
x |
y |
z |
f |
g |
h |
p |
q |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |