Алгебра логики

Алгебра логики рассматривает логические формулы как алгебраические выражения, которые можно преобразовать по определенным правилам. Знаки операций обозначают логические операции (логические связки).

В формулах алгебры логики переменные – это высказывания. Они принимают только два значения – ложь и истина, которые обозначаются либо 0 и 1, либо Л и И, либо false и true.

Каждая формула задает логическую функцию: функцию от логических переменных, которая сама может принимать только два логических значения.

Таблица функций одной переменной:

	Константа 0:	Тождество:	Отрицание:	Константа 1:
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

Таблица функций двух переменных , соответствующих основным логическим связкам:

		Дизъюнкция	Конъюнкция	Импликация	Эквивалентность (равнозначность)	Неравнозначность (сложение по модулю 2)	Штрих Шеффера (НЕ – И)	Стрелка Пирса (НЕ – ИЛИ)
0	0	0	0	1	1	0	1	1
0	1	1	0	1	0	1	1	0
1	0	1	0	0	0	1	1	0
1	1	1	1	1	1	0	0	0

Значение любой логической формулы, содержащей знаки этих функций, на заданном наборе значений переменных можно вычислить, используя эти таблицы.

Интерпретацией формулы логики высказываний называется набор значений высказываний, входящих в нее.

Формула F называется тождественно истинной или тавтологией, если она принимает значение «истина» независимо от значений входящих в нее высказывательных переменных. Формула F называется выполнимой, если при некоторых значениях ее высказывательных переменных она принимает значение «истина». Такой набор значений высказывательных переменных называется моделью формулы F.

Исчисление высказываний

Пусть интерпретация определена на всех высказывательных переменных, встречающихся в формулах множества. Говорят, что выполняет или модель , если каждая формулаизпринимает значение «истина», при интерпретации. Говорят, чтовыполнимо, если имеет модель. Еслине выполнимо, то пишут=.

Пусть – множество формул логики высказываний,А – произвольная формула. Говорят, что множество логически влечет формулуА, если любая модель являются моделью дляА и обозначается = А.

Утверждение того, что некоторое высказывание (заключение) следует из других высказываний (посылок), называется аргументом. Аргумент часто представляют в виде:

... гипотезы

заключение

Аргумент называется правильным, если из множества гипотез логически следует заключение аргумента.

Второе правило исчисления высказываний: Modus Ponens.

Правило Modus Ponens: , т.е.

«Если , то; ноистинно, следовательно, истинно_».

Упражнения

1. Приведите примеры истинных и ложных высказываний из биологии, географии, физики, истории, математики, литературы.

2. Из данных предложений выберите те, которые являются высказываниями, обоснуйте выбор.

1) Коля спросил: «Который час»?

2) Как пройти в библиотеку?

3) Картины Пикассо слишком абстрактны.

4) Решение задачи – информационный процесс.

5) Число 2 является делителем числа 7 в некоторой системе счисления.

3. Выберите истинные из данных высказываний:

1) Город Лондон – столица Великобритании.

2) Число 3 является делителем числа 9.

3) Город Стокгольм – столица Германии.

4) Клавиатура – средство ввода информации.

5) Число 8 кратно 3.

6) Принтер – средство вывода информации.

7) Меню в программе – список возможных вариантов.

8) Для всех х из области определения верно, чтох+2 > 0.

9) II+VI > VIII.

4. В приведенных предложениях вместо многоточия поставьте подходящие по смыслу слова: «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». Обозначив часть предложения до многоточия за А, а часть после многоточия за В, записать формализованное высказывание, используя подходящую логическую связку.

1) Для того, чтобы число делилось на 4, ... чтобы оно было четным.

2) Что бы число делилось на 3, ... что оно делилось на 9.

3) Для того чтобы число делилось на 10, ... чтобы оно оканчивалось на 0.

4) Чтобы произведение двух чисел равнялось 0, ... чтобы каждое из них равнялось 0.

5) Чтобы произведение двух чисел равнялось 0, ... чтобы хоть одно из них равнялось 0.

6) Чтобы умножить сумму нескольких чисел на какое-либо число, ... каждое слагаемое умножить на это число и полученные произведения сложить.

7) Чтобы произведение нескольких чисел разделить на какое-либо число, ... разделить на это число только один сомножитель, и полученное частное умножить на остальные сомножители.

8) Для того, чтобы сумма двух чисел была четной, ... чтоб каждое из них было четным числом.

9) Для того, чтобы число делилось на 10, ... чтобы оно делилось на 5.

