12.Уравнения в полных дифференциалах

Рассмотрим уравнение вида

h(t, x)dx + g(t, x)dt = 0

(1.12)

Предполагается, что функции g(t,x) и h(t,x) определены и непрерывны на некотором открытом множестве D. Уравнение (1.12) называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть равенства (1.12) представляет собой полный дифференциал некоторой функции F(t,x) на всем множестве D, т.е.

h(t, x)dx + g(t, x)dt = (∂F/∂x)dx + (∂F/∂t)dt = dF(t, x) (1.13)

Таким образом,

∂F(t, x)/∂x = h(t, x), ∂F(t, x)/∂t = g(t, x) (t, x)D (1.14)

Теорема

Для каждого решения x = j(t) уравнения (1.12) имеет место тождество

Обратно, каждая функция x = j(t), заданная на некотором интервале и определяемая как неявная функция из уравнения

(1.15)

(C - произвольная постоянная), является решением дифференциального уравнения (1.12).

Замечание: (1.15) называется общим интегралом (1.12)

Док-во: Пусть x = j(t) - решение уравнения (1.12) с интервалом определения a < t < b. Тогда мы имеем, что

h(t, ц(t))d(ц(t)) + g(t, ц(t))dt = 0

В силу (1.14) тогда имеем

(∂F/∂ц)d(ц(t)) + (∂F/∂t)dt = 0

т.е. dF(t, ц(t)) = 0

(1.16)

Обратно, предположим что x = j(t) есть решение уравнения (1.15), определенное на некотором интервале, так что

dF(t, (t)) = 0

(∂F/∂ц)d(ц(t)) + (∂F/∂t)dt = 0

Дифференцируя (1.16) тождество по t, мы в силу (1.14) получаем:

h(t, ц(t))d(ц(t)) + g(t, ц(t))dt = 0

Алгоритм решения

1. Выбираем F(t, x) так, чтобы удовлетворялось условие (1.14)

F(t, x) = (*)

– произвольная функция

2. 

= g(t, x)

3. Подставим в (*)

F(t,x)=

В некоторых случаях, когда левая часть уравнения (1.12) не является полным дифференциалом, легко удается подобрать такую функцию m(t,x), после умножения на которую левая часть уравнения (1.12) превращается в полный дифференциал

- интегрирующий множитель

Если функции m, h и g непрерывно дифференцируемы в D, то из (1.18) следует равенство

15.Теорема Осгуда о единственности

Если функция f(t, x) для любой пары точек (t, x₁) и (t, x₂) из области D удовлетворяет условию Липшица

N(5.1)

то через каждую точку (t₀, x₀)

D проходит не больше одной интегральной кривой уравнения x’ = f(t, x)

Доказательство

Пусть существует x₁, x₂ таких, что x₁(t₀) = x₂(t₀)= x_0. Будем считать, что t₀ = 0 tt + t₀

x₂(t) - x₁(t) = z(t) так, как x₂(t) + x₁(t), то найдется какое-то t₁, что z(t₁)0

Можно считать, что z(t₁) > 0 z = x₁ - x₂

Также можно считать, что dz/dt =d(x₂ - x₁)/dt = N(x₂ - x₁) (5.2)

Построим решение x(t) уравнения dx/dt = Nx

x = c, которое при t = t₁ обращается в z₁ = z(t₁)

Из неравенства z’(t₁) < N z(t₁) = Nx(t₁) = x’(t₁) следует, что существует такой интервал (t – 1t1) для любого> 0 на котором z(t) > x(t)

Это же неравенство имеет место если 0 < < t1

При t = t1 – = t2 получим

z’(t₂) x’(t₂) = Nx(t₂) =Nz(t2)

с другой стороны

z’(t₂) < N z(t₂)

Получаем при всяком t

0 t1 z(t)x(t) > 0

в частности z(0) > 0 получили противоречие.