17.Представление общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения.

Случай простых корней характеристического уравнения.

Теорема 2.1.1 Предположим, что характеристический многочлен L(l) уравнения

(2.10)

имеет только простые корни, которые обозначим через

Положим

(2.11)

Тогда при любых комплексных постоянных функция

(2.12)

является решением уравнения (2.10). Решение это является общим в том смысле, что каждое решение уравнения (2.10) может быть получено по формуле (2.12) при надлежащем выборе постоянных .

Доказательство. Из предложения 2.1.1 (Предложение 2.1.1 Если L(p) -многочлен относительно оператора дифференцирования вида

(2.6), то справедлива следующая формула

(2.8)

Здесь l - произвольное действительное или комплексное число;

) следует, что каждая функция в (2.11) является решением уравнения (2.10), а из равенства

(где j₁,¼,j_k - произвольные достаточно гладкие функции; a₁,¼,a_k - произвольные константы) следует, что при любых комплексных постоянных функция(2.12) также является решением рассматриваемого уравнения. Покажем, что если - произвольное решение уравнения(2.10), то оно может быть представлено по формуле (2.12). Мы можем считать, что решение z_*(t) определено на всей прямой -¥ < t < ¥. Положим

Покажем теперь, что константы в(2.12) могут быть выбраны такими, что решение z(t), определяемое формулой (2.12), удовлетворяет тем же самым начальным условиям:

(2.13)

Другими словами следует выбрать константы так, чтобы выполнялись следующие равенства:

(2.14)

Эти соотношения представляют собой линейную алгебраическую систему уравнений относительно неизвестных и для того, чтобы она была разрешима достаточно, чтобы определитель матрицы

(2.15)

был отличен от нуля. Вычисляя элементы этой матрицы в соответствии с формулами (2.11), видим, что матрица (2.15) имеет вид

(2.16)

Так как все числа l₁,¼,l_n попарно различны, то определитель матрицы (2.16) отличен от нуля ( детерминант Вандермонда). Теорема доказана.

Если коэффициенты a_i уравнения (2.10) действительны, то возникает вопрос о выделении действительных решений из совокупности (2.12) всех комплексных решений.

С этой целью докажем одно вспомогательное утверждение.