- •Дискретная математика
- •Содержание
- •Глава 1. Теория множеств. Дискретная теория вероятности......5
- •Глава 2. Теория графов.....................................................................50
- •Глава 3. Дискретные структуры: конечные автоматы, коды...73
- •Глава 4. Алгебра логических функций..........................................85
- •Глава 5. Логика высказываний и логика предикатов..............106
- •Упражнения
- •1.2. Векторы и прямые произведения множеств. Проекция вектора на ось
- •Упражнения
- •1.3. Комбинаторика Правило суммы
- •Правило произведения
- •Число размещений без повторений
- •Число размещений с повторениями
- •Число перестановок без повторений
- •Число сочетаний без повторений
- •Упражнения
- •1.4. Введение в дискретную теорию вероятностей
- •Свойства элементарных событий:
- •Соотношения между событиями:
- •Свойства операций над событиями:
- •Аксиомы Колмогорова
- •Свойства вероятности
- •Классическое определение вероятности
- •Упражнения
- •1.5. Соответствия и функции
- •Взаимно однозначные соответствия и мощность множеств
- •Упражнения
- •1.6. Отношения
- •Способы задания бинарных отношений
- •Свойства бинарных отношений
- •Отношение эквивалентности
- •Отношение порядка
- •Лексико-графический порядок.
- •Упражнения
- •1.7. Операции и алгебры
- •Свойства бинарных алгебраических операций
- •1.8. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр
- •Полугруппы, группы, решетки
- •Упражнения
- •Глава 2. Теория графов
- •2.1. Основные определения, способы задания, основные классы, изоморфизм графов
- •Способы задания графа
- •Степени вершин графа
- •Части, суграфы и подграфы
- •Операции над частями графа
- •Графы и бинарные отношения
- •Упражнения
- •Маршруты, цепи и циклы. Расстояния, диаметры, центры. Обходы. Разделяющие множества и разрезы
- •Упражнения
- •Деревья, их свойства. Характеристические числа графов. Сети
- •Упражнения
- •Глава 3. Дискретные структуры: конечные автоматы, коды
- •3.1. Машина Тьюринга
- •Упражнения
- •Основы теории кодирования
- •Упражнения
- •Глава 4. Алгебра логических функций
- •4.1. Основные определения
- •Упражнения
- •4.2. Эквивалентные преобразования
- •1) ; 2);
- •1) ; 2).
- •Упражнения
- •4.3. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
- •Упражнения
- •4.4. Дизъюнктивные нормальные формы и импликанты
- •Упражнения
- •4.5. Минимизация днф. Тупикова днф
- •Упражнения
- •4.6. Алгебра Жегалкина
- •Упражнения
- •4.7. Двойственность
- •Принцип двойственности
- •Упражнения
- •4.8. Функциональная полнота систем
- •Упражнения
- •Глава 5. Логика высказываний и логика предикатов
- •5.1. Логика высказываний
- •Алгебра логики
- •Исчисление высказываний
- •Упражнения
- •5.2. Логика предикатов
- •Упражнения
- •Глава 6. Схемы переключателей. Комбинационные схемы
- •Схемы переключателей
- •Комбинационные схемы
- •Упражнения
- •Литература
- •650043, Кемерово, ул. Красная, 6.
Упражнения
1. Определите свойства соответствий между множествами и . Какие из них являются функциями типа
1) ; 3);
2) ; 4).
2. Соответствие задано рисунком. Определить свойства соответствия. Является ли оно функцией, отображением?
Рис 1. Рис.2. Рис.3.
Для рис. 1 определить:
1) образ 2; 2) образ 4; 3) образ [2; 4]; 4) образ (2; 4]; 5) прообраз 2; 6) прообраз 4; 7) прообраз [2;4]; 8) прообраз (0;4).
Для рис. 2 определить:
1) образ 2; 2) образ 4; 3) образ [2; 4]; 4) образ (4; 6]; 5) прообраз 0; 6) прообраз 4; 7) прообраз [0;4]; 8) прообраз (0;4).
Для рис. 3 определить:
1) образ 2; 2) образ 4; 3) образ [2; 4]; 4) образ (0; 4]; 5) прообраз 2; 6) прообраз 4; 7) прообраз [2;4]; 8) прообраз (2;4).
3. Определите свойства соответствий между множествами и. Какие из них являются функциями типа
1) ; 3);
2) ; 4).
Определите, какие из следующих подмножеств множестваявляются функциями. Объясните свой ответ.
1) ,,
2) ,
Пусть , – функции . Найдите:
1) ; |
|
3) ; |
2) ; |
|
4) . |
Дано множество и два преобразования этого множества (т.е. функции типа ):
и
или, как обычно принято записывать преобразования конечных множеств:
и .
Найти композиции преобразований: и .
7. Найти композиции преобразований: и , если
1) и ;
2) и ;
3) и .
Пусть тип функции . Для различных А, В и f определить область определения и область значения. Будут ли у этих функций обратные? Если да, то будут ли они отображениями. Сделайте вывод о том, какими свойствами должна в этом случае обладать функция.
1) , если а)А=R; В=R; б) A=N; В=N.
2) , если а)А=R+; В=R; б) A=N0; В=N.
3) , если а)А=R; В=R; б) A=R+; В=R.
4) , если а)А=R; В=R; б) A=R+; В=R+.
5), если а)А=R; В=R;
б) A=;В=[0; 1].
Определить область определения и область значений композиций и.
1) ;; г);;
2) ;; д);;
3) ;; е);.
10. Найти композиции преобразований: и , если
1) и ;
2) и;
3) и .
11. Найти композиции ,,и, еслии функции типа .
1) =;
2) =;
3) =;
4) =.
1.6. Отношения
Подмножество называетсяn - местным отношением на множестве М. Говорят, что находится в отношенииR, если .
Одноместное отношение – это просто подмножество М. Такие отношения называют признаками: элемент а – обладает признаком R, если и.
Свойства одноместных отношений это свойства подмножеств М, поэтому для случая n = 1 термин “отношение” употребляется редко.
Примером трехместного (тернарного) отношения является множество троек нападающих в хоккейной команде. Любой из нападающих находится в этом отношении со всеми теми игроками, с которыми он играет в одной тройке (один нападающий может, вообще говоря, участвовать более, чем в одной тройке).
При n = 2 – отношения называются двуместными или “бинарными”. Если a, b находятся в отношении R, это записывается aRb.
Пусть дано отношение R на М. Для любого подмножества естественно определяется отношение, называемоесужением R на , которое получается из R удалением всех пар, содержащих элементы, не принадлежащие . Иначе говоря,. Строго говоря,R и это разные отношения с разными областями определения.