Глава 4

37.Понятие автономной системы дифференциальных уравнений

Теория обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет изучать всевозможные эволюционные процессы, обладающие свойствами детерминированности, конечномерности и дифференцируемости. Процесс называется детерминированным, если весь его будущий ход и все его прошлое однозначно определяется состоянием в настоящее время. Множество всевозможных состояний процесса называется фазовым пространством.

Процесс называется конечномерным если его фазовое пространство конечномерно, т.е число параметров нужных для описания его параметров конечно.

Процесс называется дифференцируемым если его фазовое пространство имеет структуру дифференцируемого многообразия, а изменение состояния во времени описывается дифференцируемыми функциями.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной, если в нее явно не входит независимое переменное t. (или, как говорят, время)

(1.1)

Всякую систему можно свести к автономной.

Мы ограничимся изучением автономных нормальных систем уравнений порядка n, т.е. систем вида:

(1.1)

Автономность системы (1.1) заключается в том, что функции f_i(x₁,¼,x_n), i = 1,¼,n является функциями только переменных x₁,¼,x_n и не зависят от времени t.

38.Кинематическая интерпретация решений

Каждому решению

(1.2)

автономной системы (1.1) поставим в соответствие движение точки (j₁(t),...,j_n(t)) в n-мерном координатном пространстве (x₁,¼,x_n) задаваемое уравнениями (1.2). В процессе своего движения точка описывает некоторую кривую - траекторию движения. Если сопоставить решению (1.2) не процесс движения, а траекторию движения точки, то мы получаем менее полное представление о решении, поэтому на траектории принято указывать направление движения. Итак, кинематическая интерпретация решения автономной системы состоит в том, что решению сопоставляется траектория движения точки в координатном пространстве (x₁,¼,x_n) с указанием направления движения вдоль траектории.

39.Определение фазового пространства

Будем предполагать, что функции f_i(x₁,¼,x_n), i = 1,2,¼,n в системе (1.1) определены на некотором открытом множестве W пространства . Каждой точкев силу системы(1.1) соответствует вектор

проведенный в и выходящий из точки. Таким образом, автономной системе ставится в соответствие геометрический образ -векторное поле, заданное в области W.

Пространство размерности n, в котором интерпретируется решения автономной системы (1.1) в виде траекторий, а сама автономная система в виде векторного поля, называется фазовым пространством. Траектории называются фазовыми траекториями, векторы называютсяфазовыми скоростями.

Условие (*). Предположим, что фазовая скорость и ее частные производныенепрерывны в области.

Таким образом, существует решение системы(1.1), удовлетворяющее начальному условию

(1.3)

Связь между кинематической интерпретацией решений и интерпретацией самой автономной системы заключается в том, что скорость движения точки по траектории в каждый момент времени совпадает с фазовой скоростью, заданной в том месте пространства, где в этот момент находится движущаяся точка.