45.Определение устойчивого по Ляпунову решения системы дифференциального уравнения первого порядка

Пусть

(2.3)

f(t, x) – определена и непрерывна

t (a,), xD

df/dx - ограничена

Пусть решение x = ц(t) (2.3), удовлетворяющее начальным условиям x(t₀) = t₀ > a.

Пусть x = x(t) решение.

Решение x = ц(t) уравнения (2.3) называется устойчивым по Ляпунову при t , если для любого e > 0 найдется такое положительное число =d(e) > 0, что для всякого решения x = ц(t) этого уравнения, начальные значения которого удовлетворяют неравенству:

<

для всех t ³ t₀ справедливо неравенство:

<

(2.4)

Иными словами, близкие по начальным значениям решения остаются близкими для всех t ³ t₀.

46.Определение асимптотически устойчивого решения

Решение x = ц(t) уравнения (2.3) называется асимптотически устойчивым если

1. Решение устойчиво по Ляпунову

2. существует d₁ > 0, x = x(t) уравнения (2.3) что при <₁

имеем:

=0

(2.5)

Замечание

Из устойчивости не тривиального решения не следует его ограниченность

47.Определение устойчивого по Ляпунову решения системы дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему ДУ

(3.2) где f_i определены на

a < t < и x₁…x_n D и удовлетворяют теореме существования единственности

Решение x = ц_i(t) уравнения (2.3) называется устойчивым по Ляпунову при t , если для любого e > 0 найдется такое положительное число =d(e) > 0, что для всякого решения x_i(t) той же системы, начальные значения которого удовлетворяют неравенству:

< , I = 1…n < (*) для любого tt0

Иными словами, близкие по начальным значениям решения остаются близкими для всех t ³ t₀.

Если при сколь угодно малом d > 0 хотя бы для одного x_i(t) решения неравенство (*) не выполняется, то решение называется неустойчивым.

Решение x = ц(t) уравнения (2.3) называется асимптотически устойчивым если

1.Решение устойчиво по Ляпунову

2. существует d₁ > 0, x = x_i(t) уравнения (2.3) что при <₁ имеем:

=0

i = 1…n (2.5)

48.Устойчивость по первому приближению

Пусть положение равновесия автономной системы=f) из n уравнений.

Пусть вектор функция f)

Дважды непрерывна, дифференцируема в окрестности положения равновесия U(.

Разложим вектор функцию

f) = (() +()

( – матрица Якоби

Если = (U₁…U_n)

= (x₁…x_n)

() =

()c,U(

(3.4)

f) = (()

достаточно близки

Получаем линейную систему d/dt = A(3.5)

=

A = ()

Система (3.5) называется линеаризованной. Переход от нелинейной системы к линейной линеаризацией.

Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению

Пусть вектор функция () дважды непрерывна дифференцируема в некотором положении равновесии.

Если вещественные части отрицательны то положение равновесия асимптотически устойчивое.

Замечание

Если положение равновесия линеаризованной системы асимптотически устойчиво, то асимптотически устойчиво положение равновесие нелинейной системы.