10) Для того, чтобы число делилось на 6, ... чтобы оно делилось на 2 и на 3.

11) Для того, чтобы число делилось на 12, ... чтобы оно делилось на 2 и на 3.

12) Чтобы четырехугольник был квадратом, ... чтоб все его стороны были равны.

5. Формализовать сложное высказывание: разбить его на простые высказывания и связать их подходящими логическими связками.

1) Число 376 четное и трехзначное.

2) Зимой дети катаются на коньках или лыжах.

3) Новый год мы встретим на даче или на Красной площади.

4) Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.

5) Если сейчас не солнечно, то пасмурно.

6) Земля имеет форму шара, который из космоса кажется голубым.

7) На уроке математики старшеклассники отвечали на вопросы учителя, а также писали самостоятельную работу.

8) Если вчера было воскресенье, то Дима не был в школе и весь день гулял.

9) Если сумма цифр натурального числа делится на 3, то и число делится на 3.

10) Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

6. Постройте отрицание следующих выражений.

1) Сегодня в театре идет опера «Евгений Онегин».

2) Число 2 есть простое число.

3) Число 3 – составное.

4) Каждый охотник желает знать, где сидит фазан.

5) Натуральные числа, оканчивающиеся на 0, являются простыми.

6) Неверно, что число 3 не является делителем числа 198.

7) Коля решил все задачи контрольной работы.

8) Неверно, что любое число, оканчивающееся на 4 делится на 4.

9) Во всякой школе некоторые ученики интересуются спортом.

10) Некоторые млекопитающие не живут на суше.

7. Являются ли отрицанием друг друга высказывания А и В.

1) А – «он мой друг»; В – «он мой враг».

2) А – «дом большой»; В – «дом небольшой».

3) А – « х > 2 »; В – « х  2 ».

4) А – «две карты красные»; В – «две карты черные».

5) А – «две карты разные»; В – «две карты одинаковые».

6) А – «студент - девушка»; В – «студент - юноша».

7) А – «число четное»; В – «число нечетное».

8) А – «число положительное»; В – «число отрицательное».

9) А – «студент курит и живет в общежитии»; В – «студент не курит и не живет в общежитии».

10) А – « х ≤ 3»; В – « х > 3 ».

11) А – «»; В – «».

12) А – «»; В – «».

13) А – «»; В – «».

8. А – «Число 5 простое»; В – «Луна – спутник Венеры». Выразить обычным языком составные высказывания. Определите их истинность.

1) ;	4) ;	7) ;	10) ;
2) ;	5) ;	8) ;	11) ;
3) ;	6) ;	9) ;	12) .

9. Какие из составных высказываний истинные.

1) У розы шипы и трава зеленая.

2) У розы шипы или трава красная.

3) Если у розы шипы, то трава красная.

4) Если трава красная, то у розы шипы.

5) Если трава синяя, то Земли спутник Луны.

6) Земля спутник Луны тогда и только тогда, когда трава красная.

7) Земля спутник Луны или Луна спутник Земли.

8) Неверно, что Земля спутник Луны и у розы шипы.

10. Для высказываний А и В определить истинность с семантический смысл и истинность составного высказывания:

1) A – Иван водит машину (истинно); В – мы без проблем доберемся до дома.

; .

2) A – Лариса любит гонять на мотоцикле; В – быстро ездить опасно; С – жизнь Ларисы в опасности.

; .

11. Являются ли следующие формулы выполнимыми Тождественно истинными Перечислить множество всех моделей формулы F.

1) ; 3); 5);

2); 4); 6).

12. Выполнимо ли множество формул:

1) ; 3);

2) ; 4).

13. Верно ли, что

1)=; 3)=;

2)=; 4)=.

14. Выяснить, являются ли следующие рассуждения логически правильными. Для этого представить каждое предложение в виде формулы и проверить, является ли заключение логическим следствием посылок.

1) Если Джон – коммунист, то Джон – атеист. Джон – атеист. Следовательно, Джон – коммунист.

2) Если этот курс хорош, то он полезен. Или экзаменатор снисходителен, или этот курс бесполезен. Но экзаменатор не снисходителен. Следовательно, этот курс плох.

3) Для того, чтобы перейти на следующий курс, достаточно сдать этот предмет по крайней мере на 3. Я сдам этот предмет лишь в том случае, если разберусь с доказательством теоремы. Но я не в состоянии разобрать доказательство этой теоремы. Следовательно, я перейду на следующий курс.

15. Определить, какие из следующих аргументов являются правильными:

1) 2)3)4)