Глава 1

Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят явно производные искомых функций до некоторого порядка. Если неизвестными являются функции двух или более переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных. В противном случае, то есть если искомая функция зависит только от одного вещественного независимого переменного, уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Рассмотрим в первую очередь одно дифференциальное уравнение первого порядка. Общий вид такого уравнения следующий:

Здесь t - независимое переменное, x - неизвестная функция, зависящая от t. - ee производная.F - заданная функция трех вещественных переменных. (вещественных) переменных t, x, .

Уравнение (1.1) называется уравнением первого порядка потому, что в него входит лишь производная первого порядка от неизвестной функции x.

Решением уравнения (1.1) называется такая функция x = j(t) независимого переменного t, определения на некотором интервале r₁ < t < r₂ (случаи r₁ = -¥ и r₂ = + ¥ не исключаются), которая дифференцируема в каждой точке этого интервала и при подстановке ее вместо x в соотношение (1.1) мы получаем тождество (по t) на всем интервале r₁ < t < r₂.

Интервал r₁ < t < r₂ называется интервалом определения решения j(t).

Дифференциальное уравнение (1.2) называется разрешенным относительно производной или 2.уравнением нормального вида; Для того, чтобы пользоваться геометрическими представлениями и терминологией, введем в рассмотрение координатную плоскость R² переменных t и x. Функция f, определяющая дифференциальное уравнение (1.2), может быть задана не для всех значений своих аргументов t и x, т.е. не на всей плоскости R²(t,x), а лишь в точках некоторого множества D этой плоскости. Относительно множества D в дальнейшем всегда будем предполагать, что оно является открытым, а функция f является непрерывной относительно пары переменных t, x на всем множестве D.

График G_j={(t, j(t)), r₁ < t < r₂} решения x = j(t) уравнения (1.2) называется 3.интегральной кривой этого дифференциального уравнения.

Интегральная кривая представляет собой кривую в плоскости R² с уравнением x = j(t), имеющую в каждой точке касательную и полностью проходящую в открытом множестве D.

Итак, интегральная кривая - геометрическая интерпретация решения дифференциального уравнения. Возможна геометрическая интерпретация и самого уравнения (1.2). Именно, через каждую точку (t,x) множества D проведем прямую l_t,x с угловым коэффициентом f(t,x). Мы получаем 4.поле направлений, соответствующее уравнению (1.2), что и является геометрической интерпретацией этого уравнения.

5.Связь между геометрической интерпретацией уравнения и геометрической интерпретацией его решения заключается в том, что любая интегральная кривая x = j(t) в каждой своей точке (t,j(t)) касается прямой l_t,j(t).

6.Постановка задачи Коши

(1.3)