1.8. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр

Алгебры разного типа, очевидно, имеют существенно различное строение. Если же алгебры имеют одинаковый тип, то наличие у них сходства характеризуется с помощью вводимых ниже понятий гомоморфизма и изоморфизма.

Пусть даны две алгебры

и

одинакового типа, т. е. арности и;и;и– одинаковы.

Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В называется отображение –, удовлетворяющее условию:

(1)

для всех (– арность операцийи).

Смысл условия (1):

независимо от того, выполнена ли сначала операция в множествеK и затем произведено отображение Г, либо сначала произведено отображение Г, а затем в множестве M выполнена соответствующая операция , результат будет одинаков.

Изоморфизмом алгебры А на алгебру В называется взаимно однозначный гомоморфизм. В этом случае существует обратное отображение , так же взаимно однозначное.

Пусть ,. Тогда. Заменим в (1) левые части этих равенств на правые и применим к обеим частям получившегося равенства. Так как, то получим:

,

учитывая, что , получим

. (2)

Равенство (2) – это то же равенство (1) с заменой Г на , элементов множестваK на элементы множества М и переменой местами и. Иначе говоря,– это изоморфизмВ на А.

Утверждение 1:

Если существует изоморфизм А на В, то существует изоморфизм В на А; при этом алгебры А и В называются изоморфными.

Утверждение 2:

Мощности несущих множеств изоморфных алгебр равны (при гомоморфизме это равенство может не выполняться).

Автоморфизм на себя или автоморфизм – это гомоморфизм при условии, что А = В.

Изоморфизм в себя – изоморфизм .

Примеры:

1. Пусть – множество всех целых чисел;– множество всех четных чисел;

а) алгебры иизоморфны. Изоморфизмом является отображение, причем, условие (1) здесь имеет вид: 2 (a + b) = 2a + 2b. Поскольку , тоГ – изоморфизм алгебры в себя.

б) отображение является для алгебрыавтоморфизмом.

Условие (1) имеет вид:

.

в) отображение для алгебрыне является автоморфизмом, так как

.

2. Изоморфизмом между алгебрами иявляется отображение(– положительное подмножествоR).

Условие (1) имеет вид равенства:

.

3. Булевы алгебры Кантора B(U),) иB(),), образованные двумя различными множествамиU и одинаковой мощности, изоморфны. Операции у них просто одинаковы, а отображениемГ может служить любое взаимно однозначное соответствие между U и .

Утверждение 3:

Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр:

– рефлексивность отношения изоморфизма очевидна;

– симметричность следует из существования обратного изоморфизма;

– транзитивность устанавливается следующим образом: если – изоморфизмА на В, – изоморфизмВ на С, то изоморфизмом А на С будет композиция и.

Классами эквивалентности в разбиении по отношению изоморфизма являются классы изоморфных между собой алгебр. Понятие изоморфизма – одно из важнейших в математике. Его сущность, как видно из примеров можно выразить так: если алгебры А и В изоморфны, то элементы и операции в В можно переименовать так, что В совпадет с А.

Из условия (1) изоморфизма следует, что любое эквивалентное соотношение в алгебре А сохраняется в любой изоморфной ей алгебре . Это позволяет получить такие соотношения в алгебреА и автоматически распространить их на все алгебры, изоморфные А. Распространенное в математике выражение «рассматривать с точностью до изоморфизма» означает, что рассматриваются только те свойства объектов, которые сохраняются при изоморфизме, т. е. являются общими для всех изоморфных объектов.

В частности, изоморфизм сохраняет ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность.