- •Дискретная математика
- •Содержание
- •Глава 1. Теория множеств. Дискретная теория вероятности......5
- •Глава 2. Теория графов.....................................................................50
- •Глава 3. Дискретные структуры: конечные автоматы, коды...73
- •Глава 4. Алгебра логических функций..........................................85
- •Глава 5. Логика высказываний и логика предикатов..............106
- •Упражнения
- •1.2. Векторы и прямые произведения множеств. Проекция вектора на ось
- •Упражнения
- •1.3. Комбинаторика Правило суммы
- •Правило произведения
- •Число размещений без повторений
- •Число размещений с повторениями
- •Число перестановок без повторений
- •Число сочетаний без повторений
- •Упражнения
- •1.4. Введение в дискретную теорию вероятностей
- •Свойства элементарных событий:
- •Соотношения между событиями:
- •Свойства операций над событиями:
- •Аксиомы Колмогорова
- •Свойства вероятности
- •Классическое определение вероятности
- •Упражнения
- •1.5. Соответствия и функции
- •Взаимно однозначные соответствия и мощность множеств
- •Упражнения
- •1.6. Отношения
- •Способы задания бинарных отношений
- •Свойства бинарных отношений
- •Отношение эквивалентности
- •Отношение порядка
- •Лексико-графический порядок.
- •Упражнения
- •1.7. Операции и алгебры
- •Свойства бинарных алгебраических операций
- •1.8. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр
- •Полугруппы, группы, решетки
- •Упражнения
- •Глава 2. Теория графов
- •2.1. Основные определения, способы задания, основные классы, изоморфизм графов
- •Способы задания графа
- •Степени вершин графа
- •Части, суграфы и подграфы
- •Операции над частями графа
- •Графы и бинарные отношения
- •Упражнения
- •Маршруты, цепи и циклы. Расстояния, диаметры, центры. Обходы. Разделяющие множества и разрезы
- •Упражнения
- •Деревья, их свойства. Характеристические числа графов. Сети
- •Упражнения
- •Глава 3. Дискретные структуры: конечные автоматы, коды
- •3.1. Машина Тьюринга
- •Упражнения
- •Основы теории кодирования
- •Упражнения
- •Глава 4. Алгебра логических функций
- •4.1. Основные определения
- •Упражнения
- •4.2. Эквивалентные преобразования
- •1) ; 2);
- •1) ; 2).
- •Упражнения
- •4.3. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
- •Упражнения
- •4.4. Дизъюнктивные нормальные формы и импликанты
- •Упражнения
- •4.5. Минимизация днф. Тупикова днф
- •Упражнения
- •4.6. Алгебра Жегалкина
- •Упражнения
- •4.7. Двойственность
- •Принцип двойственности
- •Упражнения
- •4.8. Функциональная полнота систем
- •Упражнения
- •Глава 5. Логика высказываний и логика предикатов
- •5.1. Логика высказываний
- •Алгебра логики
- •Исчисление высказываний
- •Упражнения
- •5.2. Логика предикатов
- •Упражнения
- •Глава 6. Схемы переключателей. Комбинационные схемы
- •Схемы переключателей
- •Комбинационные схемы
- •Упражнения
- •Литература
- •650043, Кемерово, ул. Красная, 6.
Упражнения
Повторение
Упростить формулу с помощью эквивалентных преобразований. Получить дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ). Привести формулу к СДНФ путем расщепления.
;
;
.
Разложить функцию по переменной х; у; z.
;
;
.
Перейти от ДНФ к конъюнктивной нормальной форме (КНФ). Построить СКНФ (совершенную конъюнктивную нормальную форму) путем расщепления.
;
;
;
;
;
.
Построить СКНФ с помощью вектор-столбца.
;
;
;
.
4.4. Дизъюнктивные нормальные формы и импликанты
Функция f имплицирует функцию g, если .
Замечание: Если , то.
Если f имплицирует g, и f представлена единственной элементарной конъюнкцией, то f называется импликантом g.
Если из импликанта нельзя удалить ни одной переменной, то оно называется простым импликантом.
Теорема
Если функция представима единственной элементарной конъюнкцией
– всех n переменных, то ;
– переменных, то .
Пример.
Пусть . Она принимает значение 1 тогда и только тогда, когдаx = 1, y = 1, z = 1. Значит .
Пусть . Она принимает значение 1 тогда и только тогда, когдаy = 0, z = 1. Значит, чему равняется переменная х – неважно, и она может принимать любые значения. Поэтому .
Утверждение 1. Представление функции в виде ДНФ соответствует представлению ее единичного множества в виде объединения единичных множеств входящих в эту ДНФ элементарных конъюнкций.
Пример. Пусть функция представлена своей ДНФ.
.
Тогда ее единичное множество может быть представлено в виде:
.
Получилось, что .
Утверждение 2. Любая конъюнкция ДНФ функции является импликантом данной функции.
Утверждение 3. Если конъюнкция ДНФ функции не является простым импликантом, то можно найти соответствующий ей простой импликант (импликанты) и заменить им (их дизъюнкцией) непростой импликант.
ДНФ, состоящая только из простых импликантов, называется сокращенной.
Пример. Пусть функция представлена своей ДНФ.
.
Тогда ее единичное множество имеет вид:
.
Очевидно, что – это простой импликант. Он состоит из одной буквы, и если ее вычеркнуть, получится вырожденная конъюнкция (конъюнкция не имеющая переменных), что возможно только в случае, если.
Проверим, будет ли простым импликант .
Вычеркнем из него переменную х. Получим конъюнкцию . Ее единичное множество содержит 2 набора:, то естьпо-прежнему является импликантомf. Значит – не простой импликант.
В свою очередь, полученный импликант является простым, так как вычеркивать из него буквы нельзя. Нельзя вычеркнуть– так как оставшаяся переменнаяz имеет единичное множество, содержащее 4 вектора с последней 1, а в таких векторов только 3;z – так как оставшаяся переменная имеет единичное множество, содержащее 4 вектора с 0 на втором месте, а втаких векторов только 3.
Значит, импликант – простой и им можно заменить в ДНФ исходный импликант.
Вычеркнем из k переменную . Получим конъюнкцию . Ее единичное множество содержит 2 набора:, то естьуже не является импликантомf.
Вычеркнем из него переменную z. Получим конъюнкцию . Ее единичное множество содержит 2 набора:, то естьтакже не является импликантомf.
Таким образом, ДНФ вида является сокращенной.