18.Выделение действительных решений

Пусть

(2.17)

- система из n линейно независимых комплексных векторов в n-мерном пространстве. Предположим, что система (2.17) вместе с каждым вектором содержит сопряженный ему вектор. Тогда вектор, определяемый формулой

(2.18)

является действительным тогда и только тогда, когда коэффициенты стоящие при сопряженных векторах сопряжены, а коэффициенты стоящие при действительных векторах, действительны.

Доказательство. Предположим для определенности, что система векторов (2.17) занумерована таким образом, что ее вектора удовлетворяют соотношениям:

(2.19)

Тогда вектор в силу(2.18) имеет вид

(2.20)

а комплексно сопряженный вектор имеет вид:

(2.22)

то из формул (2.20) и (2.21) следует, что = , то есть вектордействителен. Итак, в одну сторону утверждение доказано. Обратно, предположим, что вектордействителен, т.е.=. Тогда из формул(2.20) и (2.21) в силу линейной независимости векторов (2.17) вытекают соотношения (2.22). Предложение доказано.

Вернемся к задаче выделения действительных решений. Допустим, что коэффициенты многочлена L(p) в (2.10) действительны. Тогда комплексными корнями характеристического уравнения L(l) = 0 обязательно являются комплексно-сопряженные значения l и`l. Соответствующие решения e^lt и уравнения(2.10) сопряжены между собой. Если же корень l действителен, то и решение e^lt действительно. Таким образом в системе функций (2.11) наряду с каждым решением имеется и комплексно-сопряженное к нему. Для того, чтобы решение (2.12) уравнения (2.10) было действительным, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты, стоящие при комплексно-сопряженных решениях, были сопряжены, а коэффициенты при действительных решениях действительны.

Для доказательства введем вектора

(2.23)

Векторы ¹,¼,ⁿ линейно-независимы, так как определитель матрицы (2.15), столбцами которой являются данные вектора, отличен от нуля. Так как вектор действительный (речь ведь идет о том, чтобы выделить действительное решениеz_*(t)), а вектора ¹,¼,ⁿ удовлетворяют условиям предложения 2.1.2, то необходимость сформулированного выше утверждения следует из предложения 2.1.2. Достаточность легко проверяется непосредственно - если l₁ и l₂ - комплексно-сопряженные корни, а C₁ и C₂ - две комплексно-сопряженные константы, то функции C₁e^l₁^t и C₂e^l₂^t комплексно-сопряжены и поэтому их сумма действительна.

19.Формула смещения

Доказательству соответствующей теоремы предпошлем доказательство так называемой формулы смещения.

Предложение 2.1.3 Пусть L(p) - произвольный многочлен, l - произвольное комплексное число и f(t) - произвольная достаточное число раз дифференцируемая функция. Тогда имеет место следующая формула:

(2.25)

Доказательство. Формулу (2.25) установим сначала для случая L(p) p . Действительно, мы имеем:

Теперь формулу (2.25) легко проверить для многочлена первой степени L(p) = ap + b. В самом деле

В общем случае формулу (2.25) докажем по индукции относительно степени многочлена L(p). Для n = 1 формула, как мы видели, верна. Допустим, что она справедлива для многочлена степени n - 1 (n 2), и докажем ее для многочленаL(p) степени n. С этой целью многочлен L(p) степени n разложим на множители L(p) = L₁(p)L₂(p), где L₁(p) - многочлен степени 1, а L₂(p) - многочлен степени n - 1. Так как для каждого из многочленов L₁(p) и L₂(p) формула (2.25) верна, то

Таким образом, формула (2.25) доказана.