20.Свойства функции

Предложение 2.1.4 Пусть функция w_r(t) действительного переменного t определяется по формуле

(2.26)

где - дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами;l - комплексное число, r ³ 0 - целое число.

Если l - k - кратный корень многочлена L(p), то функции w₀(t),w₁(t),¼,w_k-1(t) тождественно равны нулю. Обратно, если функции w₀(t),w₁(t),¼,w_k-1(t) равны нулю хотя бы для одного значения t = t₀, т.е.

(2.27)

то l есть корень многочлена L(p) и кратность этого корня не меньше k.

Доказательство. В силу формулы смещения (2.25) мы имеем

(2.28)

Предположим, что l - корень многочлена L(p) кратности k. Тогда

и, следовательно,

(2.29)

В силу формулы (2.28) тогда получаем, что

Так как, очевидно, приr £ k - 1, то первая часть предложения доказана.

Предположим теперь, что имеют место соотношения (2.27). Разлагая выражение L(p + l) по степеням p, получим:

(2.30)

В силу формул (2.30) и (2.28) мы имеем:

(2.31)

Таким образом,

и, следовательно, b₀ = 0. Далее, и, значит,b₁ = 0. Допустим, что имеют место равенства:

(2.32)

и, докажем, что b_r = 0. Из (2.31) и (2.32) следует:

Из условий (2.27) отсюда следует

br = 0.

Таким образом, и, следовательно, многочленL(p + l) имеет вид

Из этого равенства следует представление

а это означает, что число l есть корень многочлена L(p), причем его кратность не меньше k. Предложение доказано.

Сформулируем теперь основное утверждение данного раздела.

21.Представление общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами в случае кратных корней характеристического уравнения

Случай кратных корней характеристического уравнения

Если характеристический многочлен

уравнения

L(p)z = 0

(2.24)

имеет кратные корни, то среди функций вида e^lt нельзя найти n различных решений уравнений (2.24). Как будет показано ниже, если l - корень характеристического многочлена кратности k, то решениями уравнения (2.24) являются все функции

Теорема 2.1.2 Пусть

L(p)z = 0

(2.33)

- линейное однородное уравнение порядка n с постоянными коэффициентами. Пусть l₁,¼,l_m - совокупность всех попарно различных корней характеристического многочлена L(p) уравнения (2.33), причем кратность корня l_j равна k_j, так что k₁ + k₂ + ¼ + k_m = n. Положим

(2.34)

Тогда все функции (2.34) являются решениями уравнения (2.33) и поэтому при любых комплексных постоянных C₁,¼,C_n функция

(2.35)

также является решением этого уравнения. Решение вида (2.35) является общим в том смысле, что каждое решение уравнения (2.33) может быть получено по формуле (2.35) при надлежащем выборе констант C₁,¼,C_n. При этом константы C₁,¼,C_n однозначно определяются для каждого данного решения z.

Доказательство теоремы 2.1.2. Из предложения 2.1.4 немедленно следует, что функции в (2.34) являются решениями уравнения (2.33). Докажем теперь, что выбирая подходящим образом константы C₁,¼,C_n, мы можем по формуле (2.35) получить произвольное решение z_*(t) уравнения (2.33).

Итак, пусть z_* = z_*(t) - произвольное решение уравнения (2.33), определенное на некотором интервале r₁ < t < r₂ и пусть t₀ - некоторое число из этого интервала. Положим:

(2.36)

Теперь будем искать такие константы C₁,¼,C_n, чтобы решение вида (2.35) удовлетворяло тем же начальным условиям, что и заданное решение z_*(t). Тогда будем иметь z = z_* в силу теоремы единственности. Для определения констант C₁,¼,C_n мы получаем алгебраическую систему уравнений

(2.37)

Для того, чтобы система (2.37) была однозначно разрешима, достаточно, чтобы детерминант матрицы

(2.38)

был отличен от нуля. Покажем, что этот детерминант действительно не равен нулю. Для этого достаточно убедиться, что строки матрицы (2.38) линейно независимы. Допустим противное и пусть b₀, b₁,¼,b_n-1 - постоянные, не обращающиеся одновременно в нуль, такие что

и перепишем равенства (2.39) в виде

(2.40)

Равенства (2.40) для номеров j = 1,¼,k₁, в силу второй части предложения 2.1.4, дают, что число l₁ является корнем многочлена M(p) кратности, не менее, чем k₁. Точно также для j = k₁ + 1,¼,k₁ + k₂ равенства (2.40) дают, что l₂ есть, по меньшей мере, k₂-кратный корень многочлена M(p). Совокупность всех равенств (2.40) приводит нас к выводу, что (с учетом кратности) многочлен M(p) имеет не менее n корней, а это невозможно, так как степень многочлена M(p) не выше, чем n - 1. Таким образом, предложение о равенстве нулю детерминанта матрицы (2.38) привело нас к противоречию и, следовательно, однозначная разрешимость системы (2.37) установлена. Теорема полностью доказана.

Следствие 2.1.1 . Каждое решение z(t) уравнения (2.33) может быть представлено в виде:

где f_j(t), j = 1,¼,m - многочлен степени не выше k_j - 1. Многочлены f_j(t) определены однозначно решением z(t), так как их коэффициенты выражаются через константы интегрирования C₁,¼,C_m, которые в силу теоремы 2.1.2 определяются решением z(t) однозначно.