40.Свойства решений автономных систем

Пусть

(1.4)

- векторная запись автономной системы (1.1), причем вектор-функция удовлетворяет условиям (*).

Предложение 1.1.1 Если - решение уравнения(1.4), то , где C - константа, также есть решение уравнения(1.4).

Доказательство. Так как - решение, то мы имеем тождество

Заменяя здесь t на t + C, мы получаем:

C другой стороны, из правила дифференцирования сложной функции вытекает соотношение

Таким образом, получаем тождество

Предложение 1.1.2 Пусть и- два решения уравнения(1.4). Тогда фазовые траектории, соответствующие этим решениям, либо не пересекаются, либо совпадают. Именно, если траектории имеют хотя бы одну общую точку, т.е. найдутся такие t₁ и t₂, что

(1.5)

то

(1.6)

Последнее равенство показывает, что фазовые траектории, описываемые первым и вторым решениями, совпадают между собой, но первое решение описывает ту же самую траекторию, что и второе, с "запаздыванием" на время c. Если точка, соответствующая первому решению, достигла некоторого положения на траектории в момент времени t + c, то точка, соответствующая второму решению, уже побывала в этом положении в момент времени t.

Доказательство. Поскольку - решение, то в силу предложения 1.1.1 вектор-функция, гдеc = t₁ - t₂ также является решением (1.4). При этом в силу равенства (1.5) мы имеем:

Таким образом, решения иуравнения(1.4) имеют общие начальные условия (их значения в момент времени t₂ совпадают) и поэтому в силу теоремы единственности совпадают, так что, мы имеем: .

Предложение 1.1.3 Пусть

(1.7)

- некоторое решение уравнения (1.4). Допустим, что имеет место равенство

(1.8)

где числа t₁ и t₂, разумеется, принадлежат интервалу r₁ < t < r₂ определения решения (1.7). Оказывается, что при этом условии решение (1.7) может быть продолжено на весь бесконечный интервал -¥ < t < +¥. Поэтому мы сразу будем считать, что решение (1.7) определено на всей оси -¥ < t < +¥. Далее, оказывается, что возможны два взаимно исключающих случая.

i) Для всех значений t имеет место равенство

где - точка множестваW, не зависящая от t. Таким образом, в этом случае фазовая траектория представляет собой неподвижную точку. Само решение (1.7) и точка в этом случае называется положением равновесия системы(1.4).

ii) Существует такое положительное число T₀, что при произвольном t имеет место равенство

но при | t₁ - t₂| < T₀ имеет место неравенство

В этом случае решение (1.7) называется периодическим с периодом T₀, и его фазовая траектория называется замкнутой траекторией или циклом.

Кратко предложение 1.1.3 можно резюмировать так: имеется три сорта фазовых траекторий: 1) 41.положение равновесия; 2) 42.периодические траектории (циклы); 3) траектории без самопересечений.

Таким образом, через каждую точку области W задания системы (1.4) проходит траектория, изображающая решение системы. Поэтому, вся область W заполнена траекториями, причем, согласно предложению 1.1.2, траектории эти попарно не пересекаются. Среди всех траекторий особо выделяются самопересекающиеся, которые являются либо положениями равновесия, либо циклами. Эти два сорта траекторий имеют важное значение.

Предложение 1.1.4 Для того, чтобы точка множестваW была положением равновесия системы (1.4), то есть чтобы имелось решение системы, для которого

необходимо и достаточно, чтобы фазовая скорость в точкебыла равна нулю. Таким образом, для отыскания всех положений равновесия системы(1.4) нужно решить систему уравнений: