Подбор аналитической функции

Представив в графическом виде данные, можно с помощью метода наименьших квадратов подобрать линию, в наибольшей степени соответствующую полученным данным и определить прогнозную величину исследуемого признака.

Замечание. Строго говоря подбор аналитической функции нельзя отнести к методу непосредственной экстраполяции. Ведь в данном случае происходит замена временного ряда некой подобранной функцией, т.е. ломаная линия заменяется непрерывной кривой, которую можно рассматривать как некую регрессивную функцию (или математическую статистическую модель). А это значит, что далее мы объединяем метод экстраполяции с методом статистического моделирования.

Рассмотрим метод наименьших квадратов, который находит применение как в экстраполяционных методах прогнозирования, так и в прогнозах с использованием статистического моделирования.

Суть метода наименьших квадратов (МНК) в том, чтобы подобрать параметры уравнения прогноза ў_t = f(t) с таким расчетом, чтобы квадраты суммарных отклонений фактических значений ряда (y_t) от найденных по статистической модели (ў_t) были бы минимально возможными, то есть:

(y_t - ў_t)² = min (2.9)

записав уравнение прямой в виде

ў_t = a+bt

и подставив его в (2.9), получим:

(y_t - a-bt)² =min (2.10)

В рассматриваемом условии минимизации значения переменных y_t и t за предпрогнозный период являются известными, а параметры a и b -неизвестными константами. Для их нахождения надо приравнять нулю частные производные от (2.10) по каждой искомой константе в отдельности. После соответствующих преобразований получают систему уравнений, которую называют нормальной. Для линейного тренда

ў_t = a+bt

нормальные уравнения:

y_t= na + bt,

 (2.11)

y_tt = at + bt²

Подставив в систему (2.11) имеющуюся исходную информацию (y_t и t) рассчитываются параметры прогнозирующей функции а и b. Сомножитель n - длина временного ряда.

Также можно получить нормальные уравнения для квадратичного тренда ў_t = a+bt+сt², которые выглядят так:

y_t=na+bt+сt²,



 y_tt =at + bt² + сt³, (2.12)



 y_tt² =at² + bt³ + сt⁴,

Рассчитав все суммы и решив систему относительно а, b и с, получим уравнение параболического тренда.

Пример 2.4.. В таблице 2.3 представлены данные, характеризующие динамику выпуска продукции Финляндии ( млн долл.) за 17 лет. Провести расчет параметров линейного и экспоненциального тренда, построить графики ряда динамики и трендов.

Таблица 2.3

Условный год	Объем выпуска продукции, млн долл.	ytt	t2	Линейный тренд
1	14150	14150,00	1	9404,883
2	14004	28008,00	4	10928,023
3	13088	39264,00	9	12451,163
4	12518	50072,00	16	13974,303
5	13471	67355,00	25	15497,443
6	13617	81702,00	36	17020,583
7	16356	114492,00	49	18543,723
8	20037	160296,00	64	20066,863
9	21748	195732,00	81	21590,003
10	23298	232980,00	100	23113,143
11	26570	292270,00	121	24636,283
12	23080	276960,00	144	26159,423
13	23981	311753,00	169	27682,563
14	23446	328244,00	196	29205,703
15	29658	444870,00	225	30728,843
16	39573	633168,00	256	32251,983
17	38435	653395,00	289	33775,123
Итого	367030	3924711	1785	367030,051

Для определения числовых значений констант уравнения (3.11) удобно пользоваться таблицей 2.3.

Определив все суммы и подставив их в систему нормальных уравнений

367030,0 = 17 a + b 153

3924711,0 = a 153 + b 1785

найдем свободный член уравнения a =7881,74 и коэффициент пропорциональности b = 1523,14. Таким образом, прогнозная модель имеет вид

ў_t = 7881,74 +1523,14  t

Подставляя значения t=1,2…17, получим значения линейного тренда. Нанесем полученные данные на график (рис. 2.2). Из графика видно, что изменение выпуска продукции можно приблизить линейной зависимостью.

Рис. 2.2 Динамика выпуска продукции

В случаях, когда в качестве уравнения регрессии используются гиперболическая, экспоненциальная, степенная, логистическая и некоторые другие функции, процессу построения системы нормальных уравнений должен предшествовать процесс линеаризации кривой, осуществляемый с помощью замены переменных (табл.2.4)

Таблица 2.4

Функция	Исходное уравнение	Способы замены переменных	Линеаризованное уравнение
гиперболическая	yt = a+b/t	t’ =1/t	yt’ = a+bt’
степенная	yt=atb	Логарифмируем lnyt=lna+blnt; Lnyt=yt’; Lna =a’; Lnt =t’	yt’ = a’+bt’
Экспоненциальная	yt=aet	Логарифмируем lnyt=lna+t; Lnyt=yt’; Lna =a’;	yt’ = a’+t’’
Логистическая	yt=1/(a+be-t)	1/yt= a+be-t ; 1/ yt= yt’; e-t=t’	yt’ = a’+bt’’
Простая модифицированная экспоненциальная	yt=a-be-t	e-t=t’	yt’ = a’-bt’’

Если для описания исходной кривой с равным основанием можно использовать несколько аналитических функций, то для выбора зависимости, наиболее точно отображающей наблюдаемую динамику, рекомендуется применять специальные статистические показатели. Наиболее распространенные из них: ²_ост-остаточная дисперсия, _ост-среднее квадратичное отклонение, V-коэффициент вариации, r- коэффициент линейной корреляции, R_y/t - индекс корреляции, d -коэффициент детерминации². Первые три показателя связаны между собой:

²_ост=(y –)²/n;

_ост = _; V = ( _ост/y_ср)100%

(здесь y_ср – средняя арифметическая y_ср=y_t / n).

В качестве уравнения тренда следует использовать ту зависимость, у которой значения ²_ост, _ост, V - минимальны.

Индекс корреляции - дает относительную оценку степени близости тренда к точкам исходной кривой. Общее отклонение фактического значения переменной от среднего уровня можно представить как сумму двух слагаемых:

y_t – y_ср=( y_t – ) + (– y_ср),

или сокращенно

_общ=_ост+_t,

где _общ – (y_t – y_ср) — отклонение, измеряющее общую вариацию за счет действия всех факторов;

_ост=( y_t – ) —остаточная вариация, характеризующая отклонение между исходным и расчетным значениями переменной y_t;

_t=(– y_ср) — отклонение значения функции от среднего уровня.

Если линия тренда подобрана удачно по отношению к точкам исходной кривой, то |y_t-| 0. Следовательно:

R_y/t=_t/_общ=(_общ-_ост)/ _общ=1-_ост/_общ (2.13)

По этому уравнению можно оценить близости исходной функции и уравнения регрессии. Чем значительнее разброс точек на графике, тем ниже значение R_y/t, и наоборот.

Формула (2.13) позволяет оценить расхождение для какого-то одного значения аргумента t. Для итоговой оценки надо просуммировать частные результаты по всем годам оцениваемого периода и для устранения влияния знаков отклонения возвести в квадрат. С учетом вышесказанного:

R_y/t=,(2.14)

где – ²_общ=² _общ/n – общая дисперсия, измеряющая вариацию переменной за счет действия всех факторов;

²_ост=² _ост/n – остаточная дисперсия, характеризующая отклонение между ихсодными и расчетными значениями переменной y_t.

Показатель R_y/t принято называть индексом корреляции. Частный случай индекса корреляции - коэффициент линейной корреляции, который определяется для оценки силы связи при линейном взаимодействии признаков (=a+bt ). Он вычисляется по формуле (2.14) или по некоторым другим и принимает значения -1  r  1. Отрицательное значение r показывает на обратную связь между признаками, положительное - на прямую связь между ними.

Наряду с коэффициентом корреляции применяется коэффициент детерминации:

d=r² (2.15)

Он показывает, какая часть общей колеблемости зависимой переменной y_t объясняется действием фактор-аргумента t.

Пример 2.4. Используем исходные данные предыдущего примера (табл. 2.3) и построим экспоненциальный тренд.

Определим параметры a и b для экспоненциального тренда y_t= a e^bt .

Необходимо сделать замену переменных:

lny_t=lna+bt;

lny_t=y_t^’;

lna =a^’;

Составим систему нормальных уравнений:

 y_t^’=n a^’ + bt,



 y_t^’t = a^’t + bt²

Результаты промежуточных вычислений запишем в таблице 2.5:

Таблица 2.5

Условный год	Объем выпуска продукции, млн долл.	lnyt	lnyt t	t2	Экспоненциальный тренд
1	14150	9,56	9,56	1	11581,15
2	14004	9,55	19,09	4	12408,46
3	13088	9,48	28,44	9	13294,88
4	12518	9,43	37,74	16	14244,61
5	13471	9,51	47,54	25	15262,19
6	13617	9,52	57,11	36	16352,47
7	16356	9,70	67,92	49	17520,63
8	20037	9,91	79,24	64	18772,23
9	21748	9,99	89,89	81	20113,25
10	23298	10,06	100,56	100	21550,07
11	26570	10,19	112,06	121	23089,52
12	23080	10,05	120,56	144	24738,95
13	23981	10,09	131,11	169	26506,21
14	23446	10,06	140,87	196	28399,71
15	29658	10,30	154,46	225	30428,48
16	39573	10,59	169,37	256	32602,17
17	38435	10,56	179,46	289	34931,15
Итого	367030	168,52	1545,00	1785	361796,21

Для определения Оп

Определив все суммы и подставив их в систему нормальных уравнений

168,52= 17 a’ + b ·153

1545,00= a’ ·153 + b ·1785

найдем параметр a’ =9,288 и параметр b = 0,069. Но так как делали замену переменных a=exp(a’), поэтому необходимо вычислить a:

a=exp(9,288) =10809.

Таким образом, прогнозная модель имеет вид

ў_t= 10809 e^0,069t

График исходного ряда и экспоненциального тренда показан на рис.2.3.

Рис. 2.3. Динамика выпуска продукции

Пример 2.5. Для примера 2.4 (изменение объема выпуска продукции) можно найти параметры линейной регрессии на персональном компьютере (ПК) с помощью электронной таблицы (любой ПК совместимый с IBM PC, программа Excel в составе MS Office).

Надо использовать встроенную статистическую функцию ЛИНЕЙН. Порядок вычислений следующий:

1. ввести исходные данные или открыть существующий (в формате Excel) файл, содержащий анализируемые данные (рис.4);

2. выделить область пустых ячеек 5х2 (5 строк, 2 столбца) для вывода результатов регрессионной статистики;

3. необходимо активизировать Мастер функций;

4. в окне Категория выберите Статистические, в окне Функция – ЛИНЕЙН. Щелкнуть по кнопке ОК (рис.2.4);

5. заполнить аргументы функции:

Рис.2.4. Диалоговое окно «Мастер функций»

Известные значения y – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Известные значения x – диапазон, содержащий данные факторов независимого признака;

Константа – логическое значение, которое указывает на наличие или на отсутствие свободного члена в уравнении; если Константа = 0, то свободный член равен 0;

Статистика - логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если

Статистика = 1, то дополнительная информация выводится, если Статистика =0, то выводятся только оценки параметров уравнения.

Щелкнуть по кнопке ОК (рис. 2.5);

Рис.2.5. Диалоговое окно ввода функции ЛИНЕЙН

В левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите на клавишу F2, а затем – на комбинацию клавиш CTRL + SHIFT+ENTER.

Дополнительная регрессионная статистика будет выводиться в порядке, указанном в следующей схеме:

Таблица 2.6

Значение коэффициента b	Значение коэффициента a
Среднеквадратическое отклонение b	Среднеквадратическое отклонение a
Коэффициент детерминации R2	Среднеквадратическое отклонение y
F-статистика	Число степеней свободы
Регрессионная сумма квадратов	Остаточная сумма квадратов

Для данных из таблицы 2.5 результат вычисления представлен на рис.2.6.

Годы (в условных ед.)	Выпуск продукции, млн. долл.		Линейная
1	14150		1523,13	7881,74265
2	14004		176,93	1813,06683
3	13088		0,8316	3573,95635
4	12518		74,10	15
5	13471		946541462	191597460
6	13617
7	16356
8	20037
9	21748
10	23298
11	26570
12	23080
13	23981
14	23446
15	29658
16	39573
17	38435

Рис.2.6. Результат вычисления функции ЛИНЕЙН

Для вычисления параметров экспоненциальной кривой y_t= a e^bt в Excel применяется встроенная статистическая функция ЛГРФПРИБЛ. Порядок вычисления аналогичен применению функции ЛИНЕЙН. Результат вычисления параметров экспоненциального тренда представлен на рис 2.7.

Функция ЛГРФПРИБЛ
1,071884135	10809,00465
0,006521709	0,066827632
0,883084403	0,131732066
113,2976818	15
1,966092882	0,260300059

Рис.2.7. Результат вычисления функции ЛГРФПРИБЛ.

Построение графика исходного ряда и различных трендов можно осуществлять с помощью Мастера диаграмм.

Порядок построения следующий:

1. введите исходные данные или откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;

2. активизируйте Мастер диаграмм;

3. в окне Тип выберите График; вид графика выберите в поле рядом со списком типов. Щелкните по кнопке Далее;

4. заполните диапазон данных в столбцах. Щелкните по кнопке Далее;

5. заполните параметры диаграммы, названия диаграммы и осей, параметры легенды и подписи данных. Щелкните по кнопке Далее;

6. укажите место размещения диаграммы. Щелкните по кнопке Далее. Появится график исходного ряда.

Теперь в область диаграммы можно добавить линии тренда:

1. выделите область построения диаграммы; в главном меню выберите Диаграмма/ Добавить линию тренда;

2. в появившемся диалоговом окне выберите вид линии тренда и задайте соответствующие параметры. В качестве дополнительной информации на диаграмме можно отобразить уравнение регрессии и значение среднеквадратического отклонения, установив соответствующие флажки на закладке Параметры. Щелкните по кнопке ОК.

На рис.2.8 представлен исходный ряд и тренды с параметрами.

Рис.2.8. График выпуска продукции и трендов

Сравним значения R² для линейного и экспоненциального тренда:

линейный тренд - R² = 0,8317;

экспоненциальный тренд - R² = 0,8831.

Таким образом, исходные данные лучше описываются экспоненциальным трендом. Следовательно, в данном примере для расчета прогнозных значений лучше использовать экспоненциальный тренд